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1、-第一讲 跨越从算术到代数“加里宁曾经说过：数学是锻炼思维的体操，体操能使你身体健康，动作敏捷；数学能使你的思想正确敏捷，有了正确的思想，你们才有可能爬上科学的大山” _华罗庚。华罗庚，我国现代有世界声誉的数学家，初中毕业后，靠自学成才，在数论、矩阵几何等许多领域中做出过卓越贡献纵观历史，数学的发展创造了数学符号，新的数学符号的使用又反过来促进了数学的发展历史是这样一步一步走过来的，并将这样一步一步地继续走下去，数学的每一个进步都必须伴随着新的数学符号的产生在文明和科学的发展过程中，人类创造用符号代替语言、文字的方法，这是因为符号比语言、文字更简练、更直观、更具一般性“算术”可以理解为“计算的
2、方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言” 用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别 字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用例题讲解【例1】观察下列等式9l=8， 16412，25916，361620，这些等式反映出自然数间的某种规律，设表示自然数，用关于的等式表示出来： (河南省中考题)思路点拨 在观察给定的等式基础上，寻找数字特点，等式的共同特征，发现
3、一般规律链接：从个别事物中发现一般性规律这种研究问题的方法叫“归纳法”，是由特殊到一般的思维过程，是发明创造的基础【例2】 某商品2002年比2001年涨价5，2003年又比2002年涨价10，2004年比2003年降价12，则2004年比2001年( ) A涨价3 B涨价164 C涨价12 D降价12思路点拨 设此商品2001年的价格为元，把相应年份的价格用的代数式表示，由计算作出判断 【例3】 计算思路点拨 直接计算复杂而繁难，注意括号内数式的联系，引入字母，将复杂的数值计算转化为简单的式的计算【例4】 有张纸，第1次把它分割成4片，第2次把其中的1片分割成4片，以后每一次都把前面所得的其
4、中一片分割成4片，如此进行下去，试问： (1)经5次分割后，共得到多少张纸片? (2)经次分割后，共得到多少张纸片? (3)能否经若干次分割后共得到2003张纸片?为什么? (江苏省竞赛题)思路点拨 从简单情形人手，发现纸片数的特点是解本例的关键？1913【例5】在右图中有9个方格，要求每个方格填入不同的的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等，问：右图上角的数是多少？思路点拨 虽然要求的只是右上角的数，但是题目的条件还与其他的数有关，因此，需恰当地引进不同的字母表示数，以便充分运用已知条件【例6】如图，在图1中，互补重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中
5、，互不重叠的三角形共有10个，则在第个图形中，互不重叠的三角形共有_个（用含的代数式表示） （重庆市中考题）思路点拨 从三角形个数规律或图形生成特点入手【例7】（1）计算：； （广西竞赛题）（2）设=，求的整数部分 （2008年北京市竞赛题）思路点拨 对于（1），直接计算复杂而繁难，注意括号内数式的联系，引入字母，将复杂的数值计算转化为简单的式的计算；对于（2），从分析中第项的特征入手【例8】有这样的两位数，交换该数的数码所得到的两位数与原数的和是一个完全平方数例如，29就是这样的两位数，因为，请你找出所有这样的两位数思路点拨 设原数为，则新数为，发现的特点是解本例的关键【例9】现有根长度相同
6、的火柴棒，按如图1摆放时可摆成个正方形，按如图2摆放时可摆成个正方形（1） 用含的代数式表示；当这根火柴棒还能摆成如图3所示的形状时，求的最小值思路点拨 设图3中有3个正方形（为什么这样设？），无论怎样摆放，火柴棒的总数相同，这样可以建立含、的等式链接： 用字母表示数，有利于运用代数式揭示问题中的数量关系，便于找到数量的相依关系或相等不等关系，具有设元意识，会用代数式表示，是由算术习惯向代数过渡的重要步骤，是突破算术方法的定势的关键 本例的3个小题，反映了我们认识事物、探究问题的基本过程第(1)小题是研究具体对象，第(2)小题是归纳出一般规律，第(3)小题是再运用这些规律去分析、研究、解决问题
7、有些问题涉及的量比较多，关系复杂，我们就需要引入不同的字母，便于把数量关系表示出来，在解题中我们不需(或不能)求出所有字母的值，只需求出关键的字母的值，这种方法我们称之为“设而不求” 基础训练1给出下列算式： ， 观察上面一列算式，你能发现什么规律，用代数式子表示这个规律： (福州市中考题)2已知：，若 (为正整数)，则= (2003年武汉市中考题)3若人完成一项工程需要天，则个人完成这项工程需要 天 (假定每个人的工作效率相同) (江苏省竞赛题)4某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共要用90分钟，若往返都坐车全部行程只需30分钟，如果往返都步行，那么需要的时间是 (河南省竞赛题)5一项工程
8、，甲建筑队单独承包需要天完成，乙建筑队单独承包需要天完成，现两队联合承包，完成这项工程需要( )天 A B C. D6某专卖店在统计2003年第一季度的销售额时发现，二月份比一月份增加10，三月份比二月份减少10，那么三月份比一月份( ) A增加10 B减少10 C不增不减 D减少1 (河南省中考题)7如图，在长方形中，横向阴影部分是长方形，另一阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是( ) A B C D（河北省中考题) 8为了绿化环境、美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积S1、S2的大小关系是( ) AS
9、1S2 BS10)，用表示的面积为 (天津市竞赛题)13已知17个连续整数的和是306，那么，紧接在这17个数后面的那17个整数的和为 14用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律拼成若干个图案： (1)第4个图案中有白色地面砖 块；(2)第个图案中有白色地面砖 块 (2003年南昌市中考题)15下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是( ) A1627384950 B2345678910 C 3579111300 D4692581470 (江苏省竞赛题)16给出两列数：l，3，5，7，9，2001和1，6，1l，16，21，2001，同时出现在两列数中的数的个数为( ) A199
10、 B200 C 201 D202 (重庆市竞赛题)17种商品每件进价为元，按进价增加25定出售价，后因库存积压降价，按售价的九折出售，每件还能盈利( ) A0.125 B0.15 C0.25 D1.25 (山东泰安市中考题)18如果用名同学在小时内搬运块砖，那么名同学以同样的速度搬运块砖所需的小时数是( ) A B C D19已知 (=l，2，3，2002)求当时， 的值20在一次数学竞赛中，组委会决定用NS公司的赞助款购买一批奖品，若以1台NS计算器和3本数学竞赛讲座书为一份奖品则可买100份奖品；若以1台NS计算器和5本数学竞赛讲座书为一份奖品则可买80份奖品问这 笔钱全部用来购买计算器或
11、数学竞赛讲座书，可各买多少? (湖北省黄冈市竞赛题)21将116这16个整数填入方格中，使每行、每列、每条对角线上四个数之和都相等，如图所示，恰有8个小方格中填的数被一个淘气的小朋友擦掉了，请你将这擦掉的8个数设法恢复出来22阅读下列材料：十六大提出全面建设小康社会，国际上常用恩格尔系数(记作)来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为：，各类家庭的恩格尔系数如下表所示：家庭类型贫困温饱小康富裕最富裕6050n604050304030 根据上述材料，解答下列问题：某校初三学生对我市一个乡的农民家庭进行抽样调查从1997年至2002年间，该乡每户家庭消费支出总额每年平均增加500元，
12、其中食品消费支出总额每年平均增加200元，1997年该乡农民家庭平均刚达到温饱水平，已知该年每户家庭消费支出总额平均为8000元 求：(1)1997年该乡平均每户家庭食品消费支出总额为多少元? (2)设从1997年起m年后该乡平均每户的恩格尔系数为（为正整数）请用 的代数式表示该乡平均每户当年的恩格尔系数，并利用这个公式计算2003年该乡平均每户的恩格尔系数(百分号前保留整数)(3)按这样的发展，该乡将于哪年开始进入小康家庭生活?该乡农民能否实现十六大提出的2020年我国全面进入小康社会的目标? (桂林市中考题)答案：1.n2+n=n(n+1) 2.109 3. 4.150分钟 5.C 6.D
13、 7.B 8.B9.(1)S=n2 (2)100 132-52=144 (3)n=1510.(1)ab,(2)把骑车走平路时的速度作为“1”,则 ,得+=(+),得=.11.S=4n-4 12.b2 13.595 14.(1)18;(2)4n+215.A 设自然数从a+1开始,这100个连续自然数的和为(a+1)+(a+2)+(a+100)=100a+5050.16.C 第一列数可表示为2m+1,第二列数可表示为5n+1,由2m+1=5n+1,得n=m,m=0,5,10100017.A18.D 提示:每一名同学每小时所搬砖头为块,c名同学按此速度每小时搬砖头块.19.提示:a1=1,a2=,a
14、3=,an=,原式=.20.设每台计算器x元,每本数学竞赛讲座书y元,则100(x+3y)=80(x+5y),解得x=5y,故可购买计算器=160(台),书=800(本).21.提示:设所填表中每行、每列、每条对角线四数之和为，则 4S=1+2+3+16=,得S=34. 再设左上角所擦的数为x,则左下角擦的数为14-x,右下角擦掉的数为15+x,其余各格中擦掉的数都可以表示为x的代数式,再将主对角线上的数相加应得34,即30+4x=34,解得x=1. 于是可以依次算出被擦掉的各数,恢复后如图所示.x16-x14412 5+x8-x98 1010+x6-x14-x3215+x1151441267
15、981011513321622.(1)800060%=4800元. (2)nm=,即nm= 当m=2003-1997=6时.n6=0.55=55%.(3)取n=0.5,即=,解得m=16,即1997+16=20132020年,所以,2013年该村进入小康生活,并能实现十六大提出的目标.提高训练1用同样大小的黑棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第个图形需棋子_枚（用含的代数式表示） （2008年海南省中考题）2如图，一块拼图卡片的长度为，两块相同的拼图卡片拼接在一起的长度为，则块相同的拼图卡片拼接在一起的长度为_（用含的代数式表示） （2008年长春市中考题）3如果是一个三位数
16、，现在把1放在它的右边得到一个四位数，这个四位数是（ ）A B C D （重庆市竞赛题）4图中的三角形是有规律地从里到外逐层排列的设为第层（ 为正整数）三角形的个数，则下列关系式中正确的是（ ）A B C D （吉林省中考题）5某商场经销一批电视机，进价为每台元，原零售价比进价高，后根据市场变化，把零售价调整为原零售价的，调整后的零售价为每台（ ）元A BC D （2008年广东省竞赛题） 6已知是整数，现有两个代数式：（1），（2）其中，能表示“任意奇数”的（ ）A只有（1） B只有（2） C有（1）和（2） D一个也没有7有一张纸，第1次把它分割成4片，第2次把其中的1片分割成4片，以后每
17、一次都把前面所得的其中一片分割成4片，如此进行下去，试问：（1）经五次分割后，共得到多少张纸片？（2）经次分割后，共得到多少张纸片？（3）能否经若干次分割后共得到2003张纸片？ （第17届江苏省竞赛题）8如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想填空：当黑色瓷砖为20块时，白色瓷砖为_块；当白色瓷砖为（为正整数）块时，黑色瓷砖为_块 （宜昌市中考题）9在图甲中取阴影等边三角形各边的中点，连成一个等边三角形，将其挖去，得到图乙；对图乙中的每个阴影等边三角形仿照先前的做法，得到图丙，如此继续如果图甲的等边三角形面积为1，则第个图形中所有阴影三角形面积的和为_ （第18届江
18、苏省竞赛题）10已知，（=1，2，3，），则=_ （重庆市竞赛题）11老师报出一个5位数，同学们将它的顺序倒排后得到的5位数减去原数，学生甲、乙、丙、丁的结果分别是 34567，34056，23456，34956老师判定4个结果中只有一个正确，答对的是（ ）A甲 B乙 C丙 D丁 （第16届“五羊杯”竞赛题）12如图，正方形和的边长分别为，那么的面积的值（ ）A只与的大小有关B只与的大小有关 C与，的大小都有关D与，的大小都无关 （第19届江苏省竞赛题）13有四个互不相同的正整数，从中任取两个数组成一组，并在同一组中用较大的数减去较小的数，再将各组所得的差相加，其和恰好等于18若这四个数的乘积是23100，求这四个数 （天津市竞赛题）-第 20 页-