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1、-导数压轴选择题-第 12 页一选择题（共12小题）1（2014海口二模）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x0时，有恒成立，则不等式x2f（x）0的解集是（）A（2，0）（2，+）B（2，0）（0，2）C（，2）（2，+）D（，2）（0，2）2（2013安徽）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x）2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（）A3B4C5D63（2013文昌模拟）设动直线x=m与函数f（x）=x3，g（x）=lnx的图象分别交于点M、N，则|MN|的最小值为（）ABCDln314（2012辽宁）已
2、知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为（）A1B3C4D85（2012无为县模拟）已知定义在R上的函数f（x）、g（x）满足，且f（x）g（x）f（x）g（x），若有穷数列（nN*）的前n项和等于，则n等于 （）A4B5C6D76（2012桂林模拟）已知在（，+）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A（，1B1，4C1，1D（，1）7（2011武昌区模拟）已知f（x）是定义域为R的奇函数，f（4）=1，f（x）的导函数f（x）的图象如图所示若两正数a，b满足f（a+2b）1，则的取值范围是（）ABC（1，10
3、）D（，1）8（2010辽宁）已知点P在曲线y=上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A0，）BCD9已知函数f（x）的定义域为（2，2），导函数为f（x）=x2+2cosx且f（0）=0，则满足f（1+x）+f（x2x）0的实数x的取值范围为（）A（1，1）B）CD）10若函数，且0x1x21，设，则a，b的大小关系是（）AabBabCa=bDb的大小关系不能确定11已知函数f（x）=x3+ax2+2bx+c（a，b，cR），且函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则z=（a+3）2+b2的取值范围（）A（，2）B（，4）C（1，2）D（1，4
4、）12若函数f（x）=（a3）xax3在区间1，1上的最小值等于3，则实数a的取值范围是（）A（2，+）BCD（2，12二填空题（共7小题）13（2014江苏模拟）已知函数f（x）满足f（x）=2f（），当x1，3，f（x）=lnx，若在区间，3内，函数g（x）=f（x）ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是_14（2010盐城三模）设a0，函数，若对任意的x1，x21，e，都有f（x1）g（x2）成立，则实数a的取值范围为_15设函数f（x）=x3+bx（b为常数），若方程f（x）=0的根都在区间2，2内，且函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，则b的取值范围是_16已知函数f（x）=x
5、33x，x2，2和函数g（x）=ax1，x2，2，若对于x12，2，总x02，2，使得g（x0）=f（x1）成立，则实数a的取值范围_17某学生对函数f（x）=2xcosx进行研究后，得出如下四个结论：（1）函数f（x）在，0上单调递增，在0，上单调递减；（2）存在常数M0，使|f（x）|M|x|对一切实数x均成立；（3）点是函数y=f（x）图象的一个对称中心；（4）函数y=f（x）图象关于直线x=对称其中正确的_（把你认为正确命题的序号都填上）18设函数f（x）=lnx，有以下4个命题对任意的x1、x2（0，+），有f（）；对任意的x1、x2（1，+），且x1x2，有f（x1）f（x2）x2
6、x1；对任意的x1、x2（e，+），且x1x2有x1f（x2）x2f（x1）；对任意的0x1x2，总有x0（x1，x2），使得f（x0）其中正确的是_（填写序号）19（2014四川二模）函数f（x）=exex，当0，变化时，f（msin）+f（1m）0恒成立，则实数m的取值范围是_三解答题（共4小题）20（2014凉州区二模）已知函数f（x）=plnx+（p1）x2+1（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当P=1时，f（x）kx恒成立，求实数k的取值范围；（3）证明：1n（n+1）1+（nN+）21（2014佛山模拟）设aR，函数f（x）=lnxax（1）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1
7、处的切线方程；（2）若a，试判断函数f（x）在x（1，e2）的零点个数，并说明你的理由；（3）若f（x）有两个相异零点x1，x2，求证：x1x2e222（2012武汉模拟）已知函数f（x）=ln（1+x）ax在x=处的切线的斜率为1（）求a的值及f（x）的最大值；（）证明：1+ln（n+1）（nN*）；（）设g（x）=b（exx），若f（x）g（x）恒成立，求实数b的取值范围23（2009聊城二模）已知函数为大于零的常数（1）若函数f（x）在区间1，+）内调递增，求a的取值范围；（2）求函数f（x）在区间1，2上的最小值；（3）求证：对于任意的成立 1解答：解：因为当x0时，有恒成立，即0恒成
8、立，所以在（0，+）内单调递减因为f（2）=0，所以在（0，2）内恒有f（x）0；在（2，+）内恒有f（x）0又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以在（，2）内恒有f（x）0；在（2，0）内恒有f（x）0又不等式x2f（x）0的解集，即不等式f（x）0的解集所以答案为（，2）（0，2）故选D2解：f（x）=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，不妨设x2x1，由3（f（x）2+2af（x）+b=0，则有两个f（x）使等式成立，x1=f（x1），x2x1=f（x1），如下示意图象：如图有三个交点，故选A3解：画图可以看到|MN|就是两条曲线间的垂直距离设F（x）=f
9、（x）g（x）=x3lnx，求导得：F（x）=令F（x）0得x；令F（x）0得0x，所以当x=时，F（x）有最小值为F（）=+ln3=（1+ln3），故选A4解：P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2P（4，8），Q（2，2）x2=2yy=y=x切线方程AP，AQ的斜率KAP=4，KAQ=2切线方程AP为y8=4（x4）即y=4x8切线方程AQ的为y2=2（x+2）即y=2x2令点A的纵坐标为4故选C5解：=，f（x）g（x）f（x）g（x），=0，即函数单调递减，0a1又，即，即，解得a=2（舍去）或，即数列是首项为，公比的等比数列，=，由解得n=5，故选B6解：要是一
10、个分段函数在实数上是一个增函数需要两段都是增函数且两个函数的交点处要满足递增，当x0时，y=3x2（a1）0恒成立，a13x2 a10 a1，当x=0时，a23a401a4，综上可知1a1故选C7解：由f（x）的导函数f（x）的图象，设f（x）=mx2，则f（x）=+nf（x）是定义域为R的奇函数，f（0）=0，即n=0又f（4）=m（64）=1，f（x）=x3=且f（a+2b）=1，1，即a+2b4又a0，b0，则画出点（b，a）的可行域如下图所示而可视为可行域内的点（b，a）与点M（2，2）连线的斜率又因为kAM=3，kBM=，所以3故选B8解：因为y=，ex+ex+24，y1，0）即ta
11、n1，0），0故选D9解：f（x）=x2+2cosx知f（x）=（1/3）x3+2sinx+c f（0）=0，知，c=0即：f（x）=（1/3）x3+2sinx易知，此函数是奇函数，且在整个区间单调递增，因为f（x）=x2+2cosx在x（0，2】0恒成立根据奇函数的性质可得出，在其对应区间上亦是单调递增的f（1+x）+f（x2x）0f（1+x）f（x2x）即：f（1+x）f（xx2） 2x+12（保证有意义）2x2x2（保证有意义）x+1xx2（单调性得到的）解得即可故答案为A10解：f（x）= 0x1时，xtanxf（x）0，故函数单调递减，所以当0x1x21时，f（x1）f（x2）即ab
12、故选A11解：f（x）=f（x）=x2+ax+2b函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值f（x）=x2+ax+2b=0在（0，1）和（1，2）内各有一个根f（0）0，f（1）0，f（2）0即（a+3）2+b2表示点（a，b）到点（3，0）的距离的平方，由图知（3，0）到直线a+b+2=0的距离，平方为为最小值，由得（3，1）（3，0）与（3，1）的距离为1，（3，0）与（1，0）的距离2，所以z=（a+3）2+b2的取值范围为（）故选项为B12解：由函数f（x）=（a3）xax3 求导函数为：f（x）=3ax2+（a3），当a=0时，f（x）=3x，此时函数在定
13、义域内单调递减，所以函数的最小值为：f（1）=3，符合题意，所以a=0符合题意；当a0时，f（x）=0，即 3ax2=a3 （I）当0a3时，f（x）=3ax2+（a3）为开口向下的二次函数，且=12a（a3）0，f（x）0恒成立所以函数f（x）在定义域上为单调递减函数，函数的最小值为f（1）=3，此时符合题意；（II）当a0或a3时，f（x）=0，即 3ax2=a3 解得：，当，即a，函数f（x）在1，上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以此时函数在定义域的最小值为f（1）=3或f（）= 令 解得：a，即时，函数在定义域上始终单调递减，则函数在定义域上的最小值为f（1）=3，符合题意综
14、上所述：当即 时符合题意故选B13解：在区间，3内，函数g（x）=f（x）ax，有三个不同的零点，a0若x1，3时，f（x）=lnx，可得g（x）=lnxax，（x0）g（x）=a=，若g（x）0，可得x，g（x）为减函数，若g（x）0，可得x，g（x）为增函数，此时g（x）必须在1，3上有两个交点，解得，a 设 x1，可得13，f（x）=2f（ ）=2ln ，此时g（x）=2lnxax，g（x）=，若g（x）0，可得x0，g（x）为增函数若g（x）0，可得x，g（x）为减函数，在，1上有一个交点，则 ，解得0a6ln3综上可得 a；若a0，对于x1，3时，g（x）=lnxax0，没有零点，不
15、满足在区间，3内，函数g（x）=f（x）ax，有三个不同的零点，a=0，显然只有一解，舍去综上：a故答案为：a14解：g（x）=xlnxg（x）=1，x1，e，g（x）0 函数g（x）单调递增g（x）的最大值为g（e）=e1f（x）=x+f（x）=，令f（x）=0a0x=a当0a1 f（x）在1，e上单调增 f（1）最小=1+a2e11a当1ae 列表可知 f（a）最小=2ae1 恒成立当ae时 f（x）在1，e上单调减 f（e）最小=e1 恒成立综上a故答案为：a15解：函数f（x）=x3+bx（b为常数），f（x）=x（x2+b）=0的三个根都在区间2，2内，b4函数f（x）在区间（0，1
16、）上单调递增，f（x）=3x2+b0在区间（0，1）上恒成立，b3综上可知3b4，故答案为：3，416解：f（x）=x33x，f（x）=3（x1）（x+1），当x2，1，f（x）0，x（1，1），f（x）0；x（1，2，f（x）0f（x）在2，1上是增函数，（1，1）上递减，（1，2）递增；且f（2）=2，f（1）=2，f（1）=2，f（2）=2f（x）的值域A=2，2；又g（x）=ax+1（a0）在2，2上是增函数，g（x）的值域B=2a1，2a1；根据题意，有ABa同理g（x）=ax+1（a0）在2，2上是减函数，可以求出a故实数a的取值范围是：（，+）17解：f（x）=2xcosx是一个
17、奇函数，在对称的区间上单调性相同，故不对，排除（1）因为|cosx|1，令M=2即得|f（x）|M|x|成立，故（2）对，因为f（）+f（x）=（+2x）sinx+（2x）sinx=4xsinx0，所以点不是函数y=f（x）图象的一个对称中心，故（3）不对因为f（+x）=2（+x）cosx，f（x）=2（x）cosx，f（+x）f（x），函数y=f（x）图象不关于直线x=对称故（4）不对故答案为：（2）18解：f（x）=lnx是（0，+）上的增函数，对于由f（ ）=ln ，=ln，故f（）；故错误对于，x1x2则有f（x1）f（x2），故由增函数的定义得f（x1）f（x2）x2x1 故正确，对
18、于由不等式的性质得x1f（x1）x2f（x2），故错误；对于令1=x1x2=e2，x0=e得，f（x0） 故错误故答案为19解：由f（x）=exex，f（x）为奇函数，增函数，f（msin）+f（1m）0恒成立，即f（msin）f（m1），msinm1，当0时，sin0，1，解得m1，故实数m的取值范围是（，1，故答案为：（，120解：（1）f（x）的定义域为（0，+），f（x）=，当p1时，f（x）0，故f（x）在（0，+）上单调递增；当p0时，f（x）0，故f（x）在（0，+）上单调递减；当0p1时，令f（x）=0，解得x=则当x时，f（x）0；x时，f（x）0，故f（x）在（0，）上单调
19、递增，在上单调递减；（2）x0，当p=1时，f（x）kx恒成立1+lnxkxk，令h（x）=，则kh（x）max，h（x）=0，得x=1，且当x（0，1），h（x）0；当x（1，+），h（x）0；所以h（x）在0，1）上递增，在（1，+）上递减，所以h（x）max=h（1）=1，故k1（3）由（2）知，当k=1时，有f（x）x，当x1时，f（x）x，即lnxx1，令x=，则，即，ln2ln11，相加得1n（n+1）1+21解：在区间（0，+）上，（1）当a=2时，切线的斜率k=，又f（1）=ln121=2，由点斜式得切线方程为y（2）=（x1），即x+y+1=0 （2）方法一：（i）当a0时，
20、f（x）0，则f（x）在（1，e2）上单调递增，此时f（1）=a0，f（x）在x（1，e2）没有零点； （ii）当a0时，令f（x）=0，得时，则当x（1，e2），有f（x）0，从而f（x）在（1，e2）单调递增，此时f（1）=a0，f（e2）=lne2ae2=2ae20，f（x）在x（1，e2）有且只有一个零点 当即时，则当，f（x）在单调递增；当，f（x）在单调递减 而，f（1）=a0，f（e2）=2ae20，f（x）在x（1，e2）有且只有一个零点 综上，当a0时，f（x）在x（1，e2）没有零点；当时，函数f（x）有且只有一个零点方法二：由f（x）=0，得，函数f（x）在x（1，e2）
21、的零点个数等价于函数y=a的图象与函数的图象的交点个数，令g（x）=，则，由g（x）=0，得x=e，在区间（1，e）上，g（x）0，则函数g（x）是增函数，g（1）g（x）g（e），即；在区间（e，e2）上，g（x）0，则函数g（x）是减函数，g（e2）g（x）g（e），即，当a0时，f（x）在x（1，e2）没有零点；当时，函数f（x）有且只有一个零点（3）原不等式lnx1+lnx22 不妨设x1x20，f（x1）=0，f（x2）=0，lnx1ax1=0，lnx2ax2=0，lnx1+lnx2=a（x1+x2），lnx1lnx2=a（x1x2），a（x1+x2）2 令，则t1，于是设函数，则0
22、，故函数h（t）在（1，+）上为增函数，h（t）h（1）=0，即不等式lnt成立，故所证不等式成立22：（）解：函数f（x）的定义域为（1，+）求导数，得f（x）=a由已知，函数f（x）=ln（1+x）ax在x=处的切线的斜率为1f（）=1，即a=1，a=1此时f（x）=ln（1+x）x，f（x）=1=，当1x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0当x=0时，f（x）取得极大值，该极大值即为最大值，f（x）max=f（0）=0（4分）（）证明：法（一）：由（），得ln（1+x）x0，即ln（1+x）x，当且仅当x=0时，等号成立令x=（kN*），则ln（1+），即ln，ln（k+1）lnk（k
23、=1，2，n）将上述n个不等式依次相加，得1+（ln2ln1）+（ln3ln2）+ln（n+1）lnn，1+ln（n+1）（nN*）（10分）法（二）：用数学归纳法证明（1）当n=1时，左边=1=lne，右边=ln2，左边右边，不等式成立（2）假设当n=k时，不等式成立，即1+ln（k+1）那么1+ln（k+1）+，由（），知xln（1+x）（x1，且x0）令x=，则ln（1+）=ln，ln（k+1）+ln（k+1）+ln=ln（k+2），1+ln（k+2）即当n=k+1时，不等式也成立（10分）根据（1）（2），可知不等式对任意nN*都成立（）解：f（0）=0，g（0）=b，若f（x）g（x
24、）恒成立，则b0由（），知f（x）max=f（0）=0（1）当b=0时，g（x）=0，此时f（x）g（x）恒成立；（2）当b0时，g（x）=b（ex1），当x（1，0）时，g（x）0，g（x）单调递减；当x（0，+）时，g（x）0，g（x）单调递增g（x）在x=0处取得极小值，即为最小值，g（x）min=g（0）=b0f（x），即f（x）g（x）恒成立综合（1）（2）可知，实数b的取值范围为0，+）（14分）23解：（1）函数为大于零的常数，=函数f（x）在区间1，+）内单调递增，当x1时，f（x）0恒成立，即（a0），x1，+）恒成立，（a0）x1，+）（a0）解得a1即为所求的取值范围（2）（i）由（1）可知：当a1时，f（x）在区间1，2上单调递增，当x=1时，函数f（x）取得最小值，且f（1）=0（ii）当0a时，当x1，2时，f（x）0，函数f（x）在区间1，2上单调递减，当x=2时，函数f（x）取得最小值，且f（2）=ln2（iii）当时，令f（x）=0，则当时，f（x）0；当时，f（x）0当时，函数f（x）取得极小值，因为在区间1，2内只有一个极小值，所以也即最小值，最小值为=（3）由（1）可知：令a=1，则函数f（x）=lnx在区间1，+）上单调递增再令，而，f（1）=0，lnn=（ln2ln1）+（ln3ln2）+lnnln（n1），即lnn