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1、-平面几何的几个重要的定理-梅涅劳斯定理-第 6 页平面几何的几个重要的定理一、梅涅劳斯定理：注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件；注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 再相乘；CBA平面几何的几个重要定理 塞瓦定理塞瓦定理：CBAMQRACPBCBACBAKLNMCBA平面几何的几个重要定理托勒密定理托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)即：EDCBA一、直接应用托勒密定理例1 如图2，P是正ABC外接圆的劣弧上任一点(不与B、C重合)， 求证：PA
2、=PBPC分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗若借助托勒密定理论证，则有PABC=PBACPCAB，AB=BC=ACPA=PB+PC二、完善图形 借助托勒密定理例2 证明“勾股定理”：在RtABC中，B=90，求证：AC2=AB2BC2证明：如图，作以RtABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD，显然ABCD是圆内接四边形由托勒密定理，有ACBD=ABCDADBC 又ABCD是矩形，AB=CD，AD=BC，AC=BD 把代人，得AC2=AB2BC2例3 如图，在ABC中，A的平分 线交外接圆于D，连结BD，求证：ADBC=BD(ABAC)证明：连结CD，依托勒密定理，
3、有ADBCABCDACBD1=2， BD=CD故 ADBC=ABBDACBD=BD(ABAC)三、构造图形 借助托勒密定理例4 若a、b、x、y是实数，且a2b2=1，x2y2=1求证：axby1证明：如图作直径AB=1的圆，在AB两边任作RtACB和RtADB，使ACa，BC=b，BDx，ADy由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的据托勒密定理，有ACBDBCAD=ABCDCDAB1，axby1四、巧变原式 妙构图形，借助托勒密定理例5 已知a、b、c是ABC的三边，且a2=b(bc)，求证：A=2B分析：将a2=b(bc)变形为aa=bbbc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形
4、，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c证明：如图 ，作ABC的外接圆，以 A为圆心，BC为半径作弧交圆于D，连结BD、DC、DAAD=BC，ABD=BAC又BDA=ACB(对同弧)，1=2依托勒密定理，有BCAD=ABCDBDAC 而已知a2=b(bc)，即aa=bcb2 BAC=2ABC五、巧变形 妙引线 借肋托勒密定理例6 在ABC中，已知ABC=124，分析：将结论变形为ACBCABBC=ABAC，把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形如图，作ABC的外接圆，作弦BD=BC，边结AD、CD在圆内接四边形ADBC中，由托勒密定理，有ACBDBCAD=ABCD易证AB=AD，CD=AC，ACBCBCAB=ABAC，1.已知ABC中，B=2C。求证：AC2=AB2+ABBC。【分析】过A作BC的平行线交ABC的外接圆于D，连结BD。则CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，ACBD=ADBC+CDAB。2 已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7。求证： 。（第21届全苏数学竞赛）