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1、1 浙江大学 20 10 -20 11 学年 秋冬 学期 数学分析 课程期末考试试卷A诚信考试,沉着应考,杜绝违纪。请注意:所有题目必须做在答题本上!做在试卷纸上的一律无效!请勿将答题本拆开或撕页!如发生此情况责任自负!考生:学号:所属院系: _一、 计算以下极限:21分,每题 7 分1.2lim(2)(1)xxxxx(2)(1)(2)22(2)(1)2002(1) limlim1.(2)(1)(2)(1)1(2)(2)(1)ln(12 )ln(1)ln(12 )ln(1)lim lnlimlim1.xxx xxxxxxxxxuuxxexxxxxyxxxuuuuuyuuu记,令:,则:因此2l
2、im.(2)(1)xxxexx,2.0ln(1)limarctan 2xxxexxx220002220011(2)(1)ln(1)3(1)1limlimlim.2444(1( )()ln(1)32limlim.arctan224xxxxxxxxxxexexexxxxxxxxo xxo xxexxxx?原式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页2 3.200sin.xnxtdtaxan设时,与为等价无穷小量,求:常数、的值22020110000sin00.sin2 sin22limlimlim13.3xnxnnnxxxxt
3、dtaxantdtxxxnaaxanxanx由于时,与是等价无穷小量,则:,二、 导数及应用:21分,每题 7分1.222arcsin(0).22xaxyaxaya设,求:222222221211.2221xxayaxaxaaxxa2.sin.cos24xttyt求曲线在处的切线方程42sin 22 2.cos1(0)2 22.2tdydytdtdxdxtdtxy?切点,因此,切线方程为:3.2221( )()xtf xxt edt求函数的极值 .222222222242222211121112311011max00( )().( )2( )24( )0101.( 1)(1)40(0)20.1
4、1(0)(122xxxtttxxttxtttf xxt edtxedttedtfxxedtfxedtx efxxxxffefedtftedte则:,令:,因此,1min)( 1)0.ef,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页3 三、计算以下积分:28分,每题 7 分1.2ln(1)xdx222222ln(1)ln(1)ln(1)22arctan.1xxdxxxdxxxxxCx2.301.12dxx2322101112.12422ln(2)2(1 2ln).2312xuxudxuduudxduuuux,则:,令:3.31
5、arctanxdxx2222111111arctan11arctan222(1)111arctan.822xIxddxxxxxxx4.00( )0 1(sin)(sin).2f xx fx dxfx dx设在,上连续,证明:20sin1cosxxdxx并计算:的值 .000000222000(sin)()(sin()(sin)(sin)(sin)(sin).2sinsinarctancos.1cos21cos24xuxfx dxu fudufu duufu duxfx dxfx dxxxxdxdxxxx?设,则:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
6、 - -第 3 页,共 5 页4 四、ln.yxxD过原点作曲线的切线,该切线与曲线及轴所围平面图形为(1)(2)DDxe求的面积;求绕直线旋转一周所得旋转体的体积.10 分10111221111101(1)( 1).1(2)()1.211lnln1.22211(3)(ln)(ln)2ln332622ln2 (1).332()yeeeeeeeyeyxeSeey dyeeSexdxxxdxeVexdxexxxdxeexxeVy eey dy?切点,;切线方程:方法一、方法二、方法一、方法二、6221.33ee五、证明题:20 分,前两题 6 分,第三题 8分1.( )( )ln(01)f xIf
7、 xx叙述在区间 上一致连续的定义,并证明在,内不一致连续 .121212012121200000()().1102111.221()()ln 2.( )ln(01)2( )ln(01)lim( )lim( )nnxxIxxf xf xnNnxxxxnnnf xf xf xxf xxf xf x?对,当 、,且时,取,对,使,令:,则:但,因此,在,内不一致连续 .如果在,内一致连续,则:存在,但.( )ln(01)f xx因此,在,内不一致连续 .2.()CauchyCauchy叙述柯西收敛准则;并利用收敛准则证明数列 :1112nSn发散. 0200.10221111.1222nnmnnn
8、aNnmnaaNnNmnSSSnnn?数列收敛对,当 、时,取,对,及,则:因此数列发散精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页5 3.( )()lim( )( ).xf xaaf xf a设在,上连续,在,内可导,且()( )0.af证明:,使得利用上面结论证明:( )f x设在0),上可微,且20( )1xf xx,证明:存在0,使得2221( )(1)f. ( )0( )()( )0.( )()lim( )( ).lim( )( )(0)( )0.xxxafxDarbouxfxafxf xaf xf af xf af
9、?如果对任意,根据定理,在,内保号,不妨设则:在,上严格单调递增,故这与矛盾,因此,使得12121221( )( )( )( )()() ()0()()( )0( )( ).()( )0.( )()( )0( )( ).( )( ).g xf xf ag xaxxg x g xcxxcxxg cf cf aacRolleacfg xag xxaf xf acaf cf a?设,如果在,内不保号,则:,使,根据零点存在定理,或,使,即在,应用定理,使如果在,内保号,不妨设,即对,取,则:lim( )( )()0( )( )( ).( )(1)( )( )()( )(1).1()( )0.xf xf aGcxGf af xf cf af Gf cfxacbacf bf GbGRollebGf由于,则,当时,即,又在,上连续,则,使在,上应用定理,使得2222222220( )(0)0.1( )( )0( ).11(0)0()lim( )0.1(0)( )0.( )( )(1)1(0)( ).(1)xxf xfxxxg xf xg xxxggg xxgg xfxxf?由于,则:令:,则:;,使而,因此,使得:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页
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