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1、-小波变换的降噪原理及性能仿真-第 14 页 基于MATLAB的小波变换的降噪原理及性能仿真按小波变换的发展过程划分，大致可以划分三个阶段：第一阶段：孤立应用时间。主要特征是一些特殊构造的小波在某些科学研究领域的特定问题上的应用。这个时代最典型的代表工作是法国地球物理学家J.“小波”用于分析处理地质数据，引进了以他们的名字命名的时间尺度小波，“零交叉”理论中使用的可按“尺寸大小”变化的滤波算子，现在称为“墨西哥帽”“多尺度分析”或“多分辨分析”有密切联系。这个时期一个有趣的现象是各个领域的专家、学者和工程师所从事的领域广泛分布于科学和技术研究的许多方面。因此，这个现象从另一个侧面预示了小波分析
2、理论研究和应用热潮的到来，说明了小波理论产生的历史必然性。第二阶段：国家性研究热潮和统一构造时期。真正的小波热潮开始与1986年，当时法国数学家Y.Meyer成功地构造出具有一定衰减性质的光滑函数，这个函数（算子）的二进尺度伸缩和二进整倍数平移产生的函数系构成著名的2-范数函数空间的标准正交基。这项成果标志“小波分析”新时代的到来。第三阶段：全面应用时期。从1992年开始，小波分析方法进入全面应用阶段。在前一阶段研究工作基础上，特别是数字信号和数字图像的Mallat分解和重构算法的确定，使小波分析的应用迅速波及科学研究和工程技术应用研究的几乎所有的领域。编辑部是在美国的Texas A&M 大学
3、的国际杂志Applied and Computation Harmonic Analysis从1993年创刊之日起就把小波分析的理论和应用研究作为其主要内容，编辑部的三位主编C.K.Chi、R.Coifman与I.Daubechies都在小波分析的研究和应用中有独到的贡献。时至今日，小波分析的应用范围还在不断扩大，许多科技期刊都刊载与小波分析有关的论文，各个学科领域的地区性和国际性学术会议都有设计小波分析的各种类型的论文、报告。同时，在国际互联网和其他有较大影响的网络上，与小波有关的书籍、论文、报告、软件、随时随地有可以找到并可以免费下载，甚至颇有国际影响的软件公司MathWorks在它的“科
4、学研究和工程应用”软件MATLAB中，特意把小波分析作为其“ToolBox”的单独一个工具箱。由此可以大致了解小波分析广泛应用状况。按小波变换的思想来源划分，大致可以分为两个阶段：第一阶段：小波变换的思想来源于伸缩与平移方法。小波分析方法的提出，最早应属1910年Haar提出的规范正交基，但当时并没有出现“小波”这个词。1936年Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论，对频率按二进制进行划分，其傅立叶变换的相位变化并不影响函数的大小，这是多尺度分析思想的最早来源。1946年Gabor提出的加窗傅立叶变换（或称短时傅立叶变换）对弥补傅立叶变换的不足起到了一定的作
5、用。后来，Galderon、Zygmund、Stem等将LP理论推广到高维，并建立了奇异积分算子理论；1965年Galderon发现了再生核公式，它的离散形式已接近小波展开，只是还无法得到一个正交系的结论。1981年， Sterm对Haar系数进行了改进，证明了小波函数的存在性。1982年Battle在构造量子场论中采用了caldem再生核公式的展开形式。第二阶段：1984年，法国地球物理学家J.Morlet在分析地震数据时提出将地震波按一个确定函数的伸缩、平移系展开，他与A.Grossman共同研究，发展了连续小波变换的几何体系。1985年，法国的大数学家Meyer首先提出了光滑小波的正交基
6、，1986年，Meyer及其学生Memaarie提出了多尺度分析的思想。1987年Mallat将计算机视觉领域内的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨分析的概念，统一了在此之前的所有正交小波基的构造，并提出了相应的分解与重构快速算法。1988年，年轻的女数学家Dallbechies提出了具有紧支集的光滑正交小波基Daubechies基，为小波的应用研究增添了催化剂。同年，Daubechies在美国主办的小波专题讨论会上进行了10次演讲，引起了广大数学家、物理学家甚至某些企业家的重视，由此将小波的理论和实际应用推向了一个高潮。事实上小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；
7、信号分析14、图象处理5,6；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别710，音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理11；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波1215、去噪声1619、压缩、传递等。在图象处理方面的图象压缩、分类、识别与诊断、去污等。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间等。（1）地震数据压缩。将地震记录作小波变换，变换后的结果做阈值量化，去除大量接近于零的值，用一定的记录方式把结果存储起来，达到压缩的目的。当需要再利用这些地
8、震数据时，作小波逆变换恢复原来的地震记录。（2）油气预测。地球物理勘探中，寻求地壳物质物性参数的奇异性是非常有意义的。例如，断层会使重力异常产生的较大变化；在地壳介质的分界面处，地震波的传播会产生速度和方向的变化，这些都是地球物理信号的奇异性。判断出奇异性的大小和位置就可以对异常现象做出解释。应用中：通常是将分形几何理论和模式识别理论与小波变换的突变点原理相结合，通过确定表征奇异性的数检测地震道的奇异性，预测储层所在的位置。通过计算地震道的分维数或提取小波变换域的地震特征参数，建立关联维数或地震的特征参数与含油气的关系，利用模式识别的原理确定油气井的位置。（1）数据压缩。随着科学技术特别是计算
9、机技术的发展以及互联网的普及，许多应用领域（如卫星监测、地震勘探、天气预报）都存在海量数据传输或存储问题，如果不对数据进行压缩，数量巨大的数据就很难存储、处理和传输。因此，伴随小波分析的诞生，数据压缩一直是小波分析的重要应用领域之一，并由此带来巨大的经济效益和社会效益。（2）语音分析与处理。小波理论应用于语音分析与处理的主要内容包括：清/浊音分割；基音检测与声门开启时刻定位；去噪、压缩、重建几个方面。从数学的角度讲，小波分析的发展，对微分方程、积分方程的数值解、统计学等学科也注入了新的活力。因此，小波分析在流体力学的模型建立和求取数值解、医学细胞识别、线性系统计算、物理学分析、工程计算20,2
10、1中也得到了应用。由于小波分析处于高速发展阶段，新的理论和应用领域不断涌现。（1） 瞬态信号或图像的突变点常包含有很重要的故障信息，例如，机械故障、电力系统故障、脑电图、心电图中的异常、地下目标的位置及形状等，都对应于测试信号的突变点。虽然这些问题发生的背景不同，但都可以归结到如何提取信号中突变点的位置及判定其奇异性（或光滑性）的问题。对图像来说，急剧变化的点通常对应于代表图像结构的边缘部位，也就是图像信息的主要部分。掌握了它，也就掌握了图像的基本特征，因此，小波分析在故障检测和信号的多尺度边缘特征提取方面的应用具有广泛的应用前景。（2） 神经网络与小波分析相结合，分形几何与小波分析相结合是国
11、际上研究的热点之一。基于神经网络的智能处理技术，模糊计算、进化计算与神经网络结合的研究，没有小波理论的嵌入很难取得突破。非线性科学的研究正呼唤小波分析，也许非线性小波分析是解决非线性科学问题的理性工具。（3） 小波分析用于数据或图像的压缩，目前绝大多数是对静止图像进行研究的。面向网络的活动图像压缩，长期以来是采用离散余弦变换（DCT）加运动补偿（Mc）作为编码技术，然而，该方法存在两个主要的问题：方块效应和蚊式噪声。利用小波分析的多尺度分析不但可以克服上述问题，而且可首先得到粗尺度上图像的轮廓，然后决定是否需要传输精细的图案，以提高图像的传输速度。因此研究面对网络的地速率图像压缩的小波分析并行
12、算法，具有较高探索性和新颖性。同时也具有较高的应用价值和广泛的应用前景。（4） 目前使用的二维及高维小波基主要是可分离的。不可分离二维及高维小波基的构造、性质应用研究，由于理论上较为复杂，这方面的成果甚少。也许向量小波及高维小波的研究能够为小波分析的应用开创一个新天地。小波分析虽然在许多应用领域已取得了一定的成果但事实上小波分析仍面临的一些问题，主要问题如下：（1） 小波理论尚不完善，除一维小波理论比较成熟以外，高维小波、向量小波的理论还远非人们所期待的那样，特别是各类小波，如正交小波、双正交小波及向量小波、二进小波、离散小波的构造和性质的研究。（2） 最优小波基选取方法的研究。虽然国内外已有
13、一些最优基选取方法的研究但缺乏系统规范的最佳小波基选取方法，即针对不同的问题能最优地选择不同的小波基以实现最好的应用效果。我们知道不存在一种小波基能适应所有的情况，因此，小波基的优化选择始终是小波理论研究的重要内容。（3）小波分析的应用范围虽然很广，但真正取得极佳应用效果的领域并不多，人们正在挖掘有前景的应用领域。（4） 目前小波分析软件远不如有限差分方法（FDM）、有限元方法（FEM）、边界元方法（EEM）等软件成熟和完善，更无大型系统权威的小波分析软件，作为商品的高水平小波分析软件几乎没有。（5） 小波分析在数据图像压缩方面已取得很好的成绩，人们期待利用小波能够实现高压缩比、高重现度图像的
14、压缩，并探索在图像的边缘检测、分类与描述中的应用。小波分析是20世纪80年代后期形成的一种新兴的数学分支，是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，经过近10年的探索研究，重要的学形式化体系已经建立，理论基础更加扎实。小波分析是在傅里叶分析的基础上发展起来的，但小波分析与傅里叶分析存在着极大的不同，与Fourier变换相比，小波变换是空间（时间）和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。
15、数学家认为，小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、Fourier分析、样调分析、数值分析的完美结晶；信号和信息处理专家认为，小波分析是时间尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果。在本章中，对小波进行了基本的介绍。先对小波变换的发展从两个方面进行了介绍包括小波变换的发展及小波变换的思想。接下来分别从小波分析在地球物理勘探、信号和图像处理及在其他领域的应用说明了小波变换的如今的应用领域。最后简单的介绍了小波分析的应用前景及面临的主要问题并且把小波分析和傅里叶进行了简单的对
16、比。第二章 小波变换的基本原理小波变换是一种信号的时间尺度（时间频率）分析方法，它具有多分辨分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较低的时间分辨率和较高的频率分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于分析非平稳的信号和提取信号的局部特征，所以小波变换被誉为分析处理信号的显微镜。在处理分析信号时，小波变换具有对信号的自适应性。小波变换的应用是与小波变换的理论研究紧密地结合在一起的。现在，它已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。电子信息技术是六大高新技
17、术中重要的一个领域，它的重要方面是图象和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构（或恢复）。从数学地角度来看，信号与图象处理可以统一看作是信号处理（图象可以看作是二维信号），在小波变换地许多分析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。现在，对于其性质随实践是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。2.1傅里叶变换、短时傅里叶变换到小波变换传统的信号分析是建立在傅里叶变换的基础之上的，在众多科学领域，特别是
18、在信号处理、图像处理、量子物理等方面，傅里叶变换是重要的应用工具之一。其定义为若（表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间），则 （2-1） （2-2）它的基 为一组正交基，它体现的是一种全局变换，且具有鲜明的物理意义。其中表示时域信号，表示信号的傅里叶变换，傅里叶变换实现了时域和频域的转换，许多在时域难以分清和解决的问题在频域可以一目了然。虽然，傅里叶变换能够将信号的时域特征和频域特征联系起来，可以在时域或者频域对信号进行分析，但是它缺乏时间和频率的定位功能。因为傅里叶变换是整个时间域内的积分，所以没有局部化分析信号的功能，即傅里叶分析只能分析信号在整个时域的频谱，无法反映信号的局部特征
19、。而信号的时频局域性，正是非平稳信号最根本最关键的性质。为了克服傅里叶变换的这一缺点，人们寻求了一系列新的信号分析理论，其中短时傅里叶变换和小波变换就是在这样的情况下产生的。短时傅里叶变换（Short-time Fourier Transform）是 Dennis Gabor 于1946年提出的一种时频分析方法。其定义为 （2-3） （2-4）它的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，假定非平稳信号在分析窗函数的一个短时间间隔内是平稳（准平稳）的，并移动窗函数，从而计算出各个不同时刻的频谱。但是，短时傅里叶变换从本质上看，它是一种单一分辨率的信号分析方法，因为它使用的是一个固定的短时窗函数
20、，这也就是它在信号分析上的缺陷。小波分析是傅里叶分析思想方法的发展与延拓。它既继承和发展了短时傅里叶变换的局部化思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化的缺点，是对信号进行时频分析以及处理时变非平稳信号的比较理想的工具。小波变换是近几十年发展起来的能同时在时域和频域内进行局部化信号分析的数学方法，它在分析原始信号时，在时域和频域上都具有良好的局部化性质，对不同信号采用相应的时域取样步长，能够聚焦到信号的任意微小细节，是一种优于傅里叶变换和窗口傅里叶变换的信号处理方法。设，其傅里叶变换为。当满足条件22 （2-5）或其等价条件 （2-6）的函数称为一个母小波函数（Mother Wavelet Fu
21、nction），式（2-5）、（2-6）小波容许条件。将母小波经伸缩和平移后，可得到小波序列 （2-7）其中a尺度因子，平移， 。称为小波基函数。小波基函数在时域和频域都具有有限或近似有限的定义域，所以经伸缩和平移后的小波基函数在时域和频域仍是局部性的，小波基函数的窗口随尺度因子的不同而伸缩，当a增大时小波基函数的时间窗口变大，而对应的频域窗口相应变小，中心频率降低。相反，当a减小时，小波基函数的时间窗口变小，而对应的频域窗口相应变大，中心频率升高。定义小波母函数的窗口宽度为，窗口中心为，其相应傅里叶变换的窗口宽度为 ，窗口中心为。小波基函数时域的窗口中心为，窗口宽度为 ；频域窗口中心为，窗口
22、宽度为。则有下式成立+ ， （2-8） ， （2-9）由此，有如下结论23：（1）尺度a的倒数在一定意义上对应频率 ，即尺度越小，对应频率越高，尺度越大，对应频率越低。如果尺度a对应时间窗口，则小尺度信号为短时间信号，大尺度信号为长时间信号。（2）在任意时刻 t 上，小波的时频窗口的大小和 都随尺度a的变化而变化，这正是小波变换比傅里叶变换优越的地方。（3）在任意尺度a，时间点t上，窗口面积保持不变，即时间、尺度分辨率是相互制约的，不可能同时提高。（4）小波基函数作为带通滤波器，其品质因数不随尺度a变化，即=（常数） （2-10）因此，它是一组频率特性等Q的带通滤波器组。如果，且 则 （2-1
23、1） （2-12） 其中，是基本小波的位移与尺度伸缩。尺度因子 a，平移为连续变量，所以式（2-11）称为连续小波变换（Continuous Wavelet Transform） 。小波变换对而言是以为核函数的线性变换。本章首先介绍了由傅里叶变换到短时傅里叶变换再到小波变换的发展过程，然后对小波基函数的特性进行了仔细讨论，了解到了小波变换与傅里叶变换不同，小波变换通过平移小波（Mother Wavelet）可获得信号的时间信息，而通过缩放小波的宽度（或者叫做尺度）可获得信号的频率特性（对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波的系数，这些系数代表小波和局部信号之间的相互关系），连续小波的时频窗口中
24、心和宽度可以精确定位，且都随尺度a的变化而伸缩。若将时频窗口综合考虑，根据公式推导可得时频窗口的面积与尺度a无关，即时间分辨率和频率分辨率是相互制约的。最后给出了小波变换的公式，为小波降噪原理的介绍提供了铺垫。第三章 小波降噪原理在实际工程问题中，我们通过实验得到的原始信号总会混杂着一定的噪声，而噪声的存在严重地干扰了信号的本质特征，不利于进一步的信号处理和分析。因此，在对原始信号进行预处理时，对噪声加以消除或减小，以便最大程度的提取原始信号中的有用信息，是非常有必要的。本文主要考虑与信号无关的白噪声的去噪问题，信号经过去噪处理后，不但信噪比得到了提高，同时信号的一些细节特征也突现出来了。我们
25、把去除信号中含有的噪声并恢复原始信号的过程称为信号去噪，在信号处理领域中，人们根据实际信号的特点和噪声的统计特征，基于统计估计原理，提出了各式各样的信号去噪方法。这些去噪方法中，有的是在时域中进行的，有的是在频域中进行的，这些方法的基本思想是根据噪声和信号在时域或频域上分布的不同而进行的。现有的一般去噪方法有基于Fourier变换的信号去噪方法，也即低通滤波方法；基于信号的自相关去噪方法；基于小波变换的信号去噪方法等。其中，在实际问题中最常用的是滤波方法和基于小波变换的信号去噪方法。由上一章节的讨论，我们知道小波变换是在傅里叶变换的基础上发展起来的，小波变换是比傅里叶变换更为突出的优点是其具有
26、时频局部分析功能。将小波变换的思想用到信号去噪中，也即基于小波变换的信号去噪方法也是本文所要研究的一个内容。在实际问题中，我们所要考虑的噪声信号大多是白噪声2427，本文也是在白噪声的基础上来讨论信号去噪方法的。信号去噪方法各式各样，我们有必要提出一些评价信号去噪性能好坏的标准。假设我们在实验中获得的原始信号中含有白噪声，则有以下一些特性28：（1）可以看做一个平稳的随机信号，它在各采样点处的取值是一个随机变量，取值的大小与其它采样点处的随机取值无关，白噪声之间无相关性，即任意的两个白噪声和是不相关的。（2）可以看做是能量无限且零均值的，白噪声在时域中没有衰减性，白噪声也是随机变动的，且有。（
27、3）相对于某一个确定的信号而言，在时域里的表现是均匀密集的。（4）包含着全部的频谱，即。本节主要介绍文献中较为常见的三种评价标准：信噪比、信噪比增益和均方根误差。（1）信噪比（Signal Noise Ratio，简记为SNR）信噪比是测量信号中的噪声量的传统方法，常被用来作为信号去噪性能好坏的评价标准。国际上信噪比的单位是分贝（dB），信噪比通常的定义为 （3-1）其中，表示原始信号的功率，表示原始信号中混杂的噪声的功率，表示原始信号，表示去噪以后的估计信号。通过信噪比定义我们知道：一个混杂有白噪声的原始信号经过不同的方法去噪以后，信噪比越大就说明这种方法的去噪效果越好。（2）信噪比增益记信
28、噪比增益为A，则信噪比增益的定义为 （3-2）其中：表示信号去噪以后的信噪比，表示信号去噪以前的信噪比，通过信噪比增益的定义我们知道：去噪后信噪比的增益越大，就说明去噪效果越好。（3）均方误差（MSE）均方误差定义为 （3-3）其中表示原始信号，表示去噪以后的估计信号。在本文中我们用到的信号去噪性能的评价标准为信噪比。一般地，有用信号通常表现为低频信号或是一些比较平稳的信号，而噪声信号则通常表现为高频信号。所以消噪过程主要进行以下处理：首先对原始信号进行小波分解，则噪声部分通常包含在高频系数中；然后对小波分解的高频系数以门限阈值等形式进行量化处理；最后再对信号重构即可达到消噪的目的。对信号消噪
29、实质上是抑制信号中的无用部分，恢复信号中有用部分的过程。原理基于小波的信号去噪问题在数学上是一个函数逼近的问题，即如何在由小波基函数伸缩和平移所张成的函数空间中，根据某一个衡量准则，寻找对真实信号的最佳逼近，以期达到将噪声从真实信号中去除的目的。小波信号去噪问题的数学描述29为由小波信号去噪问题的数学描述，实际上，基于小波的信号去噪就是为了寻找从含噪信号空间到小波函数空间的最佳映射，以便得到真实信号的最佳恢复。从信号处理的角度来看，小波去噪问题就是一个信号滤波问题，尽管在很大程度上小波去噪可以视为低通滤波，但由于小波去噪后，还能成功地保留原有真实信号的特征信息，所以从这一点来说，基于小波的信号去噪方法是优于传统的基于变换的信号低通滤波的。由此可见，小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合，其滤波过程可以用下图3-1来表示