《2022年中考数学专题复习第二十三讲圆的有关概念及性质 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年中考数学专题复习第二十三讲圆的有关概念及性质 .pdf（29页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、学习必备欢迎下载20XX 年中考数学专题复习第二十三讲圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、 圆的定义及性质：1、 圆的定义：形成性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段 OA 叫做描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合【名师提醒：1、在一个圆中，圆决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦，弦不一定是锥】2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、三类3、圆的对称性：轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴的直线都是它的对称轴中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【名师提醒：圆不仅
2、是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、 垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的2、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：过圆心垂直于弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线3、垂径定理常用作计算，在半径r 弦 a 弦心 d 和弦 h 中已知两个可求另外两个】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所
3、对应的其余各组量也分别【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“ 在同圆或等圆中” 】四、 圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论 1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论 2、半圆（或直弦）所对的圆周角是900的圆周角所对的弦是【名师提醒： 1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，它们的关系是2、 作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、 圆内接四边形：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
4、1 页，共 29 页学习必备欢迎下载定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做这个圆叫做性质：圆内接四边形的对角【名师提醒：圆内接平行四边形是圆内接梯形是】考点一：垂径定理例 1 （2012?绍兴）如图， AD 为 O 的直径，作 O 的内接正三角形ABC ，甲、乙两人的作法分别是：甲： 1、作 OD 的中垂线，交O 于 B，C 两点，2、连接 AB，AC ， ABC 即为所求的三角形乙： 1、以 D 为圆心， OD 长为半径作圆弧，交O 于 B，C 两点2、连接 AB，BC，CA ABC 即为所求的三角形对于甲、乙两人的作法，可判断（）A甲、乙均正确B甲、乙均错误C甲正确、乙错误
5、D甲错误，乙正确考点： 垂径定理 ； 等边三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形专题： 计算题 分析：由甲的思路画出相应的图形，连接OB，由 BC 为 OD 的垂直平分线，得到OE=DE ，且 BC 与 OD 垂直，可得出OE 为 OD 的一半，即为OB 的一半，在直角三角形BOE 中，根据一直角边等于斜边的一半可得出此直角边所对的角为30 ，得到 OBE 为 30 ，利用直角三角形的两锐角互余得到BOE 为 60 ，再由 BOE 为三角形AOB 的外角，且OA=OB ，利用等边对等角及外角性质得到ABO 也为 30 ，可得出 ABC 为 60 ，同理得到 ACB也为 60 ，利用三角
6、形的内角和定理得到BAC 为 60 ，即三角形ABC 三内角相等，进而确定三角形ABC 为等边三角形；由乙的思路画出相应的图形，连接OB，BD ，由 BD=OD ，且 OB=OD ，等量代换可得出三角形 OBD 三边相等，即为等边三角形，的长BOE= DBO=60 ，由 BC 垂直平分OD，根据三线合一得到BE 为角平分线，可得出OBE 为 30 ，又 BOE 为三角形ABO 的外角，且 OA=OB ，利用等边对等角及外角的性质得到ABO 也为 30 ，可得出 ABC 为 60 ，同理得到 ACB 也为 60 ，利用三角形的内角和定理得到BAC 为 60 ，即三角形ABC 三内角相等，进而确定
7、三角形ABC 为等边三角形，进而得出两人的作法都正确解答：解：根据甲的思路，作出图形如下：连接 OB，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 29 页学习必备欢迎下载BC 垂直平分OD，E 为 OD 的中点，且ODBC，OE=DE=12OD，又 OB=OD ，在 RtOBE 中， OE=12OB， OBE=30 ，又 OEB=90 ， BOE=60 ，OA=OB ， OAB= OBA ，又 BOE 为 AOB 的外角， OAB= OBA=30 ， ABC= ABO+ OBE=60 ，同理 C=60 ， BAC=60 ， ABC=
8、 BAC= C， ABC 为等边三角形，故甲作法正确；根据乙的思路，作图如下：连接 OB， BD，OD=BD ， OD=OB ，OD=BD=OB ， BOD 为等边三角形， OBD= BOD=60 ，又 BC 垂直平分 OD， OM=DM ，BM 为 OBD 的平分线， OBM= DBM=30 ，又 OA=OB ，且 BOD 为 AOB 的外角， BAO= ABO=30 ， ABC= ABO+ OBM=60 ，同理 ACB=60 ， BAC=60 ， ABC= ACB= BAC ， ABC 为等边三角形，故乙作法正确，故选 A 点评：此题考查了垂径定理，等边三角形的判定，含30 直角三角形的判
9、定，三角形的外角性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握定理及判定是解本题的关键对应训练精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 29 页学习必备欢迎下载1（2012?哈尔滨）如图，O 是 ABC 的外接圆， B=60 ，OPAC 于点 P，OP=23，则 O 的半径为（）A43B63C8 D12 考点： 垂径定理 ； 含 30 度角的直角三角形；圆周角定理 专题： 计算题 分析：由 B 的度数，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2 倍，求出 AOC 的度数，再由 OA=OC ， 利用等边对等角得到一对角相等，利用三角形的内角和定理
10、求出OAC=30 ，又 OP 垂直于 AC ， 得到三角形AOP 为直角三角形， 利用 30 所对的直角边等于斜边的一半，根据 OP 的长得出OA 的长，即为圆O 的半径解答：解：圆心角AOC 与圆周角 B 所对的弧都为AC，且 B=60 ， AOC=2 B=120 ，又 OA=OC ， OAC= OCA=30 ，OPAC ， AOP=90 ，在 RtAOP 中， OP=23， OAC=30 ，OA=2OP=43，则圆 O 的半径 43故选 A 点评：此题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及含30 直角三角形的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键考点二：圆周角定理例 2 （20
11、12?青海）如图，AB 是 O 的直径， 弦 CDAB 于点 N，点 M 在 O 上， 1=C （1）求证： CBMD ；（2）若 BC=4，sinM= 23，求 O 的直径精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 29 页学习必备欢迎下载考点：圆周角定理 ；垂径定理 ；解直角三角形分析：（1）由 C 与 M 是BD所对的圆周角，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得C=M，又由 1=C，易得 1=M，即可判定CBMD ；（2）首先连接AC ，AB 为 O 的直径，可得ACB=90 ，又由弦 CDAB ，根据垂径定
12、理的即可求得BC= BD，继而可得 A= M，又由 BC=4 ，sinM= 23，即可求得 O 的直径解答：（1）证明： C 与 M 是BD所对的圆周角， C=M，又 1=C， 1=M，CBMD ；（2）解：连接AC ，AB 为 O 的直径， ACB=90 ，又 CDAB ，BC= BD， A=M，sinA=sinM ，在 RtACB 中， sinA=BCAB，sinM=23，BC=4 ，AB=6 ，即 O 的直径为 6点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理、平行线的判定以及三角函数等知识此题难度适精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5
13、页，共 29 页学习必备欢迎下载中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用对应训练37（ 2012?沈阳）如图， O 是 ABC 的外接圆，AB 是 O 的直径，D 为 O 上一点，ODAC ，垂足为 E，连接 BD （1）求证： BD 平分 ABC ；（2）当 ODB=30 时，求证： BC=OD 考点：圆周角定理 ；含 30 度角的直角三角形；垂径定理 专题：证明题 分析：（1）由 ODAC OD 为半径，根据垂径定理，即可得CDAD，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD 平分 ABC ；（2）首先由OB=OD ，易求得 AOD 的度数，又由ODAC 于 E，
14、可求得 A 的度数，然后由 AB 是 O 的直径，根据圆周角定理，可得ACB=90 ，继而可证得BC=OD 解答：证明： （1） ODAC OD 为半径，CDAD， CBD= ABD ，BD 平分 ABC ；（2） OB=OD ， OBD= 0DB=30 ， AOD= OBD+ ODB=30 +30 =60 ，又 ODAC 于 E， OEA=90 ， A=180 -OEA- AOD=180 -90 -60 =30 ，又 AB 为 O 的直径， ACB=90 ，在 RtACB 中， BC=12AB，OD=CDADAB ，BC=OD 点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的性质等知识此
15、题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用考点三：圆内接四边形的性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 29 页学习必备欢迎下载例 3 （2012?深圳）如图，C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点 B，点 A 的坐标为（ 0，3） ，M 是第三象限内OB上一点， BMO=120 ，则 C 的半径长为（）A6 B5 C3 D32考点：圆内接四边形的性质；坐标与图形性质；含 30 度角的直角三角形专题：探究型 分析：先根据圆内接四边形的性质求出OAB 的度数，由圆周角定理可知AOB=90 ，故可得出 ABO 的度数，根据直角三角
16、形的性质即可得出AB 的长，进而得出结论解答：解：四边形ABMO 是圆内接四边形，BMO=120 ， BAO=60 ，AB 是 O 的直径， AOB=90 ， ABO=90 -BAO=90 -60 =30 ，点 A 的坐标为（ 0，3） ，OA=3 ，AB=2OA=6 ， C 的半径长 =2AB=3故选 C点评：本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理及直角三角形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键对应训练3（2011?肇庆） 如图， 四边形 ABCD 是圆内接四边形， E 是 BC 延长线上一点， 若 BAD=105，则 DCE 的大小是（）A115Bl05 C100D9
17、5考点：圆内接四边形的性质专题：计算题 分析：根据圆内接四边形的对角互补得到BAD+ BCD=180 ，而 BCD 与 DEC 为邻补精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 29 页学习必备欢迎下载角，得到 DCE= BAD=105 解答：解：四边形ABCD 是圆内接四边形， BAD+ BCD=180 ，而 BCD+ DCE=180 ， DCE= BAD ，而 BAD=105 ， DCE=105 故选 B点评：本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补也考查了邻补角的定义以及等角的补角相等【聚焦山东中考】1（ 2012
18、?泰安）如图， AB 是 O 的直径，弦CDAB，垂足为 M，下列结论不成立的是（）ACM=DM BCBDBC ACD= ADC DOM=MD 考点： 垂径定理 专题： 计算题 分析： 由直径 AB 垂直于弦CD， 利用垂径定理得到M 为 CD 的中点， B 为劣弧CD的中点，可得出 A 和 B 选项成立，再由AM 为公共边，一对直角相等，CM=DM ，利用 SAS 可得出三角形 ACM 与三角形ADM 全等，根据全等三角形的对应角相等可得出选项C 成立，而OM 不一定等于MD ，得出选项D 不成立解答：解： AB 是 O 的直径，弦CDAB ，垂足为M，M 为 CD 的中点，即CM=DM ，
19、选项 A 成立；B 为CD的中点，即CBDB，选项 B 成立；在 ACM 和 ADM 中，90AMAMAMCAMDCMDM，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 29 页学习必备欢迎下载 ACM ADM （SAS）， ACD= ADC ，选项 C 成立；而 OM 与 MD 不一定相等，选项D 不成立故选 D 点评： 此题考查了垂径定理，以及全等三角形的判定与性质，垂径定理为： 垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧，熟练掌握垂径定理是解本题的关键2 （ 2012?东营）某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1） ，若
20、不计木条的厚度，其俯视图如图2 所示，已知AD 垂直平分BC，AD=BC=48cm ，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是cm230 考点： 垂径定理的应用；勾股定理 分析：当圆柱形饮水桶的底面半径最大时，圆外接于ABC ；连接外心与B 点，可通过勾股定理即可求出圆的半径解答：解：连接OB，如图，当 O 为 ABC 的外接圆时圆柱形饮水桶的底面半径的最大AD 垂直平分BC，AD=BC=48cm ，O 点在 AD 上， BD=24cm ；在 Rt0BD 中，设半径为r，则 OB=r，OD=48-r ，r2=（48-r）2+242，解得 r=30即圆柱形饮水桶的底面半径的最大值为30cm故答案为：
21、30点评：此题考查把实物图转化为几何图形的能力以及勾股定理，垂径定理的讨论和勾股定理3（2012?泰安）如图，在半径为5 的 O 中，弦 AB=6 ，点 C 是优弧AB上一点（不与A，B 重合），则cosC 的值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 29 页学习必备欢迎下载345考点： 圆周角定理 ；勾股定理 ；垂径定理 ；锐角三角函数的定义分析：首先构造直径所对圆周角，利用勾股定理得出BD 的长，再利用cosC=cosD=BDAD求出即可解答：解：连接AO 并延长到圆上一点D，连接 BD，可得 AD 为 O 直径，故 AB
22、D=90 ，半径为5 的 O 中，弦 AB=6 ，则 AD=10 ，BD=2222106ADAB=8， D=C，cosC=cosD=BDAD=810=45，故答案为：45点评：此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义和圆周角定理，根据已知构造直角三角形 ABD 是解题关键4 （2012?青岛） 如图， 点 A、B、C 在 O 上，AOC=60 ，则 ABC 的度数是4.150 考点： 圆周角定理 分析：首先在优弧ADC上取点 D，连接 AD ，CD，由圆周角定理，即可求得ADC 的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得答案解答：解：在优弧ADC上取点 D，连接 AD ，CD， AOC=6
23、0 ， ADC=12AOC=30 ， ABC+ ADC=180 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 29 页学习必备欢迎下载 ABC=180 -ADC=180 -30 =150 故答案为： 150 点评： 此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质此题比较简单， 注意掌握辅助线的作法【备考真题过关】一、选择题1（ 2012?无锡）如图，以M（-5，0）为圆心、 4为半径的圆与x 轴交于 A、B 两点， P 是M 上异于 A、B 的一动点，直线PA、PB 分别交 y 轴于 C、D，以 CD 为直径的 N 与 x轴交于 E、
24、F，则 EF 的长（）A等于 42B等于 43C等于 6 D随 P 点位置的变化而变化考点： 垂径定理 ； 勾股定理 ；相似三角形的判定与性质专题： 计算题 分析：连接NE，设圆 N 半径为 r，ON=x ，则 OD=r-x ，OC=r+x ，证 OBD OCA，推出OC：OB=OA ：OD，即（ r+x）： 1=9：（ r-x），求出r2-x2=9，根据垂径定理和勾股定理即可求出答案解答：解：连接NE，设圆 N 半径为 r，ON=x ，则 OD=r-x ，OC=r+x ，以 M（-5，0）为圆心、 4 为半径的圆与x 轴交于 A、B 两点，OA=4+5=9 ，0B=5-4=1 ，AB 是 M
25、 的直径， APB=90 （直径所对的圆周角是直角）， BOD=90 ， PAB+ PBA=90 ， ODB+ OBD=90 ， PBA= OBD ， PAB= ODB ， APB= BOD=90 ， OBD OCA ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 29 页学习必备欢迎下载OCOAOBOD，即91rxrx，解得：（ r+x）（ r-x）=9，r2-x2=9，由垂径定理得：OE=OF，OE2=EN2-ON2=r2-x2=9，即 OE=OF=3 ，EF=2OE=6 ，故选 C点评： 本题考查了勾股定理，垂径定理，相似三角
26、形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出 OE=OF 和 r2-x2=9，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力2（ 2012?陕西）如图，在半径为5的 O 中， AB、CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P，且 AB=CD=8 ，则 OP 的长为（）A3 B 4 C32D42考点： 垂径定理 ； 勾股定理 分析：作 OMAB 于 M，ONCD 于 N，连接 OP，OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN 是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OM 的长解答：解：作OMAB 于 M，ONCD 于 N，连接 OP，OB，OD，由垂径定理、勾股定理得：OM=2254=3，弦
27、 AB、 CD 互相垂直， DPB=90 ，OM AB 于 M，ONCD 于 N，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 29 页学习必备欢迎下载 OMP= ONP=90 四边形MONP 是正方形，OP=32故选 C点评：本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线3（ 2012?黄冈）如图， AB 为 O 的直径，弦CDAB 于 E，已知 CD=12 ，BE=2，则 O的直径为（）A8 B10 C16 D20 考点： 垂径定理 ； 勾股定理 分析：连接OC，可知，点E 为 CD 的中点，在RtOEC 中，
28、 OE=OB-BE=OC-BE ，根据勾股定理，即可得出OC，即可得出直径解答：解：连接OC，根据题意，CE=12CD=6，BE=2在 RtOEC 中，设 OC=x ，则 OE=x-2 ，故：（ x-2）2+62=x2解得： x=10 即直径 AB=20 故选 D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 29 页学习必备欢迎下载点评：本题是对垂径定理和解直角三角形的综合应用，解题的关键是利用勾股定理构造直角三角形4（ 2012?河北）如图， CD 是 O 的直径， AB 是弦（不是直径），AB CD 于点 E，则下列结论正确的是
29、（）AAEBE BADBCC D=12AEC D ADE CBE 考点： 垂径定理 ； 圆周角定理 ；相似三角形的判定分析：根据垂径定理及相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可解答：解： CD 是 O 的直径， AB 是弦（不是直径），AB CD 于点 E，AE=BE ，ACBC，故 A、B 错误； AEC 不是圆心角， D12 AEC，故 C 错误； CEB=AED ， DAE= BCE ， ADE CBE ，故 C 正确故选 D点评：本题考查了垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定，难度不大，是基础题5（ 2012?重庆）已知：如图，OA ，OB 是 O 的两条半径，且OAOB，点
30、C 在 O 上，则 ACB 的度数为（）A45B35C 25D20考点： 圆周角定理 专题： 探究型 分析：直接根据圆周角定理进行解答即可解答：解： OA OB， AOB=90 ， ACB=12AOB=45 故选 A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 29 页学习必备欢迎下载点评： 本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半6 （2012?云南） 如图，AB 、CD 是 O 的两条弦， 连接 AD 、BC若 BAD=60，则 BCD的度数为（）A40B50C60D7
31、0考点： 圆周角定理 分析：由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得BCD 的度数解答：解：BAD 与 BCD 是BD对的圆周角， BCD= BAD=60 故选 C点评： 此题考查了圆周角定理此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用，注意数形结合思想的应用7 （2012?襄阳） ABC 为 O 的内接三角形， 若 AOC=160 ，则 ABC 的度数是 （）A80B 160C100D80 或 100考点： 圆周角定理 分析：首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案ABC 的度数，又由圆的内接四边四边形性质，即可求得AB C 的度数解答：解：
32、如图，AOC=160 ， ABC=12AOC=12 160 =80 ， ABC+ AB C=180 ， AB C=180 - ABC=180 -80 =100 ABC 的度数是： 80 或 100 故选 D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 29 页学习必备欢迎下载点评： 此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质此题难度不大， 注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，注意别漏解8（ 2012?泸州）如图，在ABC 中， AB 为 O 的直径， B=60 ， BOD=100 ，则 C的度数为（）A50B 60C70D80考点
33、： 圆周角定理 分析： 由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得 A 的度数，然后由三角形的内角和定理，即可求得C 的度数解答：解：BOD=100 ， A=12 BOD=50 ， B=60 ， C=180 -A- B=70 故选 C点评： 此题考查了圆周角定理与三角形的内角和定理此题难度不大， 注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用是解此题的关键二、填空题9（ 2012?朝阳）如图， AB 为 O 的直径， CD 为 O 的一条弦， CDAB ，垂足为E，已知 CD=6 ，AE=1，则 0 的半径为95 考点：
34、 垂径定理 ； 勾股定理 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 29 页学习必备欢迎下载分析：连接OD，由垂径定理得求出DE，设 O 的半径是R，由勾股定理得出R2=（R-1）2+32，求出 R 即可解答：解：连接 OD，AB CD，AB 是直径，由垂径定理得：DE=CE=3 ，设 O 的半径是 R，在 RtODE 中，由勾股定理得：OD2=OE2+DE2，即 R2=（ R-1）2+32，解得： R=5，故答案为： 5点评：本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，用了方程思想，题目比较好，难度适中10（2012?成都）如图， A
35、B 是 O 的弦， OCAB 于 C若 AB=23，0C=1，则半径 OB的长为10 2 考点： 垂径定理 ； 勾股定理 专题： 探究型 分析：先根据垂径定理得出BC 的长，再在RtOBC 中利用勾股定理求出OB 的长即可解答：解： AB 是 O 的弦， OCAB 于 C，AB=23，BC=12，AB=3，0C=1，在 RtOBC 中，OB=22221( 3)2OCBC故答案为： 2点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，先求出BC 的长，再利用勾股定理求出OB 的长是解答此题的关键精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 29
36、页学习必备欢迎下载11（ 2012?嘉兴）如图，在O 中，直径 AB 丄弦 CD 于点 M，AM=18 ，BM=8 ，则 CD 的长为11 24 考点： 垂径定理 ； 勾股定理 专题： 探究型 分析：连接OD，由 AM=18 ，BM=8 可求出 O 的半径，利用勾股定理可求出MD 的长，再根据垂径定理即可得出CD 的长解答：解：连接OD，AM=18 ，BM=8 ，OD=2AMBM=1882=13，OM=13-8=5 ，在 RtODM 中， DM=222213512ODOM，直径 AB 丄弦 CD，AB=2DM=212=24故答案为： 24点评： 本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助
37、线，构造出直角三角形是解答此题的关键12 （2012?株洲）已知：如图，在 O 中，C 在圆周上， ACB=45，则 AOB= 12 90考点： 圆周角定理 分析：由在 O 中， C 在圆周上， ACB=45 ，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得AOB 的度数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 29 页学习必备欢迎下载解答：解：在O 中， C 在圆周上， ACB=45 ， AOB=2 ACB=2 45 =90 故答案为： 90 点评： 此题考查了圆周角定理此题比较简单，注意掌握
38、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用，注意数形结合思想的应用13（ 2012?玉林）如图，矩形OABC内接于扇形MON ，当 CN=CO 时， NMB 的度数是13 30考点： 圆周角定理 ；含 30 度角的直角三角形；矩形的性质 分析： 首先连接 OB，由矩形的性质可得BOC 是直角三角形， 又由 OB=ON=2OC ，BOC的度数，又由圆周角定理求得NMB 的度数解答：解：连接OB，CN=CO ，OB=ON=2OC ，四边形 OABC 是矩形， BCO=90 ，cosBOC=12OCOB， BOC=60 ， NMB=12BOC=30 故答案为： 30
39、 点评： 此题考查了圆周角定理、矩形的性质以及特殊角的三角函数值此题难度适中， 注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 29 页学习必备欢迎下载14（ 2012?义乌市）如图，已知点A（0，2）、 B（23，2）、 C（0，4），过点C 向右作平行于x 轴的射线，点P 是射线上的动点，连接AP，以 AP 为边在其左侧作等边APQ，连接 PB、BA 若四边形ABPQ 为梯形，则：（1）当 AB 为梯形的底时，点P 的横坐标是；（2）当 AB 为梯形的腰时，点P 的横坐标是14（ 1）233
40、，（ 2）0 或2 3考点： 圆周角定理 ；等边三角形的性质；梯形 ；解直角三角形 专题： 几何综合题 分析：首先根据题意画出符合题意的图形，（1）当 AB 为梯形的底时，PQAB ，可得 Q在 CP 上，由 APQ 是等边三角形，CPx 轴，即可求得答案；（2）当 AB 为梯形的腰时， AQ BP，易得四边形ABPC 是平行四边形， 即可求得 CP 的长，继而可求得点P 的横坐标解答：解：（ 1）如图 1：当 AB 为梯形的底时，PQAB ，Q 在 CP 上， APQ 是等边三角形，CPx 轴，AC 垂直平分PQ，A（0，2）， C（0，4），AC=2 ，PC=AC?tan30 =232 3
41、32，当 AB 为梯形的底时，点P 的横坐标是：2 32；（2）如图 2，当 AB 为梯形的腰时，AQBP，Q 在 y 轴上，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 29 页学习必备欢迎下载BPy 轴，CPx 轴，四边形 ABPC 是平行四边形，CP=AB=23，如图 3，当 C 与 P 重合时，A（0，2）、 B（23，2），tanAPC=2 332， APC=60 ， APQ 是等边三角形， PAQ=60 ， ACB= PAQ，AQ BP，当 C 与 P 重合时，四边形ABPQ 以 AB 为要的梯形，此时点 P的横坐标为0
42、；当 AB 为梯形的腰时，点P 的横坐标是： 0 或 23故答案为：（ 1）233，（ 2）0 或2 3点评： 此题考查了梯形的性质与等边三角形的性质此题难度适中， 解题的关键是根据题意画出符合要求的图形，然后利用数形结合思想求解15 （2012?鞍山）如图，ABC 内接于 O， AB、 CD 为 O 直径，DEAB 于点 E， sinA=12，则 D 的度数是15.30 考点： 圆周角定理 ；特殊角的三角函数值专题： 计算题 分析： 由圆周角定理、 特殊角的三角函数值求得CAB=30 ；然后根据直角三角形的两个锐角互余的性质、等腰三角形的性质、对顶角相等求得EOD=COB=60 ；最后在直角
43、三角形 ODE 中求得 D 的度数解答：解： AB 为 O 直径， ACB=90 （直径所对的圆周角是直角）；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 29 页学习必备欢迎下载又 sinA=12， CAB=30 ， ABC=60 （直角三角形的两个锐角互余）；又点 O 是 AB 的中点，OC=OB ， OCB=OBC=60， COB=60 ， EOD=COB=60 （对顶角相等）；又 DEAB ， D=90 -60 =30 故答案是： 30 点评：本题综合考查了圆周角定理、特殊角的三角函数值解题时，注意“ 直角三角形斜边上的中线
44、等于斜边的一半” 这一知识点的利用三、解答题16（ 2012?荆门）如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 型槽上的横截面图 已知图中 ABCD为等腰梯形（ AB DC），支点 A 与 B 相距 8m，罐底最低点到地面CD 距离为 1m设油罐横截面圆心为O，半径为 5m，D=56 ，求： U 型槽的横截面（阴影部分）的面积（参考数据： sin53 0.8，tan561.5，3，结果保留整数）考点： 垂径定理的应用；勾股定理 ；等腰梯形的性质；解直角三角形的应用分析：连接AO 、BO过点 A 作 AEDC 于点 E，过点 O 作 ONDC 于点 N，ON 交 O于点 M，交 AB 于点 F，则 OF
45、 AB，先根据垂径定理求出AF 的值，再在在RtAOF 中利用锐角三角函数的定义求出AOB 的度数，由勾股定理求出OF 的长，根据四边形ABCD是等腰梯形求出AE 的长，再由S阴=S梯形ABCD-（ S扇OAB-SOAB）即可得出结论解答：解：如图，连接AO 、BO过点 A 作 AEDC 于点 E，过点 O 作 ON DC 于点 N，ON 交 O 于点 M，交 AB 于点 F则 OFAB OA=OB=5m ， AB=8m ，AF=BF=12AB=4 （m）， AOB=2 AOF，在 RtAOF 中， sinAOF=AFAO=0.8=sin53， AOF=53 ，则 AOB=106 ，OF=22
46、OAAF=3（m），由题意得：MN=1m ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 29 页学习必备欢迎下载FN=OM-OF+MN=3（m），四边形 ABCD 是等腰梯形，AEDC，FN AB，AE=FN=3m ，DC=AB+2DE 在 RtADE 中， tan56 =32AEDE，DE=2m ，DC=12m S阴=S梯形ABCD-（S扇OAB-SOAB）=12（8+12） 3-（10636052-12 8 3） =20（m2）答： U 型槽的横截面积约为20m2点评： 本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线
47、，构造出直角三角形及等腰梯形，再利用勾股定理进行求解是解答此题的关键17（ 2012?南通）如图， O 的半径为17cm，弦 AB CD，AB=30cm ，CD=16cm，圆心 O位于 AB， CD 的上方，求AB 和 CD 的距离考点： 垂径定理 ； 勾股定理 专题： 探究型 分析：过点O 作弦 AB 的垂线，垂足为E，延长 AE 交 CD 于点 F，连接 OA，OC；由于ABCD，则 OFCD， EF 即为 AB、CD 间的距离；由垂径定理，易求得AE、CF 的长，可连接 OA 、ODC 在构建的直角三角形中，根据勾股定理即可求出OE、 OF 的长，也就求出了 EF 的长，即弦AB、CD
48、间的距离解答：解：过点O 作弦 AB 的垂线，垂足为E，延长 AE 交 CD 于点 F，连接 OA ，OC，AB CD，OFCD，AB=30cm ，CD=16cm ，AE=12AB=12 30=15cm， CF=12CD=12 16=8cm，在 RtAOE 中，OE=22221715OAAE=8cm，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 29 页学习必备欢迎下载在 RtOCF 中，OF=2222178OCCF=15cm，EF=OF-OE=15-8=7cm 答： AB 和 CD 的距离为7cm点评： 本题考查的是勾股定理及垂径
49、定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键18（ 2012?宁夏）在O 中， 直径 ABCD 于点 E， 连接 CO 并延长交 AD 于点 F， 且 CFAD 求D 的度数考点： 垂径定理 ； 等边三角形的判定与性质分析：连接BD ，根据平行线的性质可得：BDCF，则 BDC= C，根据圆周角定理可得BDC= 12BOC ，则 C= 12BOC，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解解答：解：方法一：连接BD AB O 是直径，BD AD 又 CFAD ，BD CF， BDC= C又 BDC=12BOC， C=12BOC AB CD， C=30 ， ADC=60 方法二：设 D=
50、x，CFAD ，ABCD， A= A， AFO AED ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 29 页学习必备欢迎下载 D=AOF=x ， ADC=2 ADC=2x ，x+2x=180 ，x=60 ， ADC=60 点评：本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质，正确得到C=12BOC 是解题的关键19 （2012?长沙）如图，A， P， B， C 是半径为8 的 O 上的四点， 且满足 BAC= APC=60 ，（1）求证： ABC 是等边三角形；（2）求圆心O 到 BC 的距离 OD考点：圆周角定理 ；等边三角形的判定