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1、24.2.3 24.2.3 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系之切线长定理之切线长定理 2.2.与半径垂直与半径垂直1.1.经过半径的外端；经过半径的外端；OAOA是是O O的半径的半径OALOAL于于A AL L是是O O的切线的切线. .CABD练习练习1：已知：已知：AB是弦是弦，AD是切是切线，判断线，判断DAC与圆周与圆周ABC之之间的关系并证明间的关系并证明.E在经过圆外在经过圆外一点的切线一点的切线上，这一点上，这一点和切点之间和切点之间的线段的长的线段的长叫做叫做这点到这点到圆的切线长圆的切线长OPAB切线与切线长的区别切线与切线长的区别与联系：与联系：（1 1）切线是一条与
2、圆相切的直线切线是一条与圆相切的直线, ,不可以度量不可以度量；（2 2）切线长是指切线长是指切线上某一点切线上某一点与与切点切点间的线段的长间的线段的长, ,可以度量可以度量。 若从若从O O外的一点外的一点引两条切线引两条切线PAPA，PBPB，切切点分别是点分别是A A、B B，连结连结OAOA、OBOB、OPOP，你能发现什么你能发现什么结论？并证明你所发现结论？并证明你所发现的结论。的结论。APO。BPA = PBOPA=OPB证明：证明：PAPA，PBPB与与O O相切，点相切，点A A，B B是切点是切点 OAPAOAPA，OBPB OBPB 即即OAP=OBP=90 OA=OB
3、，OP=OP RtRtAOPRtAOPRtBOP(HLBOP(HL) ) PA = PB OPA=OPB试用文字语言试用文字语言叙述你所发现叙述你所发现的结论的结论PA、PB分别切分别切 O于于A、BPA = PBOPA=OPB 从圆外一点引圆的两条从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。线平分两条切线的夹角。 切线长定理切线长定理APO。B几何语言几何语言: :反思反思：切线长定理为证明：切线长定理为证明线段相等线段相等、角相角相等等提提 供了新的方法供了新的方法我们学过的切线，常有我们学过的切线，常有 五个五
4、个 性质：性质：1 1、切线和圆只有一个公共点；、切线和圆只有一个公共点；2 2、切线和圆心的距离等于圆的半径；、切线和圆心的距离等于圆的半径；3 3、切线垂直于过切点的半径；、切线垂直于过切点的半径；4 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。6 6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。六个六个APO。BM 若连结两切点若连结两切点A A、B B，ABA
5、B交交OPOP于点于点M.M.你你又能得出什么新的结又能得出什么新的结论论? ?并给出证明并给出证明. .OP垂直平分垂直平分AB证明：证明：PAPA，PBPB是是O O的切线的切线, ,点点A A，B B是切点是切点 PA = PB OPA=OPB PABPAB是等腰三角形，是等腰三角形，PMPM为顶角的平分线为顶角的平分线 OP垂直平分垂直平分ABAPO。B 若延长若延长POPO交交O O于点于点C C，连结连结CACA、CBCB，你又能得出什你又能得出什么新的结论么新的结论? ?并给出并给出证明证明. .CA=CB证明：证明：PAPA，PBPB是是O O的切线的切线, ,点点A A，B
6、B是切点是切点 PA = PB OPA=OPB PC=PCPC=PC PCA PCB AC=BCAC=BCC例例.PA.PA、PBPB是是O O的的两条切线，两条切线，A A、B B为切点，直线为切点，直线OPOP交于交于O O于点于点D D、E E，交，交ABAB于于C C。BAPOCED（1）写出图中所有的垂直关系）写出图中所有的垂直关系OAPA，OB PB，AB OP（3）写出图中所有的全等三角形）写出图中所有的全等三角形AOP BOP， AOC BOC， ACP BCP（4）写出图中所有的等腰三角形）写出图中所有的等腰三角形ABP AOB（5）若）若PA=4、PD=2，求半径求半径OA
7、（2）写出图中与）写出图中与OAC相等的角相等的角OAC=OBC=APC=BPC。PBAO（3 3）连结圆心和圆外一点）连结圆心和圆外一点（2 2）连结两切点）连结两切点（1 1）分别连结圆心和切点）分别连结圆心和切点反思：在解决有关反思：在解决有关圆的切线长问题时，圆的切线长问题时，往往需要我们构建往往需要我们构建基本图形。基本图形。1.1.切线长定理切线长定理 从从圆外一点引圆的两圆外一点引圆的两条切线，它们的切条切线，它们的切线长相等，圆心和线长相等，圆心和这一点的连线平分这一点的连线平分两条切线的夹角。两条切线的夹角。 小小 结：结：APO。BECDPA、PB分别切分别切 O于于A、B
8、PA = PB ,OPA=OPBOP垂直平分垂直平分AB 切线长定理为证明切线长定理为证明线段相等，角线段相等，角相等，弧相等，垂直关系相等，弧相等，垂直关系提供了理论提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。依据。必须掌握并能灵活应用。2.2.圆的外切四边形的两组对边的和相等圆的外切四边形的两组对边的和相等已知：已知：ABCABC是是O O外切三角形，切点为外切三角形，切点为D D，E E，F F。若若BCBC14 cm 14 cm ，ACAC9cm9cm，ABAB13cm13cm。求。求AFAF，BDBD，CECE。 ABCDEFxxyyOzz解解: :设设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Z
9、cm则则AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm依题意得方程组依题意得方程组x+y=13y+z=14x+z=9解得解得: :Z=5。、的长分别是、cmcmcmCEBDAF594X+y+z=18x+y=13例：例：如图，如图， ABC的内切圆的内切圆 O与与BC、CA、AB分别相切于点分别相切于点D、E、F，且，且AB=8cm，BC=13cm，CA=12cm，求，求AF、BD、CE的长。的长。x12xx12x8x8x例题选讲例题选讲ADCBOFEABCEDFO如图，如图，RtABC中，中，C90,BCa,ACb, ABc, O为为RtABC的内切圆的内切圆. 求：求：RtABC
10、的内切圆的半径的内切圆的半径 r. 解：解：设设RtABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D、E、F，连结连结OD、OE、OF则则OAAC，OEBC，OFAB。abc2设设RtABC的直角边为的直角边为a、b，斜边为，斜边为c，则，则RtABC的的内切圆的半径内切圆的半径 r 或或rabc2ababc已知已知:如图如图, O是是RtABC的内切圆的内切圆,C是直角是直角,三边长分别是三边长分别是a,b,c.求求 O的半径的半径r. ABCODEF.2cbar（1 1）RtRt的三边长与其内切圆半径间的关系的三边长与其内切圆半径间的关系ABCEDFO如图，如图，RtABC中，中，C90,
11、BC3,AC4, O为为RtABC的内切圆的内切圆. （1）求）求RtABC的内切圆的半径的内切圆的半径 . （2）若移动点）若移动点O的位置，使的位置，使 O保持与保持与ABC的边的边AC、BC都相切，求都相切，求 O的半径的半径r的取值范围。的取值范围。 解：解：（1）设）设RtABC的内切圆与三边相的内切圆与三边相切于切于D、E、F，连结，连结OD、OE、OF则则OAAC，OEBC，OFAB。 RtABC的内切圆的的内切圆的半径为半径为1。例例. .如图，如图，ABCABC中中,C =90 ,C =90 ,它的它的内切圆内切圆O O分别与边分别与边ABAB、BCBC、CACA相切相切于点
12、于点D D、E E、F F，且，且BD=12BD=12，AD=8AD=8，求求O O的半径的半径r.r.OEBDCAF思考：当切点思考：当切点F在弧在弧AB上运动时，问上运动时，问PED的周长、的周长、DOE的度数是否发生变化，请说的度数是否发生变化，请说明理由。明理由。FOEDPBA 例例. .如图所示如图所示PAPA、PBPB分别切圆分别切圆O O于于A A、B B，并与圆并与圆O O的切线分别相交于的切线分别相交于C C、D D， 已知已知PA=7cmPA=7cm，(1)(1)求求PCDPCD的周长的周长(2) (2) 如果如果P=46P=46, ,求求CODCOD的度数的度数C OPB
13、DAE1、如图，、如图，ABC中中, ABC=50，ACB=75 ,点点O 是是ABC的内心，求的内心，求 BOC的度数。的度数。AOCB随堂训练随堂训练变式：变式：ABC中中, A=40，点，点O是是ABC的内的内心，求心，求 BOC的度数。的度数。21 BOC= 90+ A2 2、ABC的内切圆半径为的内切圆半径为 r , ABC的周长为的周长为 l ,求求ABC的面积。（提示：设内心为的面积。（提示：设内心为O，连接，连接OA、OB、OC。）。）OACBrrr知识拓展知识拓展若若ABC的内切圆半径为的内切圆半径为 r , , 周长为周长为 l ,则则SABC= = lr lr21oooo
14、外切圆圆心：外切圆圆心：三角形三边三角形三边垂直平分线的交点垂直平分线的交点。外切圆的半径：外切圆的半径：交点到三交点到三角形任意一个定点的距离。角形任意一个定点的距离。三角形外接圆三角形外接圆三角形内切圆三角形内切圆内切圆圆心：内切圆圆心：三角形三个三角形三个内角平分线的交点。内角平分线的交点。内切圆的半径：内切圆的半径：交点到三交点到三角形任意一边的垂直距离。角形任意一边的垂直距离。A AB BC CoA AB BC C1.1.一个三角形有且只有一个内切圆；一个三角形有且只有一个内切圆；2.2.一个圆有无数个外切三角形；一个圆有无数个外切三角形；3.3.三角形的内心就是三角形三条内角平三角
15、形的内心就是三角形三条内角平 分线的交点；分线的交点；4. 4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等。三角形的内心到三角形三边的距离相等。1 1、如图，四边形如图，四边形ABCDABCD的边的边ABAB、BCBC、CDCD、DADA和圆和圆OO分别相切于点分别相切于点L L、M M、N N、P P， 求证：求证： AD+BC=AB+CD AD+BC=AB+CDDLMNABCOP证明：由切线长定理得证明：由切线长定理得AL=APAL=AP，LB=MB,NC=MCLB=MB,NC=MC， DN=DPDN=DPAL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DPAL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+D
16、P 即即 AB+CD=AD+BCAB+CD=AD+BC补充：补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等圆的外切四边形的两组对边的和相等 OABCDEF OABCDE2 2、如图，、如图，ABAB是是O O的直径，的直径，ADAD、DCDC、BCBC是切线，点是切线，点A A、E E、B B为切点，若为切点，若BC=9BC=9，AD=4AD=4，求，求OEOE的长的长. .BDEFOCA1 1、如图，、如图，ABCABC的内切圆的半径为的内切圆的半径为r, r, ABCABC的周长为的周长为l,l,求求ABCABC的面积的面积S.S.解：解：设设ABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D、E、
17、F，连结连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，则则ODAB，OEBC，OFAC.SABCSAOBSBOC SAOC ABOD BCOE ACOF21212121 lr设设ABC的三边为的三边为a、b、c，面积为，面积为S，则则ABC的内切圆的半径的内切圆的半径 r2Sabc有关圆的计算问题有关圆的计算问题（2 2）如图所示，设与）如图所示，设与BCBC、ACAC相切的最大圆与相切的最大圆与BCBC、ACAC的切的切点分别为点分别为B B、D,D,连结连结OBOB、OD,OD,则四边形则四边形BODCBODC为正方形。为正方形。ABODCOBOBBCBC3 3半径半径r r的取值范围为的取值范
18、围为0 0r3r3几何问题代数化是几何问题代数化是解决几何问题的一解决几何问题的一种重要方法。种重要方法。EF HG同学们要好好学习老师同学们要好好学习老师期盼你们快快进步！期盼你们快快进步！切线长定理切线长定理拓展拓展回顾反思回顾反思1.切线长定理切线长定理OBPA从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长切线长相相等，这一点和圆心的连线等，这一点和圆心的连线平分平分两条切线的两条切线的夹角夹角。回顾反思回顾反思2.三角形的内切圆、内心、内心的性质三角形的内切圆、内心、内心的性质COBADEF知识拓展知识拓展拓展一：拓展一：直角三角形的外接圆与内切圆直角三
19、角形的外接圆与内切圆CBACOBA1.直角三角形外接圆的圆心直角三角形外接圆的圆心(外心外心)在在_，半径为半径为_.2.直角三角形内切圆的圆心直角三角形内切圆的圆心(内心内心)在在_，半径半径r=_.abc斜边中点斜边中点斜边的一半斜边的一半三角形内部三角形内部a+b-c2知识拓展知识拓展3.已知：如图已知：如图,PA、PB是是 O的切线，切点分别是的切线，切点分别是A、B，Q为为 O上一点，过上一点，过Q点作点作 O的切线，的切线，交交PA、PB于于E、F点，已知点，已知PA=12cm，P=70,求：求：PEF的周长和的周长和EOF的大小。的大小。EAQPFBO知识拓展知识拓展知识小结知识
20、小结 直角三角形的外接圆与内切圆直角三角形的外接圆与内切圆CBACOBA1.直角三角形外接圆的圆心直角三角形外接圆的圆心(外心外心)在在_，半径为半径为_.2.直角三角形内切圆的圆心直角三角形内切圆的圆心(内心内心)在在_，半径半径r=_.abc斜边中点斜边中点斜边的一半斜边的一半三角形内部三角形内部a+b-c2试一试：试一试：如图如图ABC中，中，C90 ，AC6，BC8，三角形三边与，三角形三边与 O均相切，切点分别均相切，切点分别是是D、E、F，求，求 O的半径。的半径。 CFOEDBA1、如图，一圆内切于四边形、如图，一圆内切于四边形ABCD，且，且AB=16，CD=10，则四边形的周
21、长为，则四边形的周长为( )（A）50 （B） 52 （C）54 （D） 56DABC巩固练习：巩固练习：2、已知：在、已知：在ABC中，中，BC14cm，AC9cm，AB13cm，BC，AC，AB分别与分别与 O切于点切于点D、E、F，求，求AF，BD和和CE的长。的长。EFODCBA 3、以正方形、以正方形ABCD的一边的一边BC为直径的半圆上有为直径的半圆上有一个动点一个动点K，过点，过点K作半圆的切线作半圆的切线EF，EF分别分别交交AB、CD于点于点E、F，试问：四边形，试问：四边形AEFD的周的周长是否会因长是否会因K点的变动而变化？为什么？点的变动而变化？为什么？ABDCKEF4
22、、如图，在梯形、如图，在梯形ABCD中，中，AD/BC，ABBC，以，以AB为直径的为直径的 O与与DC相切于相切于E已知已知AB=8，边，边BC比比AD大大6，求边求边AD、BC的长。的长。ABDCEO课前训练课前训练1、已知，如图，、已知，如图，PA、PB是是 O的两条切线，的两条切线，A、B为切点为切点.直线直线 OP 交交 O 于于点点 D、E，交交 AB 于于 C.（1）写出图中所有的垂直关系；写出图中所有的垂直关系；（2）如果）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径求半径 OA的长的长.AOCDPBE知识拓展知识拓展2.已知：两个同心圆已知：两个同心圆PA、P
23、B是大圆的两条切线，是大圆的两条切线，PC、PD是小圆的两条切线，是小圆的两条切线，A、B、C、D为为切点。求证：切点。求证：AC=BDPABOCD试一试：已知：如图，试一试：已知：如图，P为为 O外一点，外一点，PA，PB为为 O的切线，的切线，A和和B是切点，是切点，BC是直径。是直径。C50 ，求求APB的度数的度数求证：求证：ACOP。 ABOCPAOBC试一试：试一试：如图如图1，一个圆球放置在，一个圆球放置在V形架中。图形架中。图2是它的平面示意图，是它的平面示意图，CA和和CB都是都是 O的切线，的切线，切点分别是切点分别是A、B。如果。如果 O的半径为的半径为 cm，且且AB=6cm，求，求ACB。 32