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1、-数理统计第二章自测题 时间：120分钟，卷面分值：100分一、填空题：（每题2分，共10分） 得分 1设总体X服从参数为的泊松分布，X1, X2, , Xn是取自X的随机样本，其均值和方差分别为和，如果是的无偏估计，则a= 。2设总体X的密度函数为，为来自该总体的一个简单随机样本，则参数的矩估计量为 。3已知,为未知参数的两个无偏估计，且与不相关，。如果也是的无偏估计，且是,的所有同类型线性组合中方差最小的，则a= ，b= 。4设X是在一次随机试验中事件A发生的次数，进行了n次试验得一组样本X1, X2, , Xn，其中事件A发生了k次，则事件A发生的概率为p，的最大似然估计为 ；p(1-p
2、)的矩估计为 。5.设总体 均为未知参数，为来自总体X的一个样本,当用作为的估计时，最有效的是 。二、选择题：（每题3分，共24分） 得分 1. 设总体X服从a,b(ab)上的均匀分布，a、b均为未知参数，为来自总体X的一个样本，则的最大似然估计量为( )（A） （B） （C） （D）2设总体X的概率分布为X0 1 2 3PP 其中(00未知，设X1, X2, , Xn 是来自总体X的样本，求的矩估计量，计算的方差，并讨论的无偏性。 得分 2(12分)设总体X 的概率密度为 其中参数q0为未知，从总体中抽取样本X1, X2, , Xn，其样本观察值为 x1, x2, , xn，(1)求参数q
3、的最大似然估计； (2)讨论是否具有无偏性；(3)若不是q 的无偏估计量，修正它，并由此指出q 的一个无偏量估计*。(4) 讨论是否具有相合性； 得分 3(6分)一个人重复的向同一目标射击，设他每次击中目标的概率为p，射击直至命中目标为止。此人进行了n(n1)轮这样的射击，各轮射击的次数分别为 x1, x2, xn，试求命中率p的矩估计值和最大似然估计值。 得分 4. (11)设X1, X2, , Xn是来自试求参数的UMVUE，并判断是否为有效估计。5.(8)设总体为均匀分布U(),的先验分布为均匀分布U（10,16），现有三个观测值：11.7,12.1,12.（1）求的后验分布（2）求贝叶
4、斯估计以及方差。6.(6)对线性模型，其中M为列满秩阵，I为单位矩阵，使用普通最小二乘方法计算参数的估计以及方差，并判断最小二乘估计是否是无偏的?数理统计第二章自测题参考答案一、填空题： 1；2. ；3. a=0.2，b0.8；4.，；5.【提示】1因为，故，又，即，解得。3由题意，应使得且达到最小。已知，令，求f（a）的最小值点为a = 0.2，则b0.8。4因为X服从两点分布，则E(X)=p，矩估计值，代入p(1-p)可得其矩估计。设(x1, x2, xn)是X的一组样本观察值，则p的似然函数为，两边取自然对数为，令，得似然估计值为，由最大似然估计的不变性，可得的最大似然估计为5. 二、选
5、择题： 1. (B)；2. (B)；3. (D)；4. （C）；5. （C） 6. (A)；7. (C)； 8.（C）【提示】1. 易得a和b的最大似然估计分别为，再由最大似然估计的不变性可得。2E(X)=34，故。代入样本均值的观察值，得。4. S2是的无偏估计，但S不是的无偏估计； (n-1)/n S2是的最大似然估计，所以是的最大似然估计；只有当总体是正态分布时，才有S与相互独立。6. 。7. 。三、判断题： 1；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. ；8. ；9. ；10. ；【提示】3. 对C-R正则族，有效估计一定是一致最小方差无偏估计，但反过来，由于UMVUE的方差不一定
6、能达到C-R下界，所以UMVUE不一定是有效估计。4. 设X1, X2, , Xn为来自总体的一个样本，其中参数未知，似然函数为要使，须满足，所以，即满足的统计量都是的最大似然估计量。10. 贝叶斯统计中，参数确实是随机的，但是参数值也是由先验信息和样本信息同时决定的。四、计算题 1【解】因为 所以，的矩估计量为。因为，所以，又，所以是无偏的。2【解】(1)似然函数为 当x1q, x2q, , xnq 时，L(q)0，取对数，得,因为，以 L(q) 单调增加，因此q 越大，L(q)越大，但qx1, x2, , xn，故取q 的最大似然估计值为，于是q 的最大似然估计量为。(2)设总体X的分布函
7、数为因为 ，所以不是q的无偏估计量。(3)取，则 ，于是即*是q的无偏估计量。(4)由于 所以由习题2.1节题目7的结论可知是的相合估计。3.【解】设X为直到命中目标为止所进行的射击次数，则X服从参数为p的几何分布，即 ，。X为总体，p未知，x1, x2, xn是来自总体的一组样本值，由，由矩估计法有为p的矩估计值。似然函数，令，解得。4. 【解】(1)求解参数的UMVUE。 易判断它为指数分布族，并且当为充分统计量，又指数分布族的充分统计量为完备统计量，所以是充分完备统计量。又所以 从而是参数的无偏估计，又是完备充分统计量的函数，所以为UMVUE。（2）判断它是否为有效估计。先计算的方差：下一步计算参数的C-R下界。由伽玛分布的密度函数得到；所以的费希尔信息量为由C-R下界公式知的无偏估计下界为：由于UMVUE达到了C-R下界，所以为有效估计。5. 【解】(1)当即样本和的联合分布为：基于三个观测值有：故后验密度为：即的后验分布为均匀分布U11.1,11.7.(2)由于在均方误差标准下贝叶斯估计为后验均值，所以的贝叶斯估计为=11.4，贝叶斯估计的方差为6. 可用类似课本P132页证明，惟一的区别是没有权重。-第 8 页-