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1、-射影定理-第 3 页射影定理 所谓射影，就是正投影。直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式: 如图，RtABC中，ABC=90，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）(BD)=ADDC， （2）(AB)=ADAC ， （3）(BC)=CDCA。直角三角形射影定理的证明 一、（主要是从三角形的相似比推算来的）在BAD与BCD中，ABD+CBD=90，且CBD+C=90，ABD=C，又BDA=BDC=90BADCBD AD/BD=BD/CD即BD=ADD
2、C。其余同理可得可证有射影定理如下：AB=ADAC，BC=CDCA两式相加得：AB+BC=（ADAC）+（CDAC） =（AD+CD)AC=AC 。二、用勾股证射影AD=AB-BD=AC-CD,2AD=AB+AC-BD-CD=BC-BD-CD=(BC+BD)(BC-BD)-CD=(BC+BD)CD-CD=(BC+BD-CD)CD=2BDCD.故AD=BDCD.运用此结论可得:AB=BD+AD=BD+BDCD=BD(BD+CD) =BDBC,AC =CD+AD=CD+BDCD=CD(BD+CD)=CDCB.综上所述得到射影定理。同样也可以利用三角形面积知识进行证明。三、用三角函数证明由等积法可知：ABBC=BDAC在RtABD和RtABC中，tanBAD=BD/AD=BC/AB故ABBC=BDAC两边各除以tanBAD得：AB2=ADAC 同理可得BC=CDCA在RtABD和RtBCD中tanBAD=BD/AD cotBCD=CD/BD又tanBAD=cotBCD故BD/AD=CD/BD得BD2=ADCD