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1、第二讲古典概型与几何概型,【高考帮理科数学】第十三章：概率,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,考纲解读,命题规律,命题分析预测,考点1 古典概型 考点2 几何概型 考点3 随机模拟,考法1 求古典概型的概率 考法2 与长度、角度有关的几何概型 考法3 与面积(体积)有关的几何概型 考法4 随机模拟的应用,B考法帮题型全突破,C方法帮素养大提升,易错几何概型中“区域”选取不准致误,理科数学 第十三章：概率,考情精解读,考纲解读 命题规律 命题分析预测,理科数学 第十三章：概率,1.理解古典概型及其概率计算公式. 2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 3.
2、了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率. 4.了解几何概型的意义.,考纲解读,命题规律,1.分析预测本讲是高考的热点,常以选择题和填空题的形式出现,主要考查古典概型,与长度、面积有关的几何概型,有时也与其他知识进行交汇命题,以解答题的形式出现,如概率与统计和统计案例的综合,求解时要掌握古典概型和几何概型的应用条件和计算公式. 2.学科素养本讲主要考查考生的数学运算能力.,命题分析预测,A考点帮知识全通关,考点1 古典概型 考点2 几何概型 考点3 随机模拟,理科数学 第十三章：概率,1.基本事件,考点1 古典概型（重点）,一次试验中可能出现的每一个结果称为一个基本事件.基本事件有如下特点:
3、(1)任何两个基本事件都是互斥的; (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2.古典概型的概念及特点 我们将具有下面两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型: (1)有限性,即在一次试验中,基本事件的个数是有限的; (2)等可能性,即每个基本事件出现的可能性是相等的.,注意 下列三类试验不是古典概型:(1)基本事件个数有限,但非等可能;(2)基本事件个数无限,但等可能;(3)基本事件个数无限,也非等可能. 3.古典概型的概率公式 P(A)= 包含的基本事件的个数 基本事件的总数 .,理科数学 第十三章：概率,考点2 几何概型（重点）,1.几何概型的概念 如果每个事件发
4、生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型. 2.几何概型的特点 (1)无限性,即试验中所有可能出现的基本事件有无限多个; (2)等可能性,即每个基本事件发生的可能性相等.,辨析比较 几何概型与古典概型的异同 3.几何概型的概率公式 P(A)= 构成事件的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) .,理科数学 第十三章：概率,考点3 随机模拟（重点）,用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗方法.这种方法的基本步骤是:(1)用计算机或计算器产生某个范围内的随机数,并赋予每个随机数一定的意义;(2
5、)统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数的个数N;(3)计算频率fn(A)= 作为所求概率的近似值.,B考法帮题型全突破,考法1 求古典概型的概率 考法2 与长度、角度有关的几何概型 考法3 与面积(体积)有关的几何概型 考法4 随机模拟的应用,理科数学 第十三章：概率,考法1 求古典概型的概率,考法指导 1.古典概型的概率求解步骤: 2.基本事件个数的确定方法 (1)列举法:此法适合于基本事件个数较少的古典概型. (2)列表法:此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成坐标法.,理科数学 第十三章：概率,(3)树状图法:树状图是进行列举的一种常用方法,适用于有顺序的问题及较复杂问
6、题中基本事件数的探求. (4)运用排列组合知识计算.,示例1甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个,被乙、丙、丁三人抢完.若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是 A. 3 4 B. 1 3 C. 3 10 D. 2 5 思路分析 先写出“6元分成3份”所含的基本事件数,然后求出乙获得“手气最佳”所含的基本事件数,最后利用古典概型的概率公式即可得结果.,理科数学 第十三章：概率,解析用(x,y,z)表示乙、丙、丁抢到的红包分别为x元、y元、z元. 乙、丙、丁三人抢完6元钱的所有不同的可能结果有10种,分别为(1,1,4),(1,4,
7、1),(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2)( 按顺序列举，不重不漏) 乙获得“手气最佳”的所有不同的可能结果有4种,分别为(4,1,1),(3,1,2),(3,2,1), (2,2,2). 根据古典概型的概率计算公式,得乙获得“手气最佳”的概率P= 4 10 = 2 5 . 答案D,理科数学 第十三章：概率,示例2在1,2,3,4,5,6,7,8这组数据中,随机取出五个不同的数,则数字4是取出的五个不同数的中位数的概率为 A. 9 56 B. 9 28 C. 9 14 D. 5 9 思路分析 先求出“从八
8、个数字中取出五个数字”的种数,然后求出“数字4是取出的五个不同数的中位数”的种数,最后利用古典概型的概率公式即可得出结果.,理科数学 第十三章：概率,解析设事件A为“数字4是取出的五个不同数的中位数”. “从八个数字中取出五个数字”的种数为n= C 8 5 = C 8 3 =56. 对事件A,先考虑数字4在五个数的中间位置,再考虑分别从数字1,2,3和5,6,7,8中各取两个数字,则事件A包含的基本事件种数为m= C 3 2 C 4 2 =36=18. (特殊位置,优先考虑) 由古典概型的概率计算公式,得P(A)= = 18 56 = 9 28 . 答案B,理科数学 第十三章：概率,突破攻略列
9、举法是一种形象、直观的好方法,列举时需注意:(1)尽量按某一顺序,以做到不重复、不遗漏; (2)是否有顺序,有序和无序是有区别的,可以交换次序来看是否对结果造成影响,有影响即有序,无影响即无序;(3)是否允许重复,即是放回的还是不放回的,放回的取元素是允许重复的,不放回的取元素是不允许重复的.,理科数学 第十三章：概率,拓展变式1在甲、乙两个袋中分别装有编号为1,2,3,4,5,6的6个球,现从两个袋中分别摸1个球,则至少有1个球是编号为5或6的概率为() A. 1 9 B. 4 9 C. 5 9 D. 8 9 答案C 解析至少有1个球是编号为5或6的对立事件是没有编号为5和6的球.因为没有编
10、号为5和6的球的结果共有16种，而从甲、乙两个袋中分别摸1个球的结果共有36种，所以没有编号为5和6的球的概率P= 16 36 = 4 9 .所以至少有1个球是编号为5或6的概率为1- 4 9 = 5 9 .故选C.,理科数学 第十三章：概率,考法2 与长度、角度有关的几何概型,考法指导 求解与长度、角度有关的几何概型的方法 (1)设线段l是线段L的一部分,向线段L上任投一点,点落在线段l上的概率P= 的长度 的长度 . (2)当涉及射线的转动,如扇形中有关落点区域问题时,应以角的大小作为度量区域来计算概率. 要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).,
11、理科数学 第十三章：概率,示例3 在等腰直角三角形ABC中,直角顶点为C. (1)在斜边AB上任取一点M,求AMAC的概率; (2)在ACB的内部,以C为端点任作一条射线CM,与线段AB交于点M,求AMAC的概率. 思路分析,确定构成事件的区域,根据几何概型的概率计算公式求解,解析 (1)如图所示,在AB上取一点C,使AC=AC,连接CC. 由题意,知AB= 2 AC. 由于点M是在斜边AB上任取的,所以点M等可能分布在线段AB上,因 此基本事件的区域应是线段AB. 所以P(AMAC)= = 2 = 2 2 .( 区域为一维度，用长度比) (2)由于在ACB内以C为端点任作射线CM,所以CM等
12、可能分布在ACB内的任一位置(如图所示),因此基本事件的区域应是ACB,所以P(AMAC)= = 4 2 2 = 3 4 . ( 利用角度比求概率 ),理科数学 第十三章：概率,拓展变式2 在区间0,上随机取一个数x,使cos x的值介于- 3 2 与 3 2 之间的概率为（ ） A. 1 3 B. 2 3 C. 3 8 D. 5 8 答案B 解析cos x的值介于- 3 2 与 3 2 之间的区间长度为 5 6 6 = 2 3 .由几何概型概率计算公式，得P= 2 3 0 = 2 3 .故选B.,理科数学 第十三章：概率,考法3 与面积(体积)有关的几何概型,考法指导 1.求解与面积有关的几
13、何概型的策略 求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的面积,必要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到全部试验结果构成的平面图形,以便求解. 2.求解与体积有关的几何概型的策略 对于与体积有关的几何概型问题,关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间),对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件求解.,示例4 向圆C:(x-2)2+(y- 3 )2=4内随机投掷一点,则该点落在x轴下方的概率为. 思路分析 在平面直角坐标系中画出圆C,求出在x轴下方部分的面积,与圆C的面积求比值即得.,理科数学 第十三章：概率,解析如图,连接CA,CB.依题意,圆心C到x轴的距离
14、为 3 ,所以弦AB的长为2.又圆的半径为2,所以ACB=60,所以S圆C=22=4,所以S弓形ADB= 60 2 2 360 - 1 2 2 3 = 2 3 - 3 ,所以向圆C内随机投掷一点,则该点落在x轴下方的概率P= 3 2 3 4 = 1 6 - 3 4 .（区域为二维，用面积比）,理科数学 第十三章：概率,示例5 已知在四棱锥P-ABCD中, PA底面ABCD,底面ABCD是正方形, PA=AB=2,现在该四棱锥内部或表面任取一点O,则四棱锥O-ABCD的体积不小于 2 3 的概率为. 思路分析 画出草图,结合图形,利用体积比求四棱锥O-ABCD的体积不小于 2 3 的概率.,理科
15、数学 第十三章：概率,解析当四棱锥O-ABCD的体积为 2 3 时,设O到平面ABCD的距离为h,则 1 3 22h= 2 3 ,解得h= 1 2 . 如图所示,在四棱锥P-ABCD内作平面EFGH平行于底面ABCD,且平面EFGH与底面ABCD的距离为 1 2 . 因为PA底面ABCD,且PA=2,所以 = 3 4 , 所以四棱锥O-ABCD的体积不小于 2 3 的概率P= 四棱锥 四棱锥 =( )3=( 3 4 )3= 27 64 . ( 区域为三维，用体积比),理科数学 第十三章：概率,拓展变式3随机地取两个实数x和y,使得x-1,1,y0,1,则满足yx2的概率是 A. 1 3 B.
16、2 3 C. 1 4 D. 3 4,理科数学 第十三章：概率,答案B 解析满足x-1,1,y0,1的区域为矩形区域(包括边界),面积为2,满足yx2的区域的面积S= 1 1 (1-x2)dx= ( 1 3 3 ) 1 1 = 4 3 ,故所求概率P= 4 3 2 = 2 3 .故选B.,考法4 随机模拟的应用,考法指导 利用随机模拟试验可以近似计算不规则图形A的面积,解题的依据是根据随机模拟估计概率P(A)= 随机取的点落在中的频数 随机取点的总次数 ,然后根据P(A)= 构成事件的区域面积 随机取点的全部结果构成的区域面积 列等式求A的面积.为了方便解题,我们常常设计出一个规则的图形(面积为
17、定值)来表示随机取点的全部结果构成的区域.,示例6 如图,矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落在椭圆外的黄豆为96颗,以此试验数据为依据估计椭圆的面积为 A.7.68B.8.68C.16.32D.17.32 思路分析利用 落在椭圆内的黄豆数 落在矩形内的黄豆数 = 椭圆的面积 矩形的面积 求解.,理科数学 第十三章：概率,解析 由随机模拟的思想方法,可得黄豆落在椭圆内的概率为 30096 300 =0.68.由几何概型的概率计算公式,可得 椭圆 矩形 =0.68,而S矩形=64=24,则S椭圆= 0.6824=16.32. 答案 C,理科数学 第十三章：概率,拓展变式4 若
18、采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出0到9之间取整数的随机数,指定0,1,2,3表示没有击中目标,4,5,6,7,8,9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组如下的随机数: 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为. 答案 0.4 解析 根据数据得该运动员射击4次至少击中3次的数据分别为7527 9857 8636 69
19、47 4698 8045 9597 7424，所以该运动员射击4次至少击中3次的概率为 8 20 =0.4.,理科数学 第十三章：概率,C方法帮素养大提升,易混易错,理科数学 第十三章：概率,易错 几何概型中“区域”选取不准致误 示例7 (1)在长为1的线段上任取两点,则这两点之间的距离小于 1 2 的概率为; (2)在等腰直角三角形ABC中,C=90,在直角边BC上任取一点M,则CAM30的概率是.,易混易错,解析 (1)设任取两点所表示的数分别为x,y,则0 x1, 且0y1,如图,则总事件所占的面积为1. 记这两点之间的距离小于 1 2 为事件A,则A=(x,y)|x-y| 1 2 ,0 x1,0y1,如图中阴影部分所示,阴影部分所占的面积为2 1 2 1 2 1 2 = 1 4 ,所以所求两点之间的距离小于 1 2 的概率P(A)= 1 1 4 1 = 3 4 .（注意几何区域是面积而非长度） (2)因为点M在直角边BC上是等可能出现的,所以“区域”是长度.设BC=a,则所求概率P= 3 3 = 3 3 .(注意几何区域是长度而非角度),理科数学 第十三章：概率,温馨提醒 (1)在线段上取点,则点在线段上等可能出现;在角内作射线,则射线在角内的分布等可能.(2)两个变量在某个范围内取值,对应的“区域”是面积.,理科数学 第十三章：概率,