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1、-C语言常用算法归纳-第 22 页C语言常用算法归纳应当掌握的一般算法一、基本算法：交换、累加、累乘二、非数值计算常用经典算法：穷举、排序（冒泡，选择）、查找（顺序即线性）三、数值计算常用经典算法：级数计算（直接、简接即递推）、一元非线性方程求根（牛顿迭代法、二分法）、定积分计算（矩形法、梯形法）四、其他：迭代、进制转换、矩阵转置、字符处理（统计、数字串、字母大小写转换、加密等）、整数各数位上数字的获取、辗转相除法求最大公约数（最小公倍数）、求最值、判断素数（各种变形）、数组元素的插入（删除）、二维数组的其他典型问题（方阵的特点、杨辉三角形）详细讲解一、基本算法1交换（两量交换借助第三者）例1
2、、任意读入两个整数，将二者的值交换后输出。main() inta,b,t; scanf(%d%d,&a,&b); printf(%d,%dn,a,b);t=a;a=b;b=t; printf(%d,%dn,a,b);【解析】程序中加粗部分为算法的核心，如同交换两个杯子里的饮料，必须借助第三个空杯子。假设输入的值分别为3、7，则第一行输出为3，7；第二行输出为7，3。其中t为中间变量，起到“空杯子”的作用。注意：三句赋值语句赋值号左右的各量之间的关系！【应用】例2、任意读入三个整数，然后按从小到大的顺序输出。main() inta,b,c,t;scanf(%d%d%d,&a,&b,&c); /*
3、以下两个if语句使得a中存放的数最小*/if(ab)t=a;a=b;b=t; if(ac)t=a;a=c;c=t; /*以下if语句使得b中存放的数次小*/ if(bc)t=b;b=c;c=t; printf(%d,%d,%dn,a,b,c);2累加累加算法的要领是形如“s=s+A”的累加式，此式必须出现在循环中才能被反复执行，从而实现累加功能。“A”通常是有规律变化的表达式，s在进入循环前必须获得合适的初值，通常为0。例1、求1+2+3+100的和。main() inti,s;s=0;i=1; while(i=100) s=s+i;/*累加式*/ i=i+1;/*特殊的累加式*/ print
4、f(1+2+3+.+100=%dn,s);【解析】程序中加粗部分为累加式的典型形式，赋值号左右都出现的变量称为累加器，其中“i=i+1”为特殊的累加式，每次累加的值为1，这样的累加器又称为计数器。3累乘累乘算法的要领是形如“s=s*A”的累乘式，此式必须出现在循环中才能被反复执行，从而实现累乘功能。“A”通常是有规律变化的表达式，s在进入循环前必须获得合适的初值，通常为1。例1、求10！分析 10！=12310main() inti;longc; c=1;i=1; while(i=10) c=c*i;/*累乘式*/ i=i+1;printf(1*2*3*.*10=%ldn,c);二、非数值计算
5、常用经典算法1穷举也称为“枚举法”，即将可能出现的每一种情况一一测试，判断是否满足条件，一般采用循环来实现。例1、用穷举法输出所有的水仙花数（即这样的三位正整数：其每位数位上的数字的立方和与该数相等，比如：1*1*1+5*5*5+3*3*3=153）。法一main() intx,g,s,b;for(x=100;x=999;x+) g=x%10;s=x/10%10;b=x/100; if(b*b*b+s*s*s+g*g*g=x)printf(%dn,x);【解析】此方法是将100到999所有的三位正整数一一考察，即将每一个三位正整数的个位数、十位数、百位数一一求出（各数位上的数字的提取算法见下面
6、的“数字处理”），算出三者的立方和，一旦与原数相等就输出。共考虑了900个三位正整数。法二main()intg,s,b;for(b=1;b=9;b+) for(s=0;s=9;s+) for(g=0;g=9;g+) if(b*b*b+s*s*s+g*g*g=b*100+s*10+g)printf(%dn,b*100+s*10+g);【解析】此方法是用1到9做百位数字、0到9做十位和个位数字，将组成的三位正整数与每一组的三个数的立方和进行比较，一旦相等就输出。共考虑了900个组合（外循环单独执行的次数为9，两个内循环单独执行的次数分别为10次，故if语句被执行的次数为91010=900），即90
7、0个三位正整数。与法一判断的次数一样。2排序（1）冒泡排序（起泡排序）假设要对含有n个数的序列进行升序排列，冒泡排序算法步骤是：从存放序列的数组中的第一个元素开始到最后一个元素，依次对相邻两数进行比较，若前者大后者小，则交换两数的位置；第趟结束后，最大数就存放到数组的最后一个元素里了，然后从第一个元素开始到倒数第二个元素，依次对相邻两数进行比较，若前者大后者小，则交换两数的位置；重复步骤n-1趟，每趟比前一趟少比较一次，即可完成所求。例1、任意读入10个整数，将其用冒泡法按升序排列后输出。#definen10main() intan,i,j,t;for(i=0;in;i+) scanf(%d,
8、&ai); for(j=1;j=n-1;j+) /*n个数处理n-1趟*/ for(i=0;iai+1) t=ai;ai=ai+1;ai+1=t; for(i=0;in;i+) printf(%dn,ai);（2）选择法排序选择法排序是相对好理解的排序算法。假设要对含有n个数的序列进行升序排列，算法步骤是：从数组存放的n个数中找出最小数的下标（算法见下面的“求最值”），然后将最小数与第1个数交换位置；除第1个数以外，再从其余n-1个数中找出最小数（即n个数中的次小数）的下标，将此数与第2个数交换位置；重复步骤n-1趟，即可完成所求。例1、任意读入10个整数，将其用选择法按升序排列后输出。#de
9、finen10main() intan,i,j,k,t;for(i=0;in;i+) scanf(%d,&ai);for(i=0;in-1;i+)/*处理n-1趟*/ k=i;/*总是假设此趟处理的第一个（即全部数的第i个）数最小，k记录其下标*/ for(j=i+1;jn;j+) if(ajak)k=j; if(k!=i) t=ai;ai=ak;ak=t; for(i=0;ian-2) an-1=x; /*比最后一个数还大就往最后一个元素中存放*/else /*查找待插位置*/ j=0; while(jaj) j+; for(k=n-2;k=j;k-) /*从最后一个数开始直到待插位置上的数
10、依次后移一位*/ak+1=ak; aj=x; /*插入待插数*/ for(j=0;j=n-1;j+)printf(%d,aj);插入法排序的要领就是每读入一个数立即插入到最终存放的数组中，每次插入都使得该数组有序。例2、任意读入10个整数，将其用插入法按降序排列后输出。（提示：将第2至第10个数一一有序插入到数组a中）#definen10main() intan,i,j,k,x;scanf(%d,&a0); /*读入第一个数，直接存到a0中*/for(j=1;jn;j+) /*将第2至第10个数一一有序插入到数组a中*/ scanf(%d,&x); if(xaj-1)aj=x;/*比原数列最后
11、一个数还小就往最后一个元素之后存放新读的数*/ else /*以下查找待插位置*/ i=0; while(xai&i=i;k-)ak+1=ak; ai=x; /*插入待插数*/ for(i=0;in;i+)printf(%dn,ai);（4）归并排序 即将两个都升序（或降序）排列的数据序列合并成一个仍按原序排列的序列。例1、有一个含有6个数据的升序序列和一个含有4个数据的升序序列，将二者合并成一个含有10个数据的升序序列。#definem6#definen4main() intam=-3,6,19,26,68,100,bn=8,10,12,22;inti,j,k,cm+n; i=j=k=0;w
12、hile(im&jn) /*将a、b数组中的较小数依次存放到c数组中*/ if(ai=m&j=n&im) /*若b中数据全部存放完毕，将a中余下的数全部存放到c中*/ ck=ai;k+;i+; for(i=0;im+n;i+)printf(%d,ci);3查找（1）顺序查找（即线性查找）顺序查找的思路是：将待查找的量与数组中的每一个元素进行比较，若有一个元素与之相等则找到；若没有一个元素与之相等则找不到。例1、任意读入10个数存放到数组a中，然后读入待查找数值，存放到x中，判断a中有无与x等值的数。#defineN10main() intaN,i,x;for(i=0;iN;i+)scanf(%
13、d,&ai);/*以下读入待查找数值*/scanf(%d,&x);for(i=0;iN;i+)if(ai=x) break; /*一旦找到就跳出循环*/ if(iN) printf(Found!n); elseprintf(Notfound!n);（2）折半查找（即二分法）顺序查找的效率较低，当数据很多时，用二分法查找可以提高效率。使用二分法查找的前提是数列必须有序。二分法查找的思路是：要查找的关键值同数组的中间一个元素比较，若相同则查找成功，结束；否则判别关键值落在数组的哪半部分，就在这半部分中按上述方法继续比较，直到找到或数组中没有这样的元素值为止。例1、任意读入一个整数x，在升序数组a中
14、查找是否有与x等值的元素。#definen10main() intan=2,4,7,9,12,25,36,50,77,90;intx,high,low,mid; /*x为关键值*/scanf(%d,&x);high=n-1;low=0;mid=(high+low)/2;while(amid!=x&lowhigh) if(xamid)high=mid-1; /*修改区间上界*/ elselow=mid+1;/*修改区间下界*/ mid=(high+low)/2;if(x=amid)printf(Found%d,%dn,x,mid); elseprintf(Notfoundn);三、数值计算常用经
15、典算法1级数计算级数计算的关键是“描述出通项”，而通项的描述法有两种：一为直接法、二为间接法又称递推法。直接法的要领是：利用项次直接写出通项式；递推法的要领是：利用前一个（或多个）通项写出后一个通项。可以用直接法描述通项的级数计算例子有：（1）1+2+3+4+5+（2）1+1/2+1/3+1/4+1/5+等等。可以用间接法描述通项的级数计算例子有：（1）1+1/2+2/3+3/5+5/8+8/13+（2）1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+等等。（1）直接法求通项例1、求1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/100的和。main() floats;inti;s=0.0; for(i=
16、1;i=100;i+) s=s+1.0/i; printf(1+1/2+1/3+.+1/100=%fn,s);【解析】程序中加粗部分就是利用项次i的倒数直接描述出每一项，并进行累加。注意：因为i是整数，故分子必须写成1.0的形式！（2）间接法求通项（即递推法）例2、计算下列式子前20项的和：1+1/2+2/3+3/5+5/8+8/13+。分析此题后项的分子是前项的分母，后项的分母是前项分子分母之和。main() floats,fz,fm,t,fz1;inti; s=1; /*先将第一项的值赋给累加器s*/fz=1;fm=2; t=fz/fm; /*将待加的第二项存入t中*/for(i=2;i=
17、20;i+) s=s+t; /*以下求下一项的分子分母*/ fz1=fz;/*将前项分子值保存到fz1中*/ fz=fm;/*后项分子等于前项分母*/ fm=fz1+fm;/*后项分母等于前项分子、分母之和*/t=fz/fm; printf(1+1/2+2/3+.=%fn,s);下面举一个通项的一部分用直接法描述，另一部分用递推法描述的级数计算的例子：例3、计算级数的值，当通项的绝对值小于eps时计算停止。#includefloatg(floatx,floateps);main() floatx,eps; scanf(%f%f,&x,&eps);printf(n%f,%fn,x,g(x,eps
18、);floatg(floatx,floateps) intn=1;floats,t; s=1;t=1;dot=t*x/(2*n); s=s+(n*n+1)*t; /*加波浪线的部分为直接法描述部分，t为递推法描述部分*/ n+;while(fabs(t)eps);returns;2一元非线性方程求根（1）牛顿迭代法牛顿迭代法又称牛顿切线法：先任意设定一个与真实的根接近的值x0作为第一次近似根，由x0求出f(x0),过(x0，f(x0)点做f(x)的切线，交x轴于x1，把它作为第二次近似根，再由x1求出f(x1),过(x1，f(x1)点做f(x)的切线，交x轴于x2，如此继续下去，直到足够接近（
19、比如|x-x0|=1e-5); printf(%fn,x);（2）二分法算法要领是：先指定一个区间x1,x2，如果函数f(x)在此区间是单调变化的，则可以根据f(x1)和f(x2)是否同号来确定方程f(x)=0在区间x1,x2内是否有一个实根；如果f(x1)和f(x2)同号，则f(x)在区间x1,x2内无实根，要重新改变x1和x2的值。当确定f(x)在区间x1,x2内有一个实根后，可采取二分法将x1,x2一分为二，再判断在哪一个小区间中有实根。如此不断进行下去，直到小区间足够小为止。具体算法如下：（1）输入x1和x2的值。（2）求f(x1)和f(x2)。（3）如果f(x1)和f(x2)同号说明
20、在x1,x2内无实根，返回步骤（1），重新输入x1和x2的值；若f(x1)和f(x2)不同号，则在区间x1,x2内必有一个实根，执行步骤（4）。（4）求x1和x2的中点：x0=（x1+x2）/2。（5）求f(x0)。（6）判断f(x0)与f(x1)是否同号。如果同号，则应在x0,x2中寻找根，此时x1已不起作用，用x0代替x1，用f(x0)代替f(x1)。如果不同号，则应在x1,x0中寻找根，此时x2已不起作用，用x0代替x2，用f(x0)代替f(x2)。（7）判断f(x0)的绝对值是否小于某一指定的值（例如10-5）。若不小于10-5，则返回步骤（4）重复执行步骤（4）、（5）、（6）；否则
21、执行步骤（8）。（8）输出x0的值，它就是所求出的近似根。例如，用二分法求方程2x3-4x2+3x-6=0在(-10，10)之间的根。#includemath.hmain() floatx1,x2,x0,fx1,fx2,fx0; do printf(Enterx1&x2); scanf(%f%f,&x1,&x2); fx1=2*x1*x1*x1-4*x1*x1+3*x1-6; fx2=2*x2*x2*x2-4*x2*x2+3*x2-6; while(fx1*fx20);do x0=(x1+x2)/2; fx0=2*x0*x0*x0-4*x0*x0+3*x0-6; if(fx0*fx1)1e-5
22、); printf(%fn,x0);3梯形法计算定积分定积分 的几何意义是求曲线y=f(x)、x=a、x=b以及x轴所围成的面积。可以近似地把面积视为若干小的梯形面积之和。例如，把区间a,b分成n个长度相等的小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n，第i个小梯形的面积为f(a+(i-1)h)+f(a+ih)h/2，将n个小梯形面积加起来就得到定积分的近似值：根据以上分析，给出“梯形法”求定积分的N-S结构图：输入区间端点：a，b输入等分数nh=(b-a)/2,s=0i从1到nsi=(f(a+(i-1)*h)+f(a+i*h)*h/2s=s+si输出s上述程序的几何意义比较明显，容易理解。但
23、是其中存在重复计算，每次循环都要计算小梯形的上、下底。其实，前一个小梯形的下底就是后一个小梯形的上底，完全不必重复计算。为此做出如下改进：矩形法求定积分则更简单，就是将等分出来的图形当作矩形，而不是梯形。例如：求定积分 的值。等分数n=1000。#includemath.hfloatDJF(floata,floatb) floatt,h;intn,i;floatHSZ(floatx);n=1000;h=fabs(a-b)/n;t=(HSZ(a)+HSZ(b)/2;for(i=1;i=1;day-)peach=(peach+1)*2;printf(Thefirstday:%dn,peach);又
24、如，用迭代法求x= 的根。求平方根的迭代公式是：xn+1=0.5(xn+a/xn)算法（1）设定一个初值x0。（2）用上述公式求出下一个值x1。（3）再将x1代入上述公式，求出下一个值x2。（4）如此继续下去，直到前后两次求出的x值（xn+1和xn）满足以下关系：|xn+1-xn|=1e-5); printf(%fn,x1);2进制转换（1）十进制数转换为其他进制数一个十进制正整数m转换成r进制数的思路是，将m不断除以r取余数，直到商为0时止，以反序输出余数序列即得到结果。注意，转换得到的不是数值，而是数字字符串或数字串。例如，任意读入一个十进制正整数，将其转换成二至十六任意进制的字符串。vo
25、idtran(intm,intr,charstr,int*n) charsb=0123456789ABCDEF;inti=0,g; do g=m%r; stri=sbg; m=m/r; i+; while(m!=0);*n=i;main() intx,r0;/*r0为进制基数*/inti,n;/*n中存放生成序列的元素个数*/ chara50; scanf(%d%d,&x,&r0);if(x0&r0=2&r0=0;i-)printf(%c,ai); printf(n);elseexit(0);（2）其他进制数转换为十进制数其他进制整数转换为十进制整数的要领是：“按权展开”，例如，有二进制数10
26、1011，则其十进制形式为125+024+123+022+121+120=43。若r进制数ana2a1（n位数）转换成十进制数，方法是anrn-1+a2r1+a1r0。注意：其他进制数只能以字符串形式输入。例1、任意读入一个二至十六进制数（字符串），转换成十进制数后输出。#includestring.h#includectype.hmain() charx20;intr,d;gets(x);/*输入一个r进制整数序列*/scanf(%d,&r);/*输入待处理的进制基数2-16*/ d=Tran(x,r);printf(%s=%dn,x,d);intTran(char*p,intr) intd
27、,i,cr;charfh,c;d=0;fh=*p;if(fh=-) p+;for(i=0;i=A)cr=toupper(c)-A+10; elsecr=c-0; d=d*r+cr;if(fh=-)d=-d;return(d);3矩阵转置矩阵转置的算法要领是：将一个m行n列矩阵（即mn矩阵）的每一行转置成另一个nm矩阵的相应列。例1、将以下23矩阵转置后输出。即将123转置成14 456 25 36main() inta23,b32,i,j,k=1;for(i=0;i2;i+) for(j=0;j3;j+) aij=k+;/*以下将a的每一行转存到b的每一列*/for(i=0;i2;i+)for
28、(j=0;j3;j+) bji=aij;for(i=0;i3;i+)/*输出矩阵b*/ for(j=0;j2;j+) printf(%3d,bij); printf(n);4字符处理（1）字符统计：对字符串中各种字符出现的次数的统计。典型例题：任意读入一个只含小写字母的字符串，统计其中每个字母的个数。#includestdio.hmain() chara100;intn26=0;inti;/*定义26个计数器并置初值0*/gets(a); for(i=0;ai!=0;i+) /*n0中存放a的个数，n1中存放b的个数*/ nai-a+;/*各字符的ASCII码值减a的ASCII码值，正好得对应
29、计数器下标*/for(i=0;i26;i+) if(ni!=0) printf(%c:%dn,i+a,ni);（2）字符加密例如、对任意一个只含有英文字母的字符串，将每一个字母用其后的第三个字母替代后输出（字母X后的第三个字母为A，字母Y后的第三个字母为B，字母Z后的第三个字母为C。）#includestdio.h#includestring.hmain() chara80=China;inti;for(i=0;i=x&ai=X&ai=Z)ai=ai-26+3; elseai=ai+3;puts(a);5整数各数位上数字的获取算法核心是利用“任何正整数整除10的余数即得该数个位上的数字”的特点
30、，用循环从低位到高位依次取出整数的每一数位上的数字。例1、任意读入一个5位整数，输出其符号位及从高位到低位上的数字。main() longx;intw,q,b,s,g; scanf(%ld,&x); if(x0)printf(-,);x=-x; w=x/10000;/*求万位上的数字*/ q=x/1000%10;/*求千位上的数字*/b=x/100%10;/*求百位上的数字*/s=x/10%10;/*求十位上的数字*/g=x%10;/*求个位上的数字*/ printf(%d,%d,%d,%d,%dn,w,q,b,s,g);例2、任意读入一个整数，依次输出其符号位及从低位到高位上的数字。分析此题
31、读入的整数不知道是几位数，但可以用以下示例的方法完成此题：例如读入的整数为3796，存放在x中，执行x%10后得余数为6并输出；将x/10得379后赋值给x。再执行x%10后得余数为9并输出；将x/10得37后赋值给x直到商x为0时终止。main() longx;scanf(%ld,&x);if(x0)printf(-);x=-x;do/*为了能正确处理0，要用do_while循环*/ printf(%d,x%10); x=x/10; while(x!=0); printf(n);例3、任意读入一个整数，依次输出其符号位及从高位到低位上的数字。分析此题必须借助数组将依次求得的低位到高位的数字保
32、存后，再逆序输出。main() longx;inta20,i,j;scanf(%ld,&x); if(x=0;j-) printf(%d,aj);printf(n);6辗转相除法求两个正整数的最大公约数该算法的要领是：假设两个正整数为a和b，先求出前者除以后者的余数，存放到变量r中，若r不为0，则将b的值得赋给a，将r的值得赋给b；再求出a除以b的余数，仍然存放到变量r中如此反复，直至r为0时终止，此时b中存放的即为原来两数的最大公约数。例1、任意读入两个正整数，求出它们的最大公约数。 法一：用while循环时，最大公约数存放于b中main() inta,b,r;doscanf(%d%d,&a
33、,&b);while(a=0|b=0); /*确保a和b为正整数*/r=a%b;while(r!=0) a=b;b=r;r=a%b; printf(%dn,b); 法二：用dowhile循环时，最大公约数存放于a中main() inta,b,r;doscanf(%d%d,&a,&b);while(a=0|b=0);/*确保a和b为正整数*/dor=a%b;a=b;b=r; while(r!=0);printf(%dn,a);【引申】可以利用最大公约数求最小公倍数。提示：两个正整数a和b的最小公倍数=ab/最大公约数。例2、任意读入两个正整数，求出它们的最小公倍数。法一：利用最大公约数求最小公倍
34、数main() inta,b,r,x,y;doscanf(%d%d,&a,&b); while(a=0|b=0); /*确保a和b为正整数*/ x=a;y=b;/*保留a、b原来的值*/r=a%b;while(r!=0) a=b;b=r;r=a%b; printf(%dn,x*y/b);法二：若其中一数的最小倍数也是另一数的倍数，该最小倍数即为所求main() inta,b,r,i;doscanf(%d%d,&a,&b);while(a=0|b=0);/*确保a和b为正整数*/i=1; while(a*i%b!=0) i+;printf(%dn,i*a);7求最值即求若干数据中的最大值（或最小值）。算法要领是：首先将若干数据存放于数组中，通常假设第一个元素即为最大值（或最小值），赋值给最终存放最大值（或最小值）的max（或min）变量中，然后将该量max（或min）的值与数组其余每一个元素进行比较，一旦比该量还大（或小），则将此元素的值赋给max（或min）所有数如此比较完毕，即可求得最大值（或最小值）。例