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1、第五讲空间角与距离、空间向量及应用,【高考帮理科数学】第八章：立体几何,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,考纲解读,命题规律,命题分析预测,考点1空间直角坐标系 考点2空间向量的有关定理及运算 考点3利用空间向量解决立体几何问题,考法1 利用向量法证明平行问题 考法2 利用向量法证明垂直问题 考法3 求线面角 考法4 求二面角 考法5 求空间距离 考法6 立体几何中的探索性问题,B考法帮题型全突破,理科数学 第八章：立体几何,考情精解读,考纲解读 命题规律 命题分析预测,理科数学 第八章：立体几何,1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置. 2.会推导空间两点
2、间的距离公式. 3.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 6.理解直线的方向向量与平面的法向量.,考纲解读,7.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. 8.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理). 9.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.,考纲解读,命题规律,理科数学 第八章：立体几何,续表,1
3、.分析预测从近五年的考查情况来看,利用向量法求空间角和空间距离是高考的重点,考查频率较高,线、面的平行和垂直问题一般不用向量法求解,但向量法的使用有时可以加快求解速度,主要以解答题的形式出现,难度中等. 2.学科素养本讲主要考查考生的直观想象能力、数学运算能力、逻辑推理能力,以及转化与化归思想的应用.,命题分析预测,A考点帮知识全通关,考点1空间直角坐标系 考点2空间向量的有关定理及运算 考点3利用空间向量解决立体几何问题,理科数学 第八章：立体几何,考点1空间直角坐标系,1.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这
4、个坐标系为右手直角坐标系(如图所示). 2.点的坐标表示 在空间直角坐标系中,任何一个点的坐标都可以用三个实数组成的有序实数组表示,这三个实数分别是点在x轴,y轴,z轴上的坐标.,考点2空间向量的有关定理及运算（重点）,1.共线向量定理 对空间任意两个向量a,b(b0),共线向量定理可以分解为两个命题:ab存在唯一实数,使a=b;若存在唯一实数,使a=b,则ab.其中命题是空间向量共线的判定定理. 2.共面向量定理 如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb. 推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,
5、y),使, =x +y ;或对空间任意一点O,有 = +x +y , 该式称为空间平面ABC的向量表示式. 3.空间向量基本定理 如果三个向量a,b,c不共面,那么所有空间向量组成的集合就是p|p=xa+yb+zc,x,y,zR.这个集合可看作由向量a,b,c生成,把a,b,c叫作空间的一个基底,a,b,c都叫作基向量.,理科数学 第八章：立体几何,注意 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底. (2)由于0与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,故0不能作为基向量. (3)基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示. 4.空间向量的运算 (1)空间向量的加法、减法、数
6、乘及数量积运算都可类比平面向量. (2)空间向量的坐标运算. 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则,理科数学 第八章：立体几何,ab=(a1b1,a2b2,a3b3); a=(a1,a2,a3)(R); ab=a1b1+a2b2+a3b3; aba=b(b0)a1=b1,a2=b2,a3=b3(R); abab=0a1b1+a2b2+a3b3=0; |a|= = 1 2 + 2 2 + 3 2 ; cos= | = 1 1 + 2 2 + 3 3 1 2 + 2 2 + 3 2 1 2 + 2 2 + 3 2 .,理科数学 第八章：立体几何,(3)在空间直角坐标系中,已知
7、点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则A,B两点间的距离dAB=| |= ( 2 1 ) 2 +( 2 1 ) 2 +( 2 1 ) 2 .,理科数学 第八章：立体几何,考点3利用空间向量解决立体几何问题（重点）,1.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的非零向量,显然一条直线的方向向量可以有无数个.,说明 (1)通常取直线上的两个特殊点构成直线的方向向量;当直线平行于x轴,y轴或z轴时,直线的方向向量可分别取i=(1,0,0), j=(0,1,0),k=(0,0,1). (2)平面法向量的求法. 一个平面的法向量是与平面垂直的向量,有
8、无数多个,任意两个都是共线向量.,若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解,一般步骤如下: (i)设平面的法向量为n=(x,y,z); (ii)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2); (iii)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组 =0, =0; (iv)解方程组,取其中的一组解,即得法向量.,理科数学 第八章：立体几何,注意 求平面的法向量时,建立的方程组有无数组解,利用赋值法,只要给x,y,z中的一个变量赋一特殊值(常赋值-1,0,1),即可确定一个法向量,赋值不同,所求法向量不同,但n=(
9、0,0,0)不能作为法向量.,理科数学 第八章：立体几何,2.利用空间向量表示立体几何中的平行、垂直、夹角、距离 (1)用向量表示立体几何中的平行、垂直关系,理科数学 第八章：立体几何,(2)空间角,理科数学 第八章：立体几何,(3)空间距离,思维拓展 用空间向量解决立体几何问题的步骤如下: (1)建系:根据题中的几何图形的特征建立适当的空间直角坐标系; (2)定坐标:确定点的坐标进而求出有关向量的坐标; (3)向量运算:进行相关的空间向量的运算; (4)翻译:将向量中的语言“翻译”成相应的立体几何中的语言,完成几何问题的求解.,理科数学 第八章：立体几何,B考法帮题型全突破,考法1 利用向量
10、法证明平行问题 考法2 利用向量法证明垂直问题 考法3 求线面角 考法4 求二面角 考法5 求空间距离 考法6 立体几何中的探索性问题,理科数学 第八章：立体几何,考法1 利用向量法证明平行问题,考法指导 1.证明线线平行:证明两条直线的方向向量共线. 2.证明线面平行:(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直; (2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行; (3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示. 3.证明面面平行:(1)证明两个平面的法向量平行;(2)转化为线线平行、线面平行问题.,注意 用向量法证明平行问题时,要注意解题的规范性.如证明线面平
11、行时,仍需要说明一条直线在平面内,另一条直线在平面外.,示例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点.求证:MN平面A1BD.,理科数学 第八章：立体几何,思路分析,建立空间直角坐标系,求出平面A1BD的法向量,证 与法向量垂直,线面平行,理科数学 第八章：立体几何,解析如图所示,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1,则M(0,1, 1 2 ),N( 1 2 ,1,1),D(0,0,0),A1(1, 0,1),B(1,1,0),于是 =( 1 2 ,0, 1 2 ), 1 =(1,0,1),
12、=(1,1,0). 设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z), 则n 1 =0,且n =0,得 +=0, +=0,理科数学 第八章：立体几何,取x=1,得y=-1,z=-1,所以n=(1,-1,-1). 又 n=( 1 2 ,0, 1 2 )(1,-1,-1)=0, 所以 n.又MN平面A1BD, 所以MN平面A1BD.,点评 本题证明线面平行,只需建立空间直角坐标系,求出已知平面的法向量,证明已知直线的方向向量与法向量垂直即可,注意说明 MN平面A1BD.,拓展变式1如图1所示,平面PAD平面ABCD,ABCD为正方形,PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,
13、CD的中点.求证:PB 平面EFG.,理科数学 第八章：立体几何,解析 因为平面PAD平面ABCD且ABCD为正方形,所以AB,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,建立如图2所示的空间直角坐标系A-xyz,图1,图2,理科数学 第八章：立体几何,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0). 所以 =(2,0,-2), =(0,-1,0), =(1,1,-1). 设 =s +t ,即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1), 所以 =2, =0, =2, 解得s=t=2. 所以
14、=2 +2 . 又 与 不共线,所以 , 与 共面. 因为PB平面EFG,所以PB平面EFG.,考法2 利用向量法证明垂直问题,考法指导 1.证明线线垂直:证明两直线的方向向量垂直,即证它们的数量积为零. 2.证明线面垂直: (1)证明直线的方向向量与平面的法向量共线; (2)证明直线与平面内的两条相交直线的方向向量垂直; (3)证明直线的方向向量与平面内的任一条直线的方向向量垂直. 3.证明面面垂直: (1)其中一个平面与另一个平面的法向量平行; (2)两个平面的法向量垂直.,示例2 正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1平面A1BD.,理科数学 第八章
15、：立体几何,思路分析,线面平行,解析如图所示,取BC的中点O,连接AO. 因为ABC为正三角形,所以AOBC. 因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC平面BCC1B1, 所以AO平面BCC1B1. 取B1C1的中点O1,以O为原点,以 , 1 , 为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示,则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2, 3 ),A(0,0, 3 ),B1(1,2,0). 1 =(-1,2, 3 ), =(-2,1,0).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),因为n 1 ,n ,理科数学 第八章：立体几何,故 1 =0, =0 +2+ 3 =
16、0, 2+=0. 令x=1,得y=2,z=- 3 , 故n=(1,2,- 3 )为平面A1BD的一个法向量. 而 1 =(1,2,- 3 ),所以 1 n. 故AB1平面A1BD.,理科数学 第八章：立体几何,拓展变式2如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面AA1C1C和平面AA1B1B都是正方形且互相垂直,M为AA1的中点,N为BC1的中点. 求证:(1)MN平面A1B1C1; (2)平面MBC1平面BB1C1C.,理科数学 第八章：立体几何,解析 由题意知,AA1,AB,AC两两垂直,则以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.设AA1=2,则A(0,0,0),A1(2,0,
17、0),B(0,2,0),B1(2,2,0),C(0,0,2), C1(2,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1). (1)因为AA1A1B1,AA1A1C1, 又A1B1A1C1=A1,所以AA1平面A1B1C1. 因为 =(0,1,1), 1 =(2,0,0),所以 1 =0,即MNAA1. 因为MN平面A1B1C1,故MN平面A1B1C1.,理科数学 第八章：立体几何,(2)设平面MBC1与平面BB1C1C的法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2).因为 =(-1,2,0), 1 =(1,0,2), 所以 =0, 1 1 =0 1 2 1 =0, 1 +2
18、1 =0, 令x1=2,则n1=(2,1,-1). 同理可得n2=(0,1,1). 因为n1n2=20+11+(-1)1=0,所以平面MBC1平面BB1C1C.,理科数学 第八章：立体几何,考法3 求线面角,考法指导 求直线与平面所成角的方法 (1)定义法:作,在斜线上选取恰当的点向平面引垂线,在这一步上确定垂足的位置是关键; 证,证明所作的角为直线与平面所成的角,其证明的主要依据是直线与平面所成角的概念; 求,构造角所在的三角形,利用解三角形的知识求角.,(2)公式法:sin = (其中h为斜线上除斜足外的任一点到所给平面的距离,l为该点到斜足的距离,为斜线与平面所成的角). (3)向量法:
19、sin =|cos|= | | | | (其中AB为平面的斜线,n为平面的法向量,为斜线AB与平面所成的角).,理科数学 第八章：立体几何,示例3 2016四川,18,12分理 如图,在四棱锥P-ABCD中,ADBC, ADC=PAB=90,BC=CD= 1 2 AD.E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90. ()在平面PAB内找一点M,使得直线CM平面PBE,并说明理由; ()若二面角P-CD-A的大小为45,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.,理科数学 第八章：立体几何,理科数学 第八章：立体几何,思路分析 ()由梯形ABCD的性质,得DCBE,则DC平面PBE,从而AB与
20、DC延长线的交点即为所求;()可以用传统法求解,也可以建立空间直角坐标系,利用空间向量进行求解.,解析()在梯形ABCD中,AB与CD不平行. 如图1,延长AB,DC,相交于点M(M平面PAB),点M为所求的一个点.理由如下: 由已知,BCED,且BC=ED. 所以四边形BCDE是平行四边形. 从而CMEB. 又EB平面PBE,CM平面PBE,所以CM平面PBE. ()解法一由已知,CDPA,CDAD,PAAD=A, 所以CD平面PAD.,理科数学 第八章：立体几何,图1,又PD平面PAD,从而CDPD. 所以PDA是二面角P-CD-A的平面角. 所以PDA=45. 设BC=1,则在RtPAD
21、中,PA=AD=2. 过点A作AHCE,交CE的延长线于点H,连接PH,如图1. 易知PA平面ABCD,从而PACE. 于是CE平面PAH. 所以平面PCE平面PAH. 过A作AQPH于Q,如图1,则AQ平面PCE.,理科数学 第八章：立体几何,所以APH是PA与平面PCE所成的角. 在RtAEH中,AEH=45,AE=1, 所以AH= 2 2 . 在RtPAH中,PH= 2 + 2 = 3 2 2 , 所以sinAPH= = 1 3 . 解法二由已知,CDPA,CDAD,PAAD=A, 所以CD平面PAD.,理科数学 第八章：立体几何,于是CDPD. 从而PDA是二面角P-CD-A的平面角.
22、 所以PDA=45. 由PAAB,可得PA平面ABCD. 设BC=1,则在RtPAD中,PA=AD=2. 作AyAD,以A为原点,以 , 的方向分别为x轴,z轴的正方向,建立如图2所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0), 所以 =(1,0,-2), =(1,1,0), =(0,0,2), 设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),理科数学 第八章：立体几何,图2,由 =0, =0, 得 2=0, +=0, 设x=2,解得n=(2,-2,1). 设直线PA与平面PCE所成角为, 则sin = | | | | = 2 2 2 +(2
23、 ) 2 + 1 2 2 = 1 3 . 所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为 1 3 .,理科数学 第八章：立体几何,考法4 求二面角,考法指导 求二面角的方法 (1)定义法:在二面角的棱上找一特殊点,过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,如图1 (1),AOB为二面角-l-的平面角; (2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面的交线所形成的角即二面角的平面角,如图 1(2),AOB为二面角-l-的平面角; (3)垂线法(三垂线定理法):过二面角的一个半平面内一点作另一个半平面所在平面的垂线,从垂足出发向棱引垂线,利用三垂线定理(线面垂直的性质)即,可找到所求
24、二面角的平面角或其补角,如图1(3),AOB为二面角-l-的平面角;,图1,(4)利用射影面积公式:cos = 射 原 ,该法主要用来解决无棱二面角大小的计算,关键在于找出其中一个半平面内的多边形在另一个半平面内的射影;,理科数学 第八章：立体几何,(5)向量法:利用公式cos= | | 2 | (n1,n2分别为两平面的法向量)进行求解,注意与二面角大小的关系,是相等还是互补,需结合图形进行判断. 如图2(2)(4)中就是二面角-l-的平面角的补角;如图2(1)(3)中就是二面角-l-的平面角.,图2,理科数学 第八章：立体几何,示例4 2017山东,17,12分理如图,几何体是圆柱的一部分
25、,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的,G是 的中点. ()设P是 上的一点,且APBE,求CBP的大小; ()当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小.,理科数学 第八章：立体几何,理科数学 第八章：立体几何,思路分析 ()结合线面垂直的判定和性质得到BEBP,进而可得到所求的角;()由于EAG和CAG为两个全等的等腰三角形,因此可在两个三角形中作AG的高线,交于一点M,由二面角的平面角的定义可找到所求二面角的平面角,也可利用向量法求二面角.,解析()因为APBE,ABBE, AB,AP平面ABP,ABAP=A, 所以BE平面ABP, 又BP平面A
26、BP, 所以BEBP,又EBC=120, 因此CBP=30. ()解法一取 的中点H,连接EH,GH,CH,如图. 因为EBC=120, 所以四边形BEHC为菱形,理科数学 第八章：立体几何,所以AE=GE=AC=GC= 3 2 + 2 2 = 13 . 取AG中点M,连接EM,CM,EC,如图8-5-15,则EMAG,CMAG, 所以EMC为所求二面角的平面角. 又AM=1,所以EM=CM= 131 =2 3 . 在BEC中,由于EBC=120, 由余弦定理得EC2=22+22-222cos 120=12, 所以EC=2 3 , 因此EMC为等边三角形,故所求的角为60.,理科数学 第八章：
27、立体几何,解法二以B为坐标原点,分别以BE,BP,BA所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意得A(0,0,3),E(2,0,0),G(1, 3 ,3),C(-1, 3 ,0),故 =(2,0, -3), =(1, 3 ,0), =(2,0,3), 设m=(x1,y1,z1)是平面AEG的法向量. 由 =0, =0, 可得 2 1 3 1 =0, 1 + 3 1 =0. 取z1=2,可得平面AEG的一个法向量m=(3,- 3 ,2).,理科数学 第八章：立体几何,设n=(x2,y2,z2)是平面ACG的法向量. 由 =0, =0, 可得 2 + 3 2 =0, 2 2
28、+3 2 =0. 取z2=-2,可得平面ACG的一个法向量n=(3,- 3 ,-2). 所以cos= | = 1 2 . 因此所求的角为60.,理科数学 第八章：立体几何,突破攻略用向量法求夹角时需注意线线角、线面角的范围是0, 2 ,向量的夹角范围是0,二面角的范围是0,.,理科数学 第八章：立体几何,拓展变式3如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面是直角梯形,ABC=90,且PA=AB=BC= 1 2 AD=1. (1)求PB与CD所成的角; (2)求直线PD与平面PAC所成的角的余弦值.,理科数学 第八章：立体几何,解析 由题意,可建立如图所示的空间直角坐标系. 因为P
29、A=AB=BC= 1 2 AD=1, 所以A(0,0,0),P(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0). (1) =(1,0,-1), =(-1,1,0). 设PB与CD所成的角为,所以cos =|cos|= |1+0+0| 2 2 = 1 2 , 所以PB与CD所成的角为60.,理科数学 第八章：立体几何,(2) =(0,2,-1), =(0,0,1), =(1,1,0). 设m=(x,y,z)是平面PAC的法向量,则 =0, =0 =0, +=0 =0, =, 取x=1,则m=(1,-1,0).设直线PD与平面PAC所成的角为, 所以sin =|cos|= |
30、| | | = 2 5 2 = 10 5 ,因为0, 2 ,所以cos = 15 5 . 故直线PD与平面PAC所成的角的余弦值为 15 5 .,理科数学 第八章：立体几何,考法5 求空间距离,考法指导 求空间距离常用的方法 (1)直接法:利用线线垂直、线面垂直、面面垂直等性质定理与判定定理,作出垂线段,再通过解三角形求出距离. (2)间接法:利用等体积法、特殊值法等转化求解. (3)向量法:空间中的距离问题一般都可转化为点到平面的距离问题进行求解. 求点P到平面的距离的三个步骤:,在平面内取一点A,确定向量 的坐标; 确定平面的法向量n;代入公式d= | | | 求解.,示例5如图,在直四棱
31、柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,ABCD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,F,G分别是棱A1B1,AB,A1D1的中点. (1)求证:GE平面FCC1; (2)求点A1到平面BFC1的距离; (3)求直线CD到平面BFC1的距离.,理科数学 第八章：立体几何,理科数学 第八章：立体几何,思路分析 根据已知条件建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标,则第(1)问只需求出平面FCC1的法向量,然后验证直线GE的方向向量与平面FCC1的法向量共线即可;第(2)问可先求出平面BFC1的法向量,然后由向量数量积的几何意义即可求解点A1到平面BFC1的距离;第(3)问先根据
32、直线CD与平面BFC1的位置关系,将所求距离转化为点到平面的距离,即可利用第(2)问的方法求解.,解析因为AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中点,ABCD为等腰梯形, 所以易得BF=BC=CF,即BCF为正三角形, 所以BAD=ABC=60,取AF的中点M, 连接DM,则DMAB,所以DMCD. 故以D为坐标原点,以DM,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,理科数学 第八章：立体几何,则D(0,0,0),A( 3 ,-1,0),F( 3 ,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E( 3 ,1,2), G( 3 2 ,- 1 2 ,2),B( 3
33、 ,3,0). 所以 =( 3 ,-1,0), 1 =(0,0,2), 1 =(- 3 ,1,2). (1)设平面FCC1的法向量为n=(x,y,z),则 =0, 1 =0, 即 3 =0, 2=0, 取n=(1, 3 ,0).,理科数学 第八章：立体几何,因为 =( 3 2 , 3 2 ,0),则 = 3 2 n, 所以 n,所以GE平面FCC1. (2) =(0,2,0),设平面BFC1的法向量为m=(x1,y1,z1),则 =0, 1 =0, 即 2 1 =0, 3 1 + 1 +2 1 =0, 取m=(2,0, 3 ). 因为A1( 3 ,-1,2),所以 1 =(0,2,-2),理科
34、数学 第八章：立体几何,所以点A1到平面BFC1的距离d= | 1 | | = |02+20+(2) 3 | 2 2 + 0 2 +( 3 ) 2 = 2 21 7 . (3)因为CDAB,CD平面BFC1,AB平面BFC1, 所以CD平面BFC1. 又DCD,所以点D到平面BFC1的距离等于直线CD到平面BFC1的距离. 由(2)可知,平面BFC1的一个法向量为m=(2,0, 3 ). 又 =( 3 ,1,0),理科数学 第八章：立体几何,所以点D到平面BFC1的距离d= | | | = |2 3 +01+ 3 0| 2 2 + 0 2 +( 3 ) 2 = 2 21 7 . 所以直线CD到
35、平面BFC1的距离为 2 21 7 .,理科数学 第八章：立体几何,拓展变式4如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动. (1)证明:D1EA1D; (2)当E为AB的中点时,求点E到平面ACD1的距离.,理科数学 第八章：立体几何,解析 以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设AE=x,则D(0,0,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0), C(0,2,0). (1) 1 =(1,x,-1), 1 =(-1,0,-1),因为 1 1 =0,所以D1
36、EA1D. (2)因为E为AB的中点,则E(1,1,0),从而 1 =(1,1,-1), =(-1,2,0), 1 =(-1,0,1), 设平面ACD1的法向量为n=(a,b,c),则 =0, 1 =0,理科数学 第八章：立体几何,即 +2=0, +=0, 得 =2, =, 从而可取n=(2,1,2),所以点E到平面ACD1的距离h= | 1 | | = |2+12| 3 = 1 3 .,理科数学 第八章：立体几何,考法6 立体几何中的探索性问题,考法指导 1.条件追溯型 解决此类问题的基本策略是执果索因.其结论明确,需要求出使结论成立的充分条件,可将题设和结论都视为已知条件,即可迅速找到切入
37、点. 2.存在判断型 解决此类问题的策略:通常假设题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下进行逻辑推理,若能推导出与条件吻合的数据或事实,则说明假设成立,即存在;若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论,则说明假设不成立,即不存在.,3.结论探索型 解决此类问题的策略:先把题目读懂,全面、准确地把握题目所提供的所有信息和题目提出的所有要求,分析题目的整体结构,找好解题的切入点,对解题的主要过程有一个初步的设计,在此基础上建立空间直角坐标系,把所求的问题转化为空间几何体中的证明线面位置关系、角与最值等问题.,理科数学 第八章：立体几何,示例6如图所示,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD
38、平面ABCD,NB平面ABCD,且MD=NB=1,E为BC的中点. (1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值; (2)在线段AN上是否存在点S,使得ES平面AMN?若存在,求线段AS的长;若不存在,请说明理由.,理科数学 第八章：立体几何,思路分析,建立空间直角坐标系,求出 和 ,求出 和 的夹角的余弦值的绝对值,得出异面直线NE与 AM所成角的余弦值,(1),(2),假设存在,得出关于变量的方程,求出的值,验证得出结论,理科数学 第八章：立体几何,解析(1)如图所示,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系D-xyz. 依题意得D(0,0,0),A(1,0,0),M(0,0,1),C(0,1,0)
39、,B(1,1,0), N(1,1,1),E( 1 2 ,1,0),所以 =(- 1 2 ,0,-1), =(-1,0,1), 因为|cos|= | | | | | = 1 2 5 2 2 = 10 10 . 所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为 10 10 . (2)假设在线段AN上存在点S,使得ES平面AMN.连接AE,如图所示.,理科数学 第八章：立体几何,因为 =(0,1,1),可设 = =(0,),又 =( 1 2 ,-1,0), 所以 = + =( 1 2 ,-1,).由ES平面AMN, 得 =0, =0, 即 1 2 +=0, (1)+=0, 解得= 1 2 ,此时 =(0, 1 2 , 1 2 ),| |= 2 2 . 经检验,当|AS|= 2 2 时,ES平面AMN. 故线段AN上存在点S,使得ES平面AMN,此时|AS|= 2 2 .,理科数学 第八章：立体几何,