《高考理科数学一轮复习：第6章（1）数列的概念与简单表示法ppt课件（含答案）.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考理科数学一轮复习：第6章（1）数列的概念与简单表示法ppt课件（含答案）.pptx（53页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第一讲 数列的概念与简单表示法,【高考帮理科数学】第六章：数 列,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,考纲要求,命题规律,命题分析预测,考点1 数列的通项公式,考点2 数列的函数特性,考点3 数列的前n项和与通项的关系,考法1 利用an与Sn的关系求通项公式,考法2 数列的单调性及其应用,考法3 利用递推关系求数列的通项公式,B考法帮题型全突破,理科数学 第六章：数列,考情精解读,考纲要求 命题规律 命题分析预测,理科数学 第六章：数列,考纲要求,1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类函数,命题规律,1.分析预测
2、 本讲是高考的热点,主要考查: (1)由数列的递推关系求通项公式, (2)由an与Sn的关系求通项公式, (3)利用数列的函数性质求最值等,主要以填空题、解答题的形式呈现,难度有所下降. 2.学科素养 本讲主要考查考生的数学运算能力和逻辑推理能力.,命题分析预测,A考点帮知识全通关,考点1 数列的通项公式,考点2 数列的函数特性,考点3 数列的前n项和与通项的关系,理科数学 第六章：数列,考点1 数列的通项公式(重点),1.通项公式 如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫作这个数列的通项公式,即an=f(n)(nN*).数列的通项公式就是相应函数的解析式.
3、注意 (1)并不是所有的数列都有通项公式; (2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一; (3)对于一个数列,如果只知道它的前几项,而没有指出它的变化规律,是不能确定这个数列的.,理科数学 第六章：数列,2.递推公式 如果已知数列an的第一项(或前几项),且任一项an(n2)与它的前一项 an-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,如an=f(an-1)(或an=f(an-1,an-2)等,那么这个式子就叫作这个数列的递推公式.,辨析比较,理科数学 第六章：数列,考点2 数列的函数特性(重点),1.数列与函数的关系 数列可以看成一类特殊的函数an=f(n),它的定义域是正整数集N*或正整
4、数集N*的有限子集1,2,3,4,n,所以它的图象是一系列孤立的点,而不是连续的曲线.,理科数学 第六章：数列,2.数列的单调性,考点3 数列的前n项和与通项的关系(重点),1. an与Sn的关系 若数列an的前n项和为Sn,则an= 1 (=1), 1 (2). 2.已知Sn求an时应注意的问题 (1)应重视分类讨论思想的应用,分n=1和n2两种情况讨论, 特别注意an=Sn-Sn-1中需n2.,理科数学 第六章：数列,(2)由Sn-Sn-1=an推得an,当n=1时,a1也适合“an式”,则需统一“合写”;当n=1时, a1不适合“an式”,则数列的通项公式应分段表示(“分写”),即an=
5、 1 (=1), 1 (2).,B考法帮题型全突破,考法1 利用an与 的关系求通项公式 考法2 数列的单调性及其应用 考法3 利用递推关系求数列的通项公式,考法1 利用an与 的关系求通项公式,考法指导 已知Sn求an的一般步骤 (1)先利用a1=S1求出a1; (2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n2)便可求出当n2时an的表达式; (3)对a1进行检验,看是否符合n2时an的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n=1与n2两段来写.,理科数学 第六章：数列,示例1 已知数列an的前n项和为Sn,且满足a1=1, nSn+1
6、-(n+1)Sn= (+1) 2 (nN*). (1)求a2的值; (2)求数列an的通项公式. 思路分析 (1)把n=1代入式子nSn+1-(n+1)Sn= (+1) 2 中,求出 S2,即可求出a2的值; (2)对式子nSn+1-(n+1)Sn= (+1) 2 进行变形,得 +1 +1 - = 1 2 ,利用等差数列的通项公式,求出Sn,再利用an= 1 ,=1, 1 ,2 求出数列an的通项公式.,理科数学 第六章：数列,解析 (1)因为a1=1, nSn+1-(n+1)Sn= (+1) 2 , 把n=1代入上式得,S2-2S1= 12 2 =1. 所以S2=1+2S1=1+2a1=3.
7、 所以a2=S2-a1=2. (2)由nSn+1-(n+1)Sn= (+1) 2 , 得 +1 +1 - = 1 2 . 所以数列 是首项为 1 1 =1, 公差为 1 2 的等差数列(活用等差数列的定义),理科数学 第六章：数列,所以 =1+ 1 2 (n-1)= 1 2 (n+1). 所以Sn= (+1) 2 . 当n2时, an=Sn-Sn-1 = (+1) 2 - (1) 2 =n, 而a1=1满足an=n, (注意检验a1=1是否满足an=n) 故数列an的通项公式为an=n.,理科数学 第六章：数列,突破攻略 解答由Sn求an这一类问题的关键是过好“双关”: 一是“构造关”,即通过
8、构造等差或等比数列,求出Sn; 二是“关系关”,即利用Sn与an的关系an= 1 ,=1, 1 ,2 便可求出数列an的通项公式. 拓展变式1 已知数列an的前n项和为Sn,且满足an=2-3Sn(nN*). (1)求数列an的通项公式; (2)设bn=log2an,求数列an+bn的前n项和Tn.,理科数学 第六章：数列,解析 (1)当n2时,由an=2-3Sn,得an-1=2-3Sn-1, -得4an=an-1. 而当n=1时,a1=2-3a1,故a1= 1 2 , 因而数列an是首项为 1 2 ,公比为 1 4 的等比数列,其通项公式为 an= 1 2 ( 1 4 )n-1=( 1 2
9、)2n-1(nN*). (2)由(1)知an=( 1 2 )2n-1,故bn=1-2n.,理科数学 第六章：数列,数列an+bn的前n项和 Tn=a1+b1+a2+b2+an+bn =(a1+an)+(b1+bn) = 1 2 1( 1 4 ) 1 1 4 + (1+12) 2 = 2 3 -n2- 2 3 ( 1 4 )n(nN*).,考法2 数列的单调性及其应用,考法指导 1.判断数列的单调性的方法 (1)作差比较法.an+1-an0数列an是递增数列;an+1-an0时,则 +1 1数列an是递增数列; +1 1数列an是递减数列; +1 1数列an是递增数,理科数学 第六章：数列,列;
10、 +1 =1数列an是常数列. (3)结合相应函数的图象直观判断. 2.求数列最大(小)项的方法 (1)构造函数,确定出函数的单调性,进一步求出数列的最大项或最小项. (2)利用 +1 , 1 求数列中的最大项an;利用 +1 , 1 求数列中的最小项an.当解不唯一时,比较各解大小即可确定.,示例2 已知数列an的通项公式为an= 9 (+1) 1 0 ,试判断此数列是否有最大项?若有,第几项最大,最大项是多少?若没有,说明理由. 思路分析,理科数学 第六章：数列,解析 解法一an+1-an= 9 +1 (+2) 1 0 +1 - 9 (+1) 1 0 = 9 1 0 8 10 , 当n0,
11、即an+1an; 当n=8时,an+1-an=0,即an+1=an; 当n8时,an+1-ana10a11,故数列an有最大项,为第8项和第9项,且a8=a9= 9 8 9 1 0 8 = 9 9 1 0 8 .,理科数学 第六章：数列,解法二 设数列an的第n项最大,则 1 , +1 , 即 9 (+1) 1 0 9 1 1 0 1 , 9 (+1) 1 0 9 +1 (+2) 1 0 +1 , 解得8n9,又nN*,则n=8或n=9.故数列an有最大项,为第8项和第9项,且a8=a9= 9 9 1 0 8 .,理科数学 第六章：数列,示例3 已知an是递增数列,且对于任意的nN*,an=n
12、2+n恒成立,则实数的取值范围是. 思路分析,理科数学 第六章：数列,解析 解法一(定义法)因为an是递增数列,所以对任意的nN*,都有an+1an,即(n+1)2+(n+1)n2+n,整理,得2n+1+0,即-(2n+1)(*). 因为n1,所以-(2n+1)-3,要使不等式(*)恒成立,只需-3. 解法二(函数法)设f(n)=an=n2+n,其图象的对称轴为直线n=- 2 ,要使数列an为递增数列,只需使定义在正整数集上的函数f(n)为增函数,故只需满足f(1)-3.,理科数学 第六章：数列,突破攻略 已知数列的单调性求解某个参数的取值范围,一般有两种方法: (1)利用数列的单调性构建不等
13、式,然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决,也可通过分离参数将其转化为最值问题处理; (2)利用数列与函数之间的特殊关系,将数列的单调性转化为相应函数的单调性,利用函数的性质求解参数的取值范围,但要注意数列通项中n的取值范围.,理科数学 第六章：数列,拓展变式2 设an是等比数列,则“a1a2a3”是“数列an是递减数列”的 () A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,理科数学 第六章：数列,答案 C 解析 设数列an的公比为q,因为a1a2a3,所以a1a1qa1q2,解得 1 0, 01, 故数列an是递减数列;反之,若数列an是递减数列,
14、 则a1a2a3,所以a1a2a3是数列an是递减数列的充分必要条件,故选C.,理科数学 第六章：数列,考法3 利用递推关系求数列的通项公式,考法指导 已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法 (1)形如an+1=an +f (n),常用累加法(和易求).即利用恒等式an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1 ),求通项公式. (2)形如an+1=an f(n),常用累乘法(积易求),即利用恒等式 an=a1 2 1 3 2 1 求通项公式.,理科数学 第六章：数列,(3)形如an+1=ban+d(其中b,d为常数,b0,1)的数列,常用构造法. 其基本思路是:构造an+
15、1+x=b(an+x)(其中x= 1 ),则an+x是公比为b的等比数列,利用它即可求出an. (4)形如an+1= + (p,q,r是常数)的数列,将其变形为 1 +1 = 1 + . 若p=r,则 1 是等差数列,且公差为 ,可用公式求通项; 若pr,则采用(3)的方法来求.,理科数学 第六章：数列,(5)形如an+1=p (p0,an0)的数列,常用对数法,即将等式两边取对数后转化为an+1=pan+q型,再利用待定系数法构造数列求解. (6)形如an+1=pan+qn(其中p,q均为常数,pq(p-1)0)的数列,有两种求解方法:先在递推公式两边同除以qn+1,得 +1 +1 = +
16、1 ,然后引入辅助数列bn(其中bn= ),得bn+1= bn+ 1 ,再用待定系数法求解;在原递推公式两边同除以pn+1,得 +1 +1 = + 1 ( )n ,引入辅助数列bn(其中bn= ),得bn+1-bn= 1 ( )n,再利用累加法求解,理科数学 第六章：数列,(7)形如an+2=pan+1+qan(p,q是常数,且p+q=1)的数列,构造等比数列,将其变形为an+2-an+1=(-q)(an+1-an),则an-an-1(n2,nN*)是等比数列,且公比为-q,可以求得an-an-1=f(n),然后用累加法求得通项. (8)形如a1+2a2+3a3+nan=f(n)的式子, 由a
17、1+2a2+3a3+nan=f(n), 得a1+2a2+3a3+(n-1)an-1=f(n-1)(n2), 再由-可得an(注意对n=1的情况进行讨论).,示例4 已知数列an满足a1=2,an-an-1=n(n2,nN*),则an=. 思路分析 利用递推公式an-an-1=n(n2),写出n-1个式子并相加,再利用等差数列的前n-1项和的公式,即可求出an. 解析 (累加法)由题意可知,a2-a1=2,a3-a2=3,an-an-1=n(n2), 以上式子累加得,an-a1=2+3+n, (累加时注意开始的一项与最后一项) 因为a1=2,理科数学 第六章：数列,所以an=2+(2+3+n)
18、(用公式求2+3+n时,注意项数为n-1) =2+ (1)(2+) 2 = 2 +2 2 (n2). 因为a1=2满足上式,所以an= 2 +2 2 .,理科数学 第六章：数列,示例5 已知在数列an中,an+1= +2 an(nN*),且a1=4,则数列an的通项公式an=. 思路分析 利用递推公式an+1= +2 an,得 +1 = +2 ,写出n-1个式子并相乘,即可求出an.,理科数学 第六章：数列,解析 (累乘法)由an+1= +2 an,得 +1 = +2 , 故 2 1 = 1 3 , 3 2 = 2 4 , 1 = 1 +1 (n2), 以上式子累乘得, 1 = 1 3 2 4
19、 3 1 2 1 +1 = 2 (+1) (累乘时注意开始的一项与最后一项) 因为a1=4,所以an= 8 (+1) (n2). 因为a1=4满足上式,所以an= 8 (+1) .,理科数学 第六章：数列,示例6 已知数列an中, a1=3,且点Pn(an,an+1)(nN*)在直线4x-y+1=0上,则数列an的通项公式为. 思路分析 把点Pn(an,an+1)代入直线方程4x-y+1=0,得数列an的递推公式,再利用构造法,构造出等比数列,即可利用等比数列的通项公式得结果. 解析 (构造法)因为点Pn(an,an+1)(nN*)在直线4x-y+1=0上, 所以4an-an+1+1=0 (将
20、点的坐标代入直线方程) 所以an+1+ 1 3 =4(an+ 1 3 ).,理科数学 第六章：数列,因为a1=3,所以a1+ 1 3 = 10 3 . 故数列an+ 1 3 是首项为 10 3 ,公比为4的等比数列 (注意数列an+ 1 3 的首项不是a1,而是a1+ 1 3 ) 所以an+ 1 3 = 10 3 4n-1,故数列an的通项公式为an= 10 3 4n-1- 1 3 .,理科数学 第六章：数列,示例7 已知数列an满足a1=2,an+1= 2 2+ (nN*),则an=. 思路分析,理科数学 第六章：数列,解析 (倒数法)因为an+1= 2 2+ ,所以 1 +1 - 1 =
21、1 2 . 因为a1=2,即 1 1 = 1 2 , 所以数列 1 是首项为 1 2 ,公差为 1 2 的等差数列, (注意数列 1 的首项不是a1,而是 1 1 ) 所以 1 = 1 2 +(n-1) 1 2 = 2 ,故an= 2 .,理科数学 第六章：数列,示例8 数列an满足a1=2, an+1= 2 (an0,nN*),则an= A.10n-2B.10n-1 C. 10 2 1 D. 2 2 1 思路分析 对等式an+1= 2 两边取对数,即可利用等比数列的定义求出数列an的通项公式. 解析 (对数法)因为数列an满足a1=2, an+1= 2 (an0,nN*), 所以log2an
22、+1=2log2an, (注意两边都为正数时才能取对数) 即 log 2 +1 log 2 =2.,理科数学 第六章：数列,又a1=2,所以log2a1=log22=1. 故数列log2an是首项为1,公比为2的等比数列 (注意数列log2an的首项不是a1,而是log2a1) 所以log2an=2n-1,即an= 2 2 1 . 答案 D,理科数学 第六章：数列,拓展变式3 (1)数列an中, a1=2,a2=3, an+1=an-an-1(n2),那么a2 019= () A.1B.-2C.3D.-3 (2)各项均不为0的数列an满足 +1 ( + +2 ) 2 =an+2an(nN*),
23、且a3=2a8= 1 5 ,则数列an的通项公式为. (3)已知数列an中,a1= 5 6 ,an+1= 1 3 an+( 1 2 )n+1,求an.,理科数学 第六章：数列,解析 (1)A因为an=an-1-an-2(n3),所以an+1=an-an-1=(an-1-an-2)-an-1=-an-2, 所以an+3=-an,所以an+6=-an+3=an, 所以an是以6为周期的周期数列. 因为2 019=3366+3,所以a2 019=a3=a2-a1=3-2=1.故选A. (2)an= 1 +2 因为 +1 ( + +2 ) 2 =an+2an,所以an+1an+an+1an+2=2an
24、+2an. 因为anan+1an+20,所以 1 +2 + 1 = 2 +1 ,所以数列 1 为等差数列. 设数列 1 的公差为d,则 1 8 = 1 3 +(8-3)d.,理科数学 第六章：数列,因为a3=2a8= 1 5 ,所以d=1, 又 1 1 = 1 3 -2d=3,所以数列 1 是以3为首项,1为公差的等差数列. 所以 1 =3+(n-1)1=n+2, 故数列an的通项公式为an= 1 +2 . (3)解法一将an+1= 1 3 an+( 1 2 )n+1两边分别乘以2n+1,得2n+1an+1= 2 3 (2nan)+1. 令bn=2nan,则bn+1= 2 3 bn+1,理科数
25、学 第六章：数列,将上式变形,得bn+1-3= 2 3 (bn-3). 所以数列bn-3是首项为b1-3=2 5 6 -3=- 4 3 ,公比为 2 3 的等比数列. 所以bn-3=- 4 3 ( 2 3 )n-1,即bn=3-2( 2 3 )n. 于是an= 2 = 3 2 - 2 3 . 解法二将an+1= 1 3 an+( 1 2 )n+1两边分别乘以3n+1,得 3n+1an+1=3nan+( 3 2 )n+1.,理科数学 第六章：数列,令bn=3nan,则bn+1=bn+( 3 2 )n+1, 所以bn-bn-1=( 3 2 )n,bn-1-bn-2=( 3 2 )n-1,b2-b1=( 3 2 )2. 将以上各式累加,得bn-b1=( 3 2 )2+( 3 2 )n-1+( 3 2 )n, 又b1=3a1=3 5 6 = 5 2 =1+ 3 2 , 所以bn=1+ 3 2 +( 3 2 )2+( 3 2 )n-1+( 3 2 )n= 11( 3 2 ) +1 1 3 2 =2( 3 2 )n+1-2,即bn=2( 3 2 )n+1-2. 故an= 3 = 3 2 - 2 3 .,理科数学 第六章：数列,