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1、-3支持向量机（回归）3.1.1 支持向量机支持向量机（SVM）是美国Vapnik教授于1990年代提出的，2000年代后成为了很受欢迎的机器学习方法。它将输入样本集合变换到高维空间使得其分离性状况得到改善。它的结构酷似三层感知器，是构造分类规则的通用方法。SVM方法的贡献在于，它使得人们可以在非常高维的空间中构造出好的分类规则，为分类算法提供了统一的理论框架。作为副产品，SVM从理论上解释了多层感知器的隐蔽层数目和隐节点数目的作用，因此，将神经网络的学习算法纳入了核技巧范畴。 所谓核技巧，就是找一个核函数使其满足，代替在特征空间中内积的计算。因为对于非线性分类，一般是先找一个非线性映射将输入
2、数据映射到高维特征空间，使之分离性状况得到很大改观，此时在该特征空间中进行分类，然后再返会原空间，就得到了原输入空间的非线性分类。由于内积运算量相当大，核技巧就是为了降低计算量而生的。特别， 对特征空间为Hilbert空间的情形，设是定义在输入空间上的二元函数，设中的规范正交基为。如果，那么取即为所求的非线性嵌入映射。由于核函数的定义域是原来的输入空间，而不是高维的特征空间。因此，巧妙地避开了计算高维内积所需付出的计算代价。实际计算中，我们只要选定一个，并不去重构嵌入映射。所以寻找核函数（对称且非负）就是主要任务了。满足以上条件的核函数很多，例如l 可以取为d-阶多项式：，其中为固定元素。l
3、可以取为径向函数：，其中为固定元素。l 可以取为神经网络惯用的核函数：，其中为固定元素。一般地，核函数的存在性只依赖于如何寻找一个平方收敛的非负序列。这样的序列在空间的正锥中的序列都满足。但哪一个最佳还有待于进一步讨论。经验表明，分类问题对于核函数不太敏感。当然，重新构造一个核函数也不是一个简单的事。因此，实际操作中往往就在上述三类中挑出一个来使用就可以了。支持向量机的结构示意图可以表示如下：图1 支持向量机结构示意图其中输入层是为了存贮输入数据，并不作任何加工运算；中间层是通过对样本集的学习，选择；最后一层就是构造分类函数整个过程等价于在特征空间中构造一个最优超平面。支持向量机的作用之一就是
4、分类。根据分类的任务，可以划分为一分类，二分类以及多分类。对于多类分类问题，可以用若干种手法将其分解为若干个二分类问题叠加。因此，为了实现支持向量机分类的算法，我们只要针对二分类，从头来给出它的数学原理。3.1.2 支持向量机分类的数学原理设样本集为，我们的目的是寻找一个最优超平面使得标签为1 和1的两类点不仅分开且分得间隔最大。l 当在维欧几里德空间中就可以实现线性分离时，也即存在超平面将样本集按照标签1与1分在两边。由于超平面在维欧几里德空间中的数学表达式是一个线性方程 ，其中，为系数向量，为维变量，内积，为常数。空间中点到超平面的距离。欲使得最大，等价于最小。于是，得到一个在约束条件下的
5、极值问题引入Lagrange乘子，可以解得关于该参变量的方程称之为Lagrange对偶函数。其约束条件为在此约束条件之下， 使得达到最大值的的许多分量为0，不为0的 所对应的样本就称为支持向量。这就是支持向量的来历。l 当在输入空间不能实现线性分离，假设我们找到了非线性映射将样本集映射到高维特征空间中，此时我们考虑在中的集合的线性分类，即在中构造超平面，其权系数满足类似的极值问题。由于允许部分点可以例外，那么可以引入松弛项，即改写为：最终转化为一个二次型在约束条件下的二次规划问题：其中，为矩阵。 是核函数。一分类问题是一个极端情形但却又是非常有用的，它可以表示为如下数学模型：设为空间的有限观测
6、点，找一个以为心，以为半径的包含这些点的最小球体。因此，一分类是对于求一个化合物成分的最小包络曲面的最佳方法。与前面完全相同的手法，设是由某个核函数导出的从输入空间到特征空间中的嵌入映射，最后可以得到二次规划问题其中， ， 为矩阵。是核函数。此时此时几乎所有的点满足。参数起着控制落在球外点的数目,变化区间为：.3.1.3基于线性规划的SVM分类由于分类问题的自然推理过程都会归结到二次规划求解，计算复杂度相对较高。如果能将其简化为线性规划而且没有较大的误差， 那么计算量将急速减少。于是提出了基于线性规划的SVM分类。此方法经过数学严格推理，是合理的（因为涉及泛函的知识较多，推理过程放在附录中）。
7、因此产生了基于线性规划一分类、二分类、多分类。此处，我们仅给出基于线性规划的SVM分类的最终形式：解出与则得出决策函数以及阈值。参数控制着满足条件的样本数量。特别核函数取为径向函数时，参数越小，精度越高。 另外，要提醒注意的是，在求解大规模分类问题得SVM算法实现时，需要以下辅助手段：停机准则：由于分类问题等价于求对偶问题在约束条件下的极值而KKT条件是收敛的充分必要条件。 因此通过监控KKT条件来得到停机条件这个条件中的不等式不必严格成立，只要在一定误差条件下成立就可以用了。选块算法分解法1. 给定参数， 。 选取初始工作集，记其对应的样本点的下标集为。令第次更新的工作集，其对应的样本点的下
8、标集为。2. 基于工作集， 由优化问题求出最优解，构造 按照如下方式：3. 如果已经在精度内满足停机准则，那么以此权系数构造决策函数即可。否则继续下一步。4. 在中找出个最严重破坏条件加入得出新的工作集，相应的下标集记为。5 重复2）3），直到样本集耗完为止。序列最小优化算法（SMO）Input: the observed dataset , 输入精度要求及指定核函数，初始化，。Output: the classification of these samplesStep1. 由更新公式Step2. 如果第步时达到停机要求，取近似解，否则继续迭代，直到满足停机为止，取为近似解。3.2 支持向量
9、回归（SVR）模型对于分类，支持向量机相当于导师样本为有限集的情形。考虑导师集合为不可数的情形，例如训练集可以为形如的情形，则演化出支持向量回归概念。支持向量回归也分为线性回归和非线性回归两种，但不是统计学中的线性或者非线性回归了，而是根据是否需要嵌入到高维空间来划分的，我们简述如下：l 对于给定的样本集, 以及任意给定的，如果在原始空间存在超平面 使得 ，则称是样本集合的线性回归。与初等代数类似，等价于中任何点到超平面的距离不超过。由于我们是分类，所以希望调整超平面的斜率使得与中任点距离都尽可能大。也即使得最大化，这等价于要求。于是，线性回归问题转化为优化问题：于是，引入松弛变量，并使用La
10、grange 乘子法，得到优化问题的对偶形式：l 对于不可能在原始空间就可以线性分离的样本集，先用一个非线性映射将数据映射到一个高维特征空间中，使得在特征空间中具有很好的线性回归特征，先在该特征空间中进行线性回归，然后返回到原始空间中。这就是支持向量非线性回归。于是，支持向量非线性回归的对偶优化问题如下：于是，非线性回归问题的实施步骤为：1 寻找一个核函数使得，2 求优化问题 的解。 3 计算4构造非线性函数。3.2.2支持向量机分类与支持向量回归的关系支持向量机用以分类和回归，两者到底是什么关系？为了建立回归与分类的关系，我们在特征空间中考虑如下的上下移动集合：，对于充分大的，与是线性可分离
11、的。于是得出关于与分类。引入松弛变量，由SVM分类方法得到将目标函数中的改写为 特别令, 那么上式变成而基于观测集，在特征空间中寻找单参数约束下的回归函数的问题等价于也就是说，回归问题可以通过分类的算法来实现。附录：基于线性规划的分类的合理性设输入向量的空间为， 记为上一切绝对值可积函数（即 一切可测且满足），按照通常的加法和数乘，构成的线性空间。一般地，我们偏好选则一个非线性映射将嵌入到空间。因为在该Hilbert空间中，任意闭子空间的正交补子空间存在问题是一个已解决了的问题，而在还是一个没有被完全解决的问题。如前所述，在此空间中得到的结果，特别是诱导出的核函数是一个非常好的亮点。在有限维空
12、间中，任何距离都是等价的。这一特征也是有限维空间独有的。类似于上面所述，我们可以在有限维空间上赋予范数：取遍区间 ，特别，范数就是通常的最大值范数：，范数就是通常的绝对值求和范数，范数就是通常的欧式范数。如果用表示内积，那么由Holder不等式，我们得，其中是中的一对共轭数。假设一对平行的超平面为：与，那么，两个平面之间的距离为特别，如果上赋予的是范数，则于是，导出相应的优化问题于是得到线性规划：简化了计算。同理，对于不可分离的情况，引入松弛变量后可得同理，对于非线性分类的情况，换成核函数同样也采用范数，此时相应的优化问题为而非线性问题的松弛条件下的优化问题为：无论是那种，都简化了运算。但是由
13、此会付出多大的代价呢？如果记，分别为基于上述相应范数得出的支持向量机，我们留作习题，请大家自己选择一个样本数据库，然后基于该库中数据，对三种在时间复杂度，精度，鲁棒性进行比较，也即填写如下表格：耗费时间Jackknife平均精度鲁棒性（训练集更换）小节SVM 的程序会很多，基于不同范数得到不同计算复杂度的程序。选择不同的核函数计算复杂度也会有区别；核函数的选取有研究价值，但难度大。目前见到的核函数对于精度的影响从某种意义上讲是“不大”。但我们已经从个案中发现，有时差异很大，于是，最优核函数的存在性问题值得深入讨论。SVM 的用途很多，可以取代神经网络的角色（支持向量回归SVR）；可以求有界集的“最小体积”（一分类问题）；多分类问题。其它的应用还在探索中，与随机图，与粗糙集的结合也已经有人在做，我已经审阅过的期刊论文就是这样。-第 12 页-