《高考理科数学一轮复习：12.3-数学归纳法及其应用（含答案）.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考理科数学一轮复习：12.3-数学归纳法及其应用（含答案）.pptx（30页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第3节数学归纳法及其应用,最新考纲1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.,知 识 梳 理,1.数学归纳法,一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取_时命题成立； (2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当_时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.,第一个值n0(n0N*),nk1,2.数学归纳法的框图表示,微点提醒,1.应用数学归纳法证明数学命题时初始值n0不一定是1，要根据题目条件或具体问题确定初始值. 2.推证nk1时一定要
2、用上nk时的假设，否则就不是数学归纳法. 3.解“归纳猜想证明”问题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证n1时结论成立.() (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.() (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.() (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项.(),解析对于(1)，有的证明问题第一步并不是验证n1时结论成立，如证明凸n边形的内角和为(n2)180，第一步要验证n3时结论成立，所以(1)不正确
3、；对于(2)，有些命题也可以直接证明；对于(3)，数学归纳法必须用归纳假设；对于(4)，由nk到nk1，有可能增加不止一项. 答案(1)(2)(3)(4),解析凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n3. 答案C,解析易得a23，a34，a45，故猜想ann1. 答案345n1,解析当n1时，n12， 左边1a1a21aa2. 答案C,答案C,6.(2019安庆检测)用数学归纳法证明123(2n1)(n1)(2n1)时，从nk到nk1，左边需增添的代数式是_. 解析当nk时，待证等式左边123(2k1)， 当nk1时，待证等式左边123(2k1)(2k2)(2k3)， 所以从nk到nk1，左
4、边需增添的代数式是(2k2)(2k3). 答案(2k2)(2k3),考点一用数学归纳法证明等式,(2)假设当nk(kN*且k1)时等式成立，即有,所以当nk1时，等式也成立， 由(1)(2)可知，对于一切nN*等式都成立.,规律方法用数学归纳法证明等式的注意点 (1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少. (2)由nk时等式成立，推出nk1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程. (3)不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法.,(2)假设当nk(k2，kN*)
5、时，结论成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1， 那么，当nk1时，,f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k),当nk1时结论仍然成立. 由(1)(2)可知：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*).,考点二利用数学归纳法证明不等式,(2)假设当nk(kN*，k1)时，0akak1，,又ak2ak110， 所以ak1ak2，即当nk1时，anan1也成立. 综上，可知anan1对任意nN*都成立.,规律方法用数学归纳法证明不等式的注意点 (1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法. (2)用数学归纳法证明不等式的关
6、键是由nk成立，推证nk1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法.,(2)假设nk(k2，且kN*)时命题成立，,由(1)，(2)知原不等式在nN*，n2时均成立.,考点三归纳猜想证明多维探究 角度1与函数有关的证明问题,【例31】 (2019梅州质检)设函数f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的导函数. (1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求gn(x)的表达式； (2)若f(x)ag(x)恒成立，求实数a的取值范围.,下面用数学归纳法证明：,由可知，结论对nN*成立.
7、,当a1时，(x)0(当且仅当x0，a1时等号成立)， (x)在0，)上单调递增.,又(0)0，(x)0在0，)上恒成立，,当a1时，对x(0，a1，有(x)0， (x)在(0，a1上单调递减， (a1)1时，存在x0，使(x)0，,综上可知，实数a的取值范围是(，1.,角度2与数列有关的证明问题 【例32】 设数列an的前n项和为Sn，并且满足2Snan，an0(nN*).猜想an的通项公式，并用数学归纳法加以证明.,an0，a11，a22，a33， 猜想：ann.,a20，a22. ()假设当nk(k2，kN*)时，akk，那么当nk1时，,ak10，k2，ak1(k1)0， ak1k1，
8、即当nk1时也成立， ann(n2)，显然当n1时，也成立， 故对于一切nN*，均有ann.,规律方法(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性. (2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.,(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式； (2)证明(1)中的猜想.,(2)证明由(1)知，当n1，2，3时，通项公式成立.,思维升华 1.归纳假设的作用 在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点： (1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证nk1时，必须用上归纳假设. 2.利用归纳假设的技巧 在推证nk1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设.此时既要看准目标，又要掌握nk与nk1之间的关系.在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用.,易错防范,数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两个步骤缺一不可，否则就会导致错误.有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础.,