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1、第第9课一元二次方程及其应用课一元二次方程及其应用目 录2知识清单4题型训练1考情分析3真题再现 本节内容考纲要求考查一元二次方程有关概念，会用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，不解方程判别方程根的情况，用一元二次方程解实际问题。近5年试题规律：只考简单的一元二次方程的解法，会在选择题中考查一元二次方程的根的情况，而一元二次方程的应用是高频考点，特别是增长率问题更是反复出现，不容忽视。考情分析考情分析1. 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的 最高次数是最高次数是_的整式方程叫做一元二次方程的整式方程叫做一元二次方程2. 一般形式：一
2、般形式：ax2bxc0(其中其中a，b，c为常数，为常数， a0)，其中，其中ax2，bx，c分别叫做二次项、一次项和分别叫做二次项、一次项和 常数项，常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数分别称为二次项系数和一次项系数考点1 一元二次方程及其解法2知识清单知识清单3一元二次方程必备的三个条件：一元二次方程必备的三个条件： (1)必须是必须是_方程；方程； (2)必须只含有必须只含有_未知数；未知数； (3)所含未知数的最高次数是所含未知数的最高次数是_整式整式一个一个2知识清单知识清单4一元二次方程的四种解法一元二次方程的四种解法解法解法适用题型适用题型方法或步骤方法或步骤配方配方法法
3、所有有实所有有实根的一元根的一元二次方程二次方程1.将二次项将二次项系数系数_；2.移项移项，使方程左边只含有二次项和一，使方程左边只含有二次项和一次次 项项，右边，右边为为_；3.方程方程两边都加上一次项系数一半的平方；两边都加上一次项系数一半的平方；4.原原方程方程变为变为_；5.直接直接开平方，得两个一元一次方程；开平方，得两个一元一次方程；6.解解这两个一元一次方程，得原方程的这两个一元一次方程，得原方程的两两 个个根根化为化为1常数项常数项(xm)2n(n0)知识清单知识清单续表续表解法解法适用题型适用题型方法或步骤方法或步骤直接直接开开平方平方法法x2m(m0)或或(xm)2n(n
4、0)1.观察方程是否符合观察方程是否符合x2m(m0)或或 (xm)2n(n0)的形式；的形式；2.直接直接开平方，得两个一元一次方程；开平方，得两个一元一次方程；3.解解这两个一元一次方程，得原这两个一元一次方程，得原方程方程 的的两个根两个根公式公式法法所有有实根所有有实根的一元二次的一元二次方程方程1.把方程化为一般形式；把方程化为一般形式；2.确定确定a，b，c的值；的值；3.求求出出b24ac的值；的值；4.将将a，b，c的值代入的值代入x_242bbaca 知识清单知识清单续表续表解法解法适用题型适用题型方法或步骤方法或步骤因式因式分解法分解法左边能分解左边能分解因式，右边因式，右
5、边为为0的一元的一元二次方程二次方程1.将方程右边化为将方程右边化为0；2.将将方程左边进行因式分解；方程左边进行因式分解；3.令令每个每个因式因式_，得两得两个个 一元一次方程一元一次方程；4.解解这两个一元一次方程，得这两个一元一次方程，得原原 方程方程的两个根的两个根等于等于0知识清单知识清单 一元二次方程一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判别的根的判别式为式为b24ac.(1)当当b24ac_0时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个不相等的实数根；(2)当当b24ac_0时，方程有两个相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；(3)当当b24ac_0时，方程无实数根时，方程
6、无实数根考点2 一元二次方程根的判别式知识清单知识清单1.列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程 (组组)解应用题的步骤一样，共分审、设、列、解、解应用题的步骤一样，共分审、设、列、解、 验、答六步验、答六步2.列一元二次方程解应用题时，经济类和面积类问题列一元二次方程解应用题时，经济类和面积类问题 是常考内容：是常考内容： (1)增长率等量关系：增长率等量关系： A增长率增长率 100%；考点3 一元二次方程的应用增增长长量量基基础础量量知识清单知识清单B . a为基础量，当为基础量，当m为平均增长率，为平均增长率，n为增长次数，为增长次数，
7、b为为 增长后的量时，增长后的量时，a(1m)nb；当；当m为平均下降率，为平均下降率，n 下降次数，下降次数，b为下降后的量时，为下降后的量时，a(1m)nb. (2)面积类问题中的常见图形面积类问题中的常见图形(如图如图)：平移转化法：设阴影部分的宽为平移转化法：设阴影部分的宽为x，通过平移可将图，通过平移可将图转化为图转化为图，由图，由图易知空白部分的面积易知空白部分的面积为为(ax)(bx)知识清单知识清单1 1(2016(2016怀化怀化) )一元二次方程一元二次方程x x2 2x x1 10 0的根的情况是的根的情况是( () ) A A有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 B
8、 B有两个相等的实数根有两个相等的实数根 C C只有一个实数根只有一个实数根 D D没有实数根没有实数根2 2(2016(2016泰安泰安) )一元二次方程一元二次方程(x(x1)1)2 22(x2(x1)1)2 27 7的根的情的根的情 况是况是( () ) A A无实数根无实数根B B有一正根一负根有一正根一负根 C C有两个正根有两个正根 D D有两个负根有两个负根AC真题再现真题再现3 3(2016(2016河北河北) )已知已知a a，b b，c c为常数，且为常数，且(a(ac)c)2 2 a a2 2c c2 2，则关于，则关于x x的方程的方程axax2 2bxbxc c0 0
9、的根的的根的 情况是情况是( () ) A A有两个相等的实数根有两个相等的实数根 B B有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 C C无实数根无实数根 D D有一根为有一根为0 04 4(2016(2016宜宾宜宾) )已知一元二次方程已知一元二次方程x x2 23x3x4 40 0的的 两根为两根为x x1 1、x x2 2，则，则x x1 12 2x x1 1x x2 2x x2 22 2_B13真题再现真题再现5(2016巴中巴中)随着国家随着国家“惠民政策惠民政策”的陆续出的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节
10、中的不正当行为，某种药品过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价原价200元元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元元/瓶现假定两次降价的百分率相同，求该瓶现假定两次降价的百分率相同，求该种药品每次降价的百分率种药品每次降价的百分率真题再现真题再现解解：设该种药品每次降价的百分率是：设该种药品每次降价的百分率是x， 由题意得由题意得200(1x)298， 解得解得x11.7(不合题意，舍去不合题意，舍去)， x20.330%.答：该种药品每次降价的百分率是答：该种药品每次降价的百分率是30%.真题再现真题再现题型一 一元二次方程的解法1. (2016洛阳
11、模拟洛阳模拟)方程方程(x1)22的根是的根是( ) A1，3 B1，3 C1 ，1 D. 1， 1C2222题型训练题型训练2. (2016济南济南模拟模拟)解方程：解方程：x23x20. 解：解：a1，b3，c2， b24ac(3)241(2)17， 317317,2 12x 1317,2x 1317.2x 题型训练题型训练3. (2016兰州兰州二模二模)解方程：解方程：x212(x1)解法二：解法二：因式分解法：因式分解法： x212x2， x22x30， (x3)(x1)0， x13，x21.解法一：解法一：配方法：配方法： x212x2， x22x3， x22x14， (x1)24
12、， x12， x13，x21.题型训练题型训练一元二次方程的解法主要有：一元二次方程的解法主要有：(1)直接开平方法；直接开平方法；(2)配方法；配方法；(3)公式法：公式法：x ；(4)因式分解法解一元二次方程的关键是根据方程因式分解法解一元二次方程的关键是根据方程 的特点选择合适的方法，一般情况下优先考虑因的特点选择合适的方法，一般情况下优先考虑因 式分解法式分解法方法点拨方法点拨242bbaca 题型训练题型训练1. (2016长沙长沙二模二模)下列一元二次方程中有两个不相等下列一元二次方程中有两个不相等 的实数根的是的实数根的是( ) A(x1)20 Bx22x190 Cx240 Dx
13、2x10题型二 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系B题型训练题型训练2. (2016泰安泰安)一元二次方程一元二次方程(x1)22(x1)27的根的根 的情况是的情况是( ) A无实数根无实数根 B有一正根一负根有一正根一负根 C有两个正根有两个正根 D有两个负根有两个负根C 原方程化为一般形式得原方程化为一般形式得x26x80，解得，解得x12，x24；也可由也可由40进行判断进行判断题型训练题型训练3. (2016苏苏州一模州一模)若关于若关于x的一元二次方程的一元二次方程(k1)x2 2x20有实数根，则有实数根，则k的取值范围是的取值范围是( ) Ak Bk Ck 且且k1 Dk
14、且且k112D121212题型训练题型训练4. (2016成都成都)已知关于已知关于x的方程的方程3x22xm0没有没有 实数根，求实数实数根，求实数m的取值范围的取值范围 解：解：原方程为一元二次方程，一元二次方程无原方程为一元二次方程，一元二次方程无 实数根，实数根， 2243(m)0， 解得解得m .13题型训练题型训练方法点拨方法点拨 利用根的判别式可以判别一元二次方程根的情利用根的判别式可以判别一元二次方程根的情况，也可以由方程根的情况确定方程中字母系数的况，也可以由方程根的情况确定方程中字母系数的取值情况；判别根的情况时必须先将方程化为一般取值情况；判别根的情况时必须先将方程化为一
15、般形式形式题型训练题型训练1.(2016连云港一模连云港一模）某中学准备建一个面积为某中学准备建一个面积为375 m2 的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10 m设游泳设游泳 池的长为池的长为x(单位：单位：m)，则可列方程为，则可列方程为( ) Ax(x10)375 Bx(x10)375 C2x(2x10)375 D2x(2x10)375题型三 一元二次方程的应用A题型训练题型训练2. (2016台州台州)有有x支球队参加篮球比赛，共比赛了支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，场， 每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合
16、题意的 是是( ) A. x(x1)45 B. x(x1)45 Cx(x1)45 Dx(x1)45A1212 每两队之间比赛一场，为单循环赛，所以选每两队之间比赛一场，为单循环赛，所以选A.若分主客场，若分主客场，每两队之间比赛两场，则为每两队之间比赛两场，则为C.题型训练题型训练3. (2016石家庄模拟石家庄模拟)某商店准备进一批季节性小家电，某商店准备进一批季节性小家电， 单价为单价为40元，经市场预测，销售定价为元，经市场预测，销售定价为52元时，可元时，可 售出售出180个定价每增加个定价每增加1元，销售量净减少元，销售量净减少10个；个； 定价每减少定价每减少1元，销售量净增加元，
17、销售量净增加10个因受库存的影个因受库存的影 响，每批次进货个数不得超过响，每批次进货个数不得超过180个，商店若准备获个，商店若准备获 利利2 000元，则应进货多少个？销售定价为多少元？元，则应进货多少个？销售定价为多少元？题型训练题型训练解：解：设销售定价为设销售定价为x元，则进货元，则进货18010(x52)180 10 x52070010 x(个个)，所以，所以(x40)(700 10 x)2 000，解得，解得x150，x260. 每批次进货个数不得超过每批次进货个数不得超过180个，个， 70010 x180， 解得解得x52，x60. 当当x60时，时，70010 x70010
18、60100(个个)答：答：商店若准备获利商店若准备获利2 000元，则应进货元，则应进货100个，销售个，销售 定价为定价为60元元题型训练题型训练4. (2016广州广州模拟模拟)某地区某地区2013年投入教育经费年投入教育经费2 500万元，万元， 2015年投入教育经费年投入教育经费3 025万元万元 (1)求求2013年至年至2015年该地区投入教育经费的年平年该地区投入教育经费的年平 均增长率；均增长率； (2)根据根据(1)所得的年平均增长率，预计所得的年平均增长率，预计2016年该地年该地 区将投入教育经费多少万元区将投入教育经费多少万元题型训练题型训练解：解：(1)设设2013
19、年至年至2015年该地区投入教育经费的年平年该地区投入教育经费的年平 均增长率为均增长率为x， 由题意得由题意得2 500(1x)23 025， 解得解得x10.1，x22.1(舍去舍去) 所以，年平均增长率为所以，年平均增长率为0.110%. 答：答：2013年至年至2015年该地区投入教育经费的年平均年该地区投入教育经费的年平均 增长率为增长率为10%. (2)由题意得由题意得2 500(110%)33 327.5(万元万元) 预计预计2016年该地区将投入教育经费年该地区将投入教育经费3 327.5万元万元题型训练题型训练方法点拨方法点拨 一元二次方程的根通常有两个，在解实际问题一元二次方程的根通常有两个，在解实际问题时，有时要根据具体情况进行取舍，通常舍掉负值时，有时要根据具体情况进行取舍，通常舍掉负值的那个根的那个根题型训练题型训练