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1、-小学奥数同余问题-第 5 页同余问题（一） 在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。1. 同余的表达式和特殊符号 37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。 记作：（mod7） “”读作同余。 一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作：2. 同余的性质 （1）（每个整数都与自身同余，称为
2、同余的反身性。） （2）若，那么（这称作同余的对称性） （3）若，则（这称为同余的传递性） （4）若，则（）（这称为同余的可加性、可减性） （称为同余的可乘性） （5）若，则，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象： 如果 那么（的差一定能被k整除） 这是为什么呢？ k也就是的公约数，所以有 下面我们应用同余的这些性质解题。【例题分析】例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？ 分析与解答： 假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。
3、所以a最大是31。例2. 除以19，余数是几？ 分析与解答： 如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。 所以 此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。例3. 有一个1997位数，它的每个数位都是2，这个数除以13，商的第100位是几？最后余数是几？ 分析与解答： 这个数除以13，商是有规律的。 商是170940六个数循环，那么，即，我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第100位是9。 余数是几呢？ 则所以商的个位数字应是“170940”中的第4个，商应是9，相应的余数是5。【模拟试题】（答题时间：20分钟）1. 求下列算式
4、中的余数。 （1） （2） （3） （4）2. 6254与37的积除以7，余数是几？3. 如果某数除482，992，1094都余74，这个数是几？同余问题（二）【例题分析】例1. 除以7，余数是几？ 分析与解答：例2. 一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余1，这个自然数最小是几？分析：假设这个自然数为a那么这道题考虑的困难是它们的余数不相同。如果把这道题改一下，使它们的余数相同，利用整除的知识，便容易考虑了，先看下面一道题：一个自然数除以3余2，除以5余2，除以7余2，那么，这个自然数若减去2，便同时是3，5，7的倍数，这样的自然数有：105，210，315，分别被3，5，7除余2的数是
5、2，107，212，317，最小的自然数是2。回过头来看刚才的题，能不能把它也变为余数相同的数呢？稍加变式，可以写成：这样同时是3，5，7倍数的数有105，210，315，那么同时被3，5，7余8的数有：8，113，218，323，其中最小的自然数为8。例3.在求51173526被7除的余数时，小明这样做： 所以余数是5 刘老师说，小明的算法不仅正确，而且巧妙迅速，你知道其中的道理吗？ 分析与解答： 看了下面的算式，你就会明白的。 小明用的这种方法，有比较广泛的应用，常称之为“拼凑法”在解关于用几除的余数的问题时，常常“拼凑”出显然是几的倍数的部分，对于这部分，简直可以“置之不理”，这样可以使
6、解答过程简化。例4. 除以3的余数是几？为什么？ 分析与解答： 在上式的加项中，显然可以被3整除，因此只须计算被3除余数是几。 由于 因此 由此可知，只须计算被3除的余数，它又等于被3除的余数。由于，所以所以余数是1【模拟试题】1. 今天是星期日，再过天又是星期几？2. 求除以3所得的余数。3. 某数除680，970和1521，余数相同，这个数最大是几？4. 有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是7，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么，第1997个数被3除，余数是几？5. 若将一批货物共千克装入纸箱，每箱装10千克，最后余多少千克？若每箱装17千克，最后还余多少千克？6、1
7、309被一个质数相除，余数是21，求这个质数。7、1796被一个质数相除，余数是24，求这个质数。8、求20012000除以7的余数。9、求123345+234456除以11的余数。10、有一个大于1的整数，它除1000、1975、2001都得到相同的余数，那么这个整数是多少？11、有三个数1989、901和306被同一个自然数除，得到相同的余数，求这个自然数。12、两个自然数相除，商15，余3，被除数、除数、商、余数的和是853，求被除数。13、有一个数除以3余1，除以4余2，问这个数除以12，余数是几？14、一个数除以5余1，除以6余3，除以7余4，这个数最小是几？15、386742531
8、644351，求里的数。493768453379765，求里的数。16、两个自然数相除，商8余16，被除数、除数、商与余数的和为265，求除数是多少？17、写出除以8所得的商和余数（不为0）相同的所有的数。18、20022002-2001除以9的余数是多少？19、当2002和1781除以某一个自然数，余数分别是2和1，那么这个数最大是多少？20、一个数除以17的余数是5，被除数扩大2倍，余数是多少？21、有一个数，除以3余数是1，除以4余数是3 。这个数除以12，余数是多少。22、570被一个两位数除，余数是15，这个两位数是多少？23、有一个数加上22的和被9除余3，这个数加上35的和被9被
9、余几？B组26、把几十个苹果平均分成若干份，每份9个余8个，每份8个余7个每份4个余3个。这堆苹果共有多少个？27、有一个数被5和11整除均余4，被3正好整除，这个数最小是几？28、求被4除余2，被6除余2，被9除余5的两位数。29、一个数能被3、5、7整除，若用11去除则余7，这个数最小是几？30、小红收数学学习小组买奥数练习本的钱，她只记下四组各交的钱，第一组6.3元，第二组7.7元，第三组6.3元，第四组9.1元，又知道每本练习本价格都超过1角，求数学学习小组共有多少人？（提示：练习本单价是总价的公约数。）31、五年级两个班的学生一起排队出操，如果8人排一行，多出一个人；如果11人排一行，同样多出一个人。这两个班最小共有多少人？（提示：如果减去一人那么人数就能被8和11整除了。）