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1、等积法求三棱锥的体积【教师版】 2014/10/14 由于三棱锥是由4个三角形围成的四面体，任何一个三角形都可以看成其底面。但在求体积时需要选择合适的底和高，这就需要灵活换底面，但是三棱锥的体积保持不变。这种方法我们称为“等积法”，它是三棱锥求体积的巧妙方法，也是其“专属产品”。其他的，如四棱锥求体积就不能随意换底，不能用等积法求体积。另外，等积法的优越性还体现在求“点到平面的距离”中。 【注意】等积法求体积时，要谨记“先证后求”的原则，先作出或证明底面的高，再计算三棱锥的体积。 例1 例2（2011佛山一中三校联考）如图，已知三棱锥ABPC中，APPC， ACBC，M为AB中点，D为PB中点
2、，且PMB为正三角形。（）求证：DM平面APC； （）求证：平面ABC平面APC；（）若BC4，AB20，求三棱锥DBCM的体积例2解：（）由已知得，是ABP的中位线 2分 4分（）为正三角形，D为PB的中点， 5分 6分又 7分 又 9分平面ABC平面APC 10分（），是三棱锥MDBC的高，且MD11分 又在直角三角形PCB中，由PB10，BC4，可得PC 12分于是， 13分 14分例3（茂名2010二模）如图，在底 面是菱形的四棱锥SABCD中，SA=AB=2， （1）证明：平面SAC； （2）问：侧棱SD上是否存在点E，使得SB/平面ACE？请证明你的结论； （3）若，求几何体ASB
3、D的体积。例3解：（1）四棱锥SABCD底面是菱形，且AD=AB，又SA=AB=2，又， 2分平面ABCD，平面ABCD，从而SABD 3分又，平面SAC。 4分 （2）在侧棱SD上存在点E，使得SB/平面ACE，其中E为SD的中点 6分证明如下：设，则O为BD的中点，又E为SD的中点，连接OE，则为的中位线。 7分，又平面AEC，SB平面AEC 8分平面ACE 10分 （3）当时， 12分几何体ASBD的体积为 14分点到面的距离一、知识点 （求点到面的距离主要方法：）（1）直接法：由定义作出垂线段并计算，用线面和面面垂直的判定及性质来作；（2）转移法：若直线平面，则直线上任意一点到平面的距
4、离相等；（3）等体积法：用同一个三棱锥选不同底计算体积，再求高，即点到面的距离。二、基础热身1、在棱长为的正方体中找出表示下列距离的垂线段:直接法：（1）点到面的距离 ；（2）到面的距离 ； （3）点到面的距离 (4)求C到平面的距离 。转移法：棱长为1的正方体中，分别是棱中点，求点到平面的距离提示：因为，所以点到平面的距离即为点到平面的距离。作，证明。【活学活用】3、在棱长为1的正方体中,E,F分别为棱和CD的中点, 求点F到平面的距离。 提示：法一 直接法：将三角形扩大到平行四边形，高。取的中点G，连接、EG，过F作垂线FH。可以证得EG/，所以平面，即平面。可以证得EG平面，所以EGFH
5、由FH、EGFH，EG=G可知FH平面所以FH即F到平面距离。根据勾股定理可以求得：， 又知：的面积=S四边形-S-S-SFGC，。法二：转移法：平面，作。等积法求点到面的距离：4. 已知在棱长为1的正方体中，E、F分别是、CD的中点，求点B到平面的距离。等积法三、知识运用例1： 如图四棱锥，,面,是线段上一点，.(1)证明：(2)求点的距离。ABCDPEFEX1如图，在边长为a的菱形ABCD中，E,F是PA和AB的中点。（1）求证： EF/平面PBC ;（2）求E到平面PBC的距离。提示：由（1）知EF/平面PBC， 所以E到平面PBC的距离等于点F到平面PBC的距离 ，即为所求。例2：（2
6、010江苏卷）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900。求点A到平面PBC的距离。解析（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DECB，DE平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。由（1）知：BC平面PCD，所以平面PBC平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC，所以DFPC，所以DF平面PBC于F。易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于。（方法二）等体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。因为ABDC，BCD=900，所以ABC=90
7、0。从而AB=2，BC=1，得的面积。由PD平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积。因为PD平面ABCD，DC平面ABCD，所以PDDC。又PD=DC=1，所以。由PCBC，BC=1，得的面积。由，得，故点A到平面PBC的距离等于。EX2:（2010广东文数）如图4，弧AEC是半径为的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC平面BED,FB=（1）证明：EBFD（2）求点B到平面FED的距离. 【解析】（1）证明：点B和点C为线段AD的三等分点， 点B为圆的圆心又E是弧AC的中点，AC为直径， 即 平面，平面， 又平面，平面且
8、平面 又平面， （2）解：设点B到平面的距离（即三棱锥的高）为. 平面, FC是三棱锥F-BDE的高，且三角形FBC为直角三角形 由已知可得，又 在中，故, , 又平面，故三角形EFB和三角形BDE为直角三角形, ，在中，, , 即，故,即点B到平面的距离为.备用题：1、 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，PD底面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABCD, ABC=90。，求点D到平面PAB的距离. 2、四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，AB=，分别求点C与点D到平面PAB的距离. 3、如图几何体是由正方体ABCD-A1B1C1D1与四棱锥E-
9、A1B1C1D1组成，E为CC1的延长线上一点，且EC1=CC1，AB=2，M为EB1的中点，求点M到平面ACD1的距离. 4、如图BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，求点A到平面MCD的距离.PCABOD图5图65、圆锥如图5所示，图6是它的正(主)视图已知圆的直径为，是的中点，为的中点（1）求该圆锥的侧面积；（2）证明：； （3）求点到平面的距离6、 如图，ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AD、AB的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC2，求点B到平面EFG的距离。7:如图，已知是矩形，求到平面的距离8、圆锥如图5所示，图6是它的正(主)视图已知圆的直径为，是的中点，为的中点（1）求该圆锥的侧面积；（2）证明：；（3）求点到平面的距离PCABOD图5图69 / 9