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1、因式分解一、概述定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。分解因式与整式乘法互为逆变形。 二、因式分解的方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介
2、绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3 +x=-x(3x-1)） 基本方法1】提取公因式 这种方法比较常规、简单，必须掌握。有时提公因式后再用公式法。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等例1： 2-3x解： =x(2x-3)针对性练习：提公因式法1.用提取公因式法分解因式正确的是（ ）A.12abc9a2b2=3abc(43ab) B.3x2y3xy+6y=3
3、y(x2x+2y)C.a2+abac=a(ab+c) D.x2y+5xyy=y(x2+5x)2.下列多项式中,能用提公因式法分解因式的是( )A.x2-y B.x2+2x C.x2+y2 D.x2-xy+y23.如果ba=6，ab=7，那么a2bab2的值是( )A.42 B.42 C.13 D.134.将下面各式进行因式分解(1) (2) (3) ma2-4ma+4a (4) -28y4-21y3+7y2 5.已知2xy=，xy=2，求2x4y3x3y4的值.6.已知(4x-2y-1)2+=0，求4x2y-4x2y2-2xy2的值.【随堂练习】1、分解因式： 2、分解因式： ；3.分解因式：
4、 2】公式法将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等。注意：使用公式法前，建议先提取公因式。例2：-4分解因式分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2解：原式=(x+2)(x-2)【随堂练习】1、下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）ABCD2.分解因式：3. 分解因式： 针对性练习：一、平方差公式：1.填空2.将下列各式因式分解(1) (2) (3) (4) (5) (6) 二完全平方公式： 1、下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是( )A、x2+xy+y2 B、x22x1 C、-x2
5、-2x-1 D、x2+4y22、多项式4a2+ma+25是完全平方式，那么m的值是( )A.10B.20 C.20D.203、x2+2xyy2的一个因式是xy，则另一个因式是_.4、若x2+2(a+4)x+25是完全平方式，则a的值是_.5将下列更是进行因式分解(1) x2+6ax+9a2 (2) （3） (4) 2x3y216x2y+32x； (5) 3ax2+6axy+3ay2; (6)(7) (8) 【课后练习】1、将下列各式进行因式分解：(1)x3y-2xy3； (2)(5a2-2b2)2-（2a2-5b2）2。2、将下列各式因式分解：（1）1-16x2； (2)25x2y2-49a2
6、； (3)-x4+y2。3、把下列各式进行因式分解：(1)(3x+2y)2-（x-y）2； (2)-(x+2)2+16(x-1)2。4、因式分解4b2-4ab+a2正确的是（ ）A4b(b-a)+a2 B(2b-a)2 C(2b-a)(2b-a) D(2b+a)2 5、已知xy=1，xy=2，求x3y2x2y2+xy3的值.因式分解识点1：分解因式的定义1分解因式：把一个多项式化成几个整式的乘的积，这种变形叫做分解因式，它与整式的乘法互为逆运算。如： 判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式： （ ） （ ） （ ） （ ）知识点2：公因式公因式的定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这
7、个多项式各项的公因式。公因式的确定：（1）符号: 若第一项是负号则先把负号提出来（提出负号后括号里每一项都要变号）（2）系数：取系数的最大公约数；（3）字母：取字母（或多项式）的指数最低的；（4）所有这些因式的乘积即为公因式；例如：1. _2. 多项式分解因式时，应提取的公因式是（ ）ABCD3. 的公因式是_知识点3：用提公因式法分解因式提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。例如：1. 可以直接提公因式的类型： （1）=_；（2）=_ （3）=_ （4）解方程组，求代数式的值2.式子
8、的第一项为负号的类型：（1） =_ _ =_ _（2）=_ _ 练习：1多项式:的一个因式是,那么另一个因式是( ) C D.2.分解因式5(yx)310y(yx)33. 公因式只相差符号的类型：公因式相差符号的，要先确定取哪个因式为公因式，然后把另外的只相差符号的因式的负号提出来，使其统一于之前确定的那个公因式。（若同时含奇数次和偶数次则一般直接调换偶数次里面的字母的位置，如 例：( 1)（ba）2+a（ab）+b（ba） ( 2)（a+bc）（ab+c）+（ba+c）（bac）（3）练习：1把多项式m2(a-2)+m(2-a)分解因式等于（ ）(A)(a-2)(m2+m) (B)(a-2)
9、(m2-m) (C)m(a-2)(m-1) (D)m(a-2)(m+1)2多项式的分解因式结果（ ）A B C D3分解因式：（1）_) （2）6(xy)43y(yx)5知识点4公式法分解因式公式法分解因式：如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。一、平方差公式分解因式法 平方差公式：两个数的平方差，等于这两个的和与这两个数的差的积。即a2-b2=(a+b)(a-b)特点：a.是一个二项式，每项都可以化成整式的平方. b.两项的符号相反.例如：1、判断能否用平方差公式的类型（1）下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）(A)-a2+b2 (B)
10、-x2-y2 (C)49x2y2-z2 (D)16m4-25n2p2（2）下列各式中，能用平方差分解因式的是（ ）A B C D2、直接用平方差的类型（1） （2） （3） 3、整体的类型：（1） （2）4、提公因式法和平方差公式结合运用的类型(1)m34m= (2) 练习：将下列各式分解因式（1） (2)100x281y2；(3)9(ab)2(xy)2；（4） （5） （6）二、完全平方式分解因式法完全平方公式：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。即 a2+2ab+b2=(a+b)2 ; a2-2ab+b2=(a-b)2特点：（1）多项式是三项式
11、；（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍.1、判断一个多项式是否可用完全平方公式进行因式分解如：下列多项式能分解因式的是（ ）A B C D2、关于求式子中的未知数的问题如：1若多项式是完全平方式，则k的值为（ ）A4 B4 C8 D42若是关于x的完全平方式，则k= 3.若是关于x的完全平方式则m=_3、直接用完全平方公式分解因式的类型 (1)； (2)； (3)； (4)4、整体用完全平方式的类型(1)(x2)212(x2)36； （2） 5、用提公因式法和完全平方公式分解因式的类型 (1)-4x3+16x2-16x； (2)ax
12、2y2+2axy+2a（3）已知：，求的值练习：分解因式（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 知识点5、十字相乘法分解因式十字相乘法分解因式：逆用整式的乘法公式：（x+a）（x+b） =，用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做十字相乘法。如:分解因式：(1) (2) (3) a2+6ab+5 b2 (4) x2+5x+6 (5) x2-5x+6 (6) x2-5x-6 练习： (1) x2+7x+12 (2) x2-8x+12 (3) x2-x-12 (4) x2+4x-12(5) y2+23y+22 (6) x2-8x-20 (7) x2+9x y-36 y2 知识点6、分组的方法分解因式如(1) (2) 练习：（1） （2） （3）（4） （5）9 / 99 / 9