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1、第六章非线性方程的数值解法习题解答第六章非线性方程的数值解法习题解答填空题：1. 求方程根的牛顿迭代格式是_。Ans:2.求解方程在(1, 2)内根的下列迭代法中，(1) (2) (3) (4) 收敛的迭代法是（A）.A(1)和(2) B. (2)和(3) C. (3)和(4) D. (4)和(1)3.若，则在内一定有根。 ( )4用二分法求方程在区间0,1内的根,进行一步后根的所在区间为 ,进行两步后根的所在区间为 . （答案0.5,1， 0.5,0.75）计算题：1、已知方程在附近有根，将方程写成以下三种不同的等价形式：；试判断以上三种格式迭代函数的收敛性，并选出一种较好的格式。解：令，则
2、，故迭代收敛；令，则，故迭代收敛；令，则，故迭代发散。以上三中以第二种迭代格式较好。2、设方程有根，且。试证明由迭代格式产生的迭代序列对任意的初值，当时，均收敛于方程的根。证明：设，则，故，进而可知，当时，即，从而由压缩映像定理可知结论成立。3、试分别用法和割线法求以下方程的根取初值，比较计算结果。解：法：；割线法：；比较可知法比割线法收敛速度稍快。4. 已知一元方程。1）求方程的一个含正根的区间；2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性)；3）给出在有根区间的Newton迭代法公式。解：（1） 又 (2)(3) 5、用二分法求方程在区间内的根时，若要求精确到小数点后二位，(1) 需
3、要二分几次；(2)给出满足要求的近似根。解：6次；。6为求方程附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式。4） 迭代公式5） 迭代公式6） 迭代公式试分析每种迭代公式的收敛性。解：7、已知在区间内只有一根，而当时，试问如何将化为适于迭代的形式？ 将化为适于迭代的形式，并求（弧度）附近的根。8、能不能用迭代法求解下列方程，如果不能时，试将方程改写成能用迭代法求解的形式。（1） （2）解: (1) 对所有的有故能用迭代法求根。 （2）方程为设则故有根区间为1，2。由故不能用来迭代。将原方程改写为此时，故可用迭代公式来求解。9用牛顿(切线)法求的近似值。取x0=1.7, 计算三次，保留五位小数。解：是的正根，牛顿迭代公式为， 即 取x0=1.7, 列表如下：1231.732351.732051.7320510给定方程1) 分析该方程存在几个根；2) 用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字；3) 说明所用的迭代格式是收敛的。解：1）将方程 （1）改写为 （2） 作函数，的图形（略）知（2）有唯一根。2) 将方程（2）改写为 构造迭代格式 计算结果列表如下：k123456789xk1.223131.294311.274091.279691.278121.278561.278441.278471.278463) ，当时，且所以迭代格式 对任意均收敛。5 / 5