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1、优秀学习资料欢迎下载中考数学专题复习 -开放性问题一（一）条件开放题【简要分析】条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件解这种开放问题的一般思路是： 由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求【典型考题例析】例 1：已知反比例函数2kyx-=其图象在第一、三象限内，则k 值可为 （写出满足条件的一个k 的值即可）（20XX年江苏苏州市中考题目）分析与解答 ： 收反比例函数的图象在每一、三象限可知k-20 ， 即 k2 因此所取 k 值只要满足k2 都可以，比如k 取 3、4、5都题意的例 2：如图 2-1-1 ， ABC内接于 O ，D
2、是AB上一点， E是 BC的延长线上一点，AE交 O于 F， 为使 ADB ACE,应补充的一个条件是（20XX年湖南株州市中考题目）分析与解答 : 要使 ADB ACE ，只要找到这两个三角形有两个角对应相等或对应成比例有夹角相等或三边对应成比例即可本题中， 从角方面考虑， 观察畋形可知ACE= CAE ，于是，只找另外一对对应角相等就行了，因此，要补充的条件可填DAB= CAE或 ABD= E；同时，根据同圆中圆周角与弧之间的DAB= CAE 又可转化为弧BDCF=，因此补充的条件又可以填弧BDCF=；从边考虑，由于已有条件ADB= AC 成立，如果它们的夹角边对应成比例同样可以得出ADB
3、 ACE ，于是补充的条件又可以填ADBDADACADCEACBDACCEBDCE=?或或等例 3：如图 2-1-2 ，四边形ABCD 内接于 O，AD=AB ，E为 CB延长线 BM上一 点 ， 当E 点 在BM 上 运 动 到 某 一 位 置 满 足 一 定 条 件 时 ， 就 在 有CDBEDAAB成立，问该结论成立的条件是什么？请注明条件并给予证明 （广西柳州市中考题）分析与解答：我们通过逆向分析来探结论成立的条件，假设ABDABECD?成立，则有 AB ：BE=CD ：DA ，又 ABE= ADC （圆内接四边形的外角等于内对角），连结 AC ，故有ABE CDA 因此只需探索ABE
4、 CDA的条件即可，当AEB= CAD或 EAB= ECA或EAB= ACD或 EA与 O相切时， 都有 ABE CDA 下面以“ EA与 O相切” 为条件给出证明EA与 O相切， EAB= ECA. 又 ECA= DCA. EAB= DCA. 又 ABE= D. ABE CDA. ,.ABCDABDABECDBEDA=?即【提高训练1】1 如图 2-1-3 ，AB是 O的直径弦CD与直径 AB相交于点E. 补充一个条件使图2-1-1ODEABCF图2-1-2OMEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页优秀学习资
5、料欢迎下载2 CE=DF （只要求填写一个你认为合适的条件）（20XX年四川内江市中考题）3 如图 2-1-4 在 ABC是 AD BC于 D，再添加一个条件，就可以确定ABD ACD ，这条件可以是 （20XX年黑龙江宁安市面上中考题）4 如图 2-1-5 欲使 ABC ACD ， 应补充的一个条件是（20XX年山西省中考题目）. 5 若整式241xQ+是一个完全平方式，请你写一个满足条件的单项式Q ；6 如图 2-1-6 半圆 O这 ABC的外接圆， AC为直径， D 这弧BC上的一动点，P在 CB的延长线上，且有BAP= BDA （1）求证： AP是半圆 O的切线（2）当期限他条件不变时
6、，问添加一个什么条件后有2BDBEBC=?成立？（ 20XX年湖北省荆州市中考题改编） . 7 如图 2-1-7 ，已知 AB是 O的直径， BC是 O的弦， O的割线 PDE垂直 AB于点 F，交BC于点 G，连结 PC ， BAC= BCP ，求解下列问题： （1）当点 C在劣弧AD上运动时，应再具备什么条件可使结论2BGBFBO=?成立？（ 2005 处湖南省常德市中考题改编） . 【提高训练1 答案】 “ACAD”或“BCBD”或“ABCD” 2 “ BD=CD ”或“ BAD= CAD ”或“ B=C ”或“AB=AC ” 3 “ACD= B” 或“ADC= ACB ”或 “AD ：
7、AC=AC ：AB ” 4 “4x”或“4x”或“1”或“24x” 5 （1）略（2） “A B D B”或“ BAE= BDA ”或“ AB=BD ” 6 （1）略（2） “BG=CG ”或“ OG BC ”或“ OG AC ”（二）结论开放题【简要分析 】给出问题的条件， 让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍【典型考题例析】例 1：一条抛物线的对称轴是x=1 逐步形成与x 轴有唯一的公共点，并且开口向下，则
8、这条抛物线的解析式是 （任写一个）（20XX年甘肃省兰州市中考题）分析与解答 ：根据已知，我们可设这条抛物线的解析式这2(1)ya xk=-+，22yaxaxak=-+即 又 由 题 意 有20,(2 )4 ()0aaa ak-+= 解 得图2-1-7POGFEBADC图2-1-6POEDCBA图 2-1-5DCBA图2-1-4DCBA图2-1-3EODCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页优秀学习资料欢迎下载0,0ak=. 于是年求抛物线的解析式2(1)ya x=-只要满期足0a 就行 . 答安不唯一 ,如224
9、2yxx= -+-等. 例 2：如图 2-1-8,AB是 O的直径 , O交 BC于 D,过 D作 O的切线 DE交 AC于 E, 且DE AC,由上述条件 , 你能推出的正确结论有: .(2005处甘肃省兰州市中考题). 分析与解答： 本题所给的图形中，有直径，有切线，我们可联通想到直径所对的圆周角是直角，切线的性质，从以下几方面寻找答案，（）由是 O 的直径，可得，同时，根据勾股定理有222ADBDAB+= （）连结是O 的切线，又，又是的中点，有是的中点成立 （）在Rt中，有ADC AED DEC ” 、“2ADAEAC=?”、“2DCCECA=?”、“2DEECE=?”等结论成立 （）
10、是O 的切线，由弦切角定理有“”成立例 3：如图 2-1-9 ，在梯形ABCD中， AD BC ，AB=DC ，P 为梯形ABCD外一点， PA 、 PD分别交线段BC于点 E、F且 PA=PD （1）写出图三对你认为全等的三角形（不再添加畏助线） ， （2）选择你在（ 1）中写出的全等三角形国的任意一对进行证明（20XX年河南省中考题目） . 分析与解答：由已知条件可知, 本题所给的基本图是等腰梯形，联想到等到腰梯形的性质有：上下两认底平行（可得内错角相等、同位角相等）；同一底上的两个角相等（角相等）；两腰相等（边相等）另外，已知条件中还有PA=PD （边相等）根据这些角、边之间的关系，我们
11、不难得到答案图中的全等三角形有：ABP DCP ； ABE DCF ， BEP CFP ； BFP CEP等下面就 ABP DCP给出证明AD BC ，AB=DC ，梯形ABCD 这等腰梯形BAD= CDA ，又 PA=PD ， PAD= PDA BAP= CDP 在 ABP和 DCP中，PA=PD ，BAP= CDP ， AB=DC ， ABP DCP 【提高训练2】请你写出一个能分解的二次四项式并把它分解因式： （20XX 年湖北武汉市中考题）请选择一组你喜欢的a、b、c 的值，使二次函数2(0)yaxbxc a=+?的畋象同时满足下全条件：开口向下，当x2 时， y随 x 的增大而减小这
12、样的二次函数的解析式可以是 （20XX 年江苏省扬州市中考题） 图2-1-8OEDCBA图2-1-9PFEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页优秀学习资料欢迎下载已知抛物线2()1yxm= -+与 x 轴的交点为A、B （ B 在 A的右边） ，与 y 轴的交点为C，写出当m=1时与抛物线有关的三个正确结论 （20XX年江本省中考题） 已知：如图2-1-10 ， O内切于四边形ABCD ，AB=AD ，连结 AC 、BD 由这些条件能推出哪些结论？（至少写出3 条）如图 2-1-11 ，ABC中，AB=AC ，
13、过点 A作 GE BC ，角平分线BD 、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点 E、G 试在图中找出3 对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明（20XX年浙江省宁波市中考题）【提高训练2 答案】1答案不唯一，如“2229(3)(3)xxyyxyxy”等2确定的解析式为2(2)ya xk，且0a即可，例如选取23(2)4yx，即23128yxx就是符合要求的答案3正确正确有： 抛物线的解析式为：22yxx；开口向下； 顶点坐标为 （1，1） ；抛物线经过原点；与x轴的的另一个交点坐标为（2， 0） ；对称轴为直线1x4正确正确有：ABD= ADB ；AB+CD=AD+BC；CD=BC
14、 ； CBD= CDB ； ABC ADC ； ABC= ADC ； BAC= DAC ； ACB= ACD 5答案不唯一，如BCF CBD ， BHF CHD ， BDA CFA ， BAE CAG ， AGF AED等；证明略（三）组合开放题【简要分析 】组合开放型试题的的条件和结论都不确定，需要考生认定条件和结论然后组成一个新命题， 并加以证明或判断 这种新颖的组合型开放题，已使几何听论证转向发现、猜想与探究 成为中考命题的热点【典型考题例析】例 1：已知：如图2-1-12 ，AB为半圆 O的直径， C、D是半圆上的两点，E是 AB上除 O外的一点， AC与 DE交于点 FADDC=；
15、DE AB ； AF=DF 写出以、中的任意两个这条件，推出第三个（结论）的一个正确命题并加以证明 （20XX年四川省绵旭市中考题）分析与解答：对于这一类条件与结论都开放的组合型开放题，我们先要将它的已知条件进行配对，逐一探索哪能组条件与结论能组成正确的命题，然后选择一组进行证明能够推出的正确命题有“若、，则；若、则；若、则下面以若、则这命题证明如下：连结 AD 、BD ADDC=， DAC= B，又 AB为，DE AB ， ADB= AED=900ADE= B ADE=DAC AF=DF 说明： 本题立足于常见的基本图形，把传统的几何证明题改告造成一个要图2-1-10DCBAO图2-1-11
16、GHFEDCBA图2-1-12OFEDCBA图 2-1-134321EDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页优秀学习资料欢迎下载求学生发现、猜想、证明的组合型开放题，符合数学事实的发现过程例 2：如图 2-1-13 ， 四边形 ABCD中，点 E在边 CD上，连结AE 、，给出下列五个等式： AD BC ； DE=CE ； 1=2； 3=4； AD+BC=AB 将其中三个关系式作为题设，国外两个作为结论，构成一个命题（1） 用序号写出一个真命题（书写形式如： 如果那么），并给出证明， （2）用序号再现实性出三个真
17、命题（不要求证明） （3）加分题：其命题不止以上四个，想一想，就能够多写出几个真命题，每多写一个真命题就给我多加1分，最多2 分 （20XX年黑龙江省宁安市面上中考题）分析与解答： （1）众条件中选取在个作题设，另外两个作结论，构杨一个真命题，以尝试、探索可得：如果，那么如图 2-1-14 ，延长 AE交 BC于的延长线于点F， AD BC ， 1=F，又 AED= FEC ，DE=CE ADE FCE AD=CF AE=FE 又 1= F，1=2， 2=F， AB=BF ， AB=BC+CF=BC+AD即成立，又AE=FE ，2=F，AB=BF ABE FBE 3=4即成立（2）如果，那么；
18、如果，那么；如果，那么（3）不唯一，如果，那么；如果，那么等【提高训练3】1 已知：如图 2-1-15 ， 点 C、 D在线段 AB上， PC=PD ，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明所添加的条件为你得到的一对全等三角形是（20XX年福建省神州市中考题）2如图 2-1-16 ，在 ABC和 DEF中， B、E、 C 、F在同一条直线上，下面有四个条伯，请你从其中选三个作为题目设，余下的一检点作为结论，写一个真命题， 并驾证明书 AB=DE ； AC=DF ； ABC=DEF ； BE=CF （20XX年江苏省扬州市中考题）3如畋 2-1-17 ，在 AFD和 CEB中，点 A
19、、E、F、C在同一条直线上，有下面四个结断：AD=CB ； AE=CF ； B=D； AD BC 请用其中三个作为条件，余下的一个作为结论编一道数学题，并写出解答过程（20XX年广西桂林市中考题）【提高训练3 答案】1所添加的条件为：A=B（或 PA=PB或 AC=BD 或 AD=BC 或 APC= BPD或 APD= BPC等）全等三角形为PAC PBD （或 APD BPC ） ，证明略2答案不唯一，如“已知AB=DE ，AC=DF ，BE=CF ，求证： ABC= DEF ”等，证明略3答案不唯一，如“已知AE=CF ， B=D，AD BC ，求证： AD=BC ” 等，证明略F图2-1-144321EDCBA图 2-1-15PDCBA图 2-1-16FEDCBA图2-1-17EFDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页