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1、第四讲 正、余弦定理及解三角形,【高考帮理科数学】第四章：三角函数、解三角形,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,考纲要求,命题规律,命题分析预测,考点1 正、余弦定理及其应用,考点2 解三角形的实际应用,考法1 利用正、余弦定理解三角形,考法2 判断三角形的形状,考法3 与面积、范围有关的问题,考法4 解三角形的实际应用,B考法帮题型全突破,C方法帮素养大提升,易错 代数式化简或三角运算不当致误误,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,考情精解读,考纲要求 命题规律 命题分析预测,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度
2、量问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.,考纲要求,命题规律,1.分析预测从近五年的考查情况来看,该讲是高考的重点和热点,主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用,有时也与三角恒等变换等进行综合命题,既有选择题、填空题,也有解答题,分值412分. 2.学科素养本讲主要考查考生的数学运算能力.,命题分析预测,A考点帮知识全通关,考点1 正、余弦定理及其应用 考点2 解三角形的实际应用,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,1.正弦、余弦定理 在ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为ABC的外接圆半径,则,考点1 正、余弦
3、定理及其应用（重点）,注意： 在ABC中,已知a,b和A,利用正弦定理解三角形时,会出现解的个数不确定的情况,情况如下:,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,2.三角形中的常见结论 在ABC中,常有下列结论: (1)A+B+C=. (2)大边对大角,大角对大边,如abABsin Asin B. (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. (4)有关三角形内角的三角函数关系式:sin(A+B)=sin C;cos(A+B)= -cos C;tan(A+B)=-tan C;sin + 2 =cos 2 ;cos + 2 =sin 2 . (5)在ABC中,内角A,B,C成等差数列B=
4、 3 ,A+C= 2 3 . (6)在斜ABC中,tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,3.三角形的面积公式 (1)已知三角形一边及该边上的高:S= 1 2 ah(h表示边a上的高); (2)已知三角形的两边及其夹角:S= 1 2 absin C= 1 2 acsin B= 1 2 bcsin A; (3)已知三角形的三边:S= ()()() (p= 1 2 (a+b+c); (4)已知三角形的三边及内切圆半径:S= 1 2 r(a+b+c)(r表示三角形内切圆半径).,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,解三角形在测量中
5、的应用 解三角形的实际应用有:测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. 说明 有关测量中的常用术语如下：,考点2 解三角形的实际应用（重点）,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,规律总结,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,B考法帮题型全突破,考法1 利用正、余弦定理解三角形 考法2 判断三角形的形状 考法3 与面积、范围有关的问题 考法4 解三角形的实际应用,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,考法1 利用正、余弦定理解三角形,考法指导 解三角形的基本类型及解法,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,示例1 2017北京，15，13分理在ABC中,
6、A =60,c= 3 7 a. ()求sin C的值; ()若a=7,求ABC的面积. 思路分析 ()根据正弦定理 sin = sin 求sin C 的值;()根据条件可知a=7,c=3,由()的结果求cos C,再利用sin B=sin(A+C) 求出sin B,最后利用三角形的面积S= 1 2 acsin B求出ABC的面积.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,解析 ()在ABC中,A=60,c= 3 7 a, 由正弦定理得sin C= sin = 3 7 3 2 = 3 3 14 . ()解法一因为a=7,所以c= 3 7 7=3. 由()知sin C= 3 3 14 , 又c= 3
7、 7 aa,且A=60,所以CA,即C60. 故cos C= 1 sin 2 = 1( 3 3 14 ) 2 = 13 14 .,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,由A+B+C=180可得B=180-A-C, 所以sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=sin 60 13 14 +cos 60 3 3 14 = 4 3 7 . 所以ABC的面积S= 1 2 acsin B= 1 2 73 4 3 7 =6 3 . 解法二因为a=7,所以c= 3 7 7=3,由余弦定理得72=b2+32-2b3 1 2 ,解得b=8或b=-5(舍去). 所以ABC的面积S=
8、 1 2 bcsin A= 1 2 83 3 2 =6 3 .,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,拓展变式1 (1)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=2C,2bcos C-2ccos B=a,则角A的大小为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 (2)在ABC中,a、b、c分别是内角A、B、C的对边.若bsin A=3csin B,a=3, cos B= 2 3 ,则 b= A.14 B.6 C. 14 D. 6,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,答案 (1)A (2)D 解析 (1)由正弦定理得2sin Bcos C-2sin Ccos B=sin A=sin
9、(B+C)=sin Bcos C+ cos Bsin C,sin Bcos C=3sin Ccos B,sin 2Ccos C=3sin Ccos 2C, 2cos2C=3(cos2C-sin2C),tan2C= 1 3 ,B=2C,C为锐角,tan C= 3 3 , C= 6 ,B= 3 ,A= 2 ,故选A. (2) bsin A=3csin Bab=3bca=3cc=1,b2=a2+c2-2accos B=9+1-231 2 3 =6,b= 6 ,故选D.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,考法2 判断三角形的形状,考法指导 判断三角形的形状,主要有如下两种方法: (1)角化边.利用
10、正弦、余弦定理把已知条件转化为边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,如: 若a=b,则三角形为等腰三角形;若c2=a2+b2,则三角形为以角C为直角的直角三角形;若c2a2+b2,则三角形为以角C为钝角的钝角三角形;若c2a2+b2,则只能得到三角形中角C为锐角,如果同时有a2c2+b2,b2a2+c2都成立,此三角形为锐角三角形;有时可能得到两个结论a=b,且c2=a2+b2,此时三角形为等腰直角三角形.化简过程中不能随便约分,要把关系找充分,从而正确判断三角形的形状.,(2)边化角.利用正弦、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系,通过三角恒等变换,得出内角的关系,常见的关
11、系有:sin 2A=sin 2B,即A=B或A+B= 2 ,三角形为等腰三角形或直角三角形;A+B= 2 ,三角形为以角C为直角的直角三角形;A=B=C,三角形为等边三角形.在这里要注意应用A+B+C=这个结论,从而判断出三角形的形状.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,示例2 在ABC中,设a,b,c分别是角A,B,C所对边的边长,且直线bx+ycos A +cos B=0与ax+ycos B+cos A=0平行,则ABC一定是 A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰或直角三角形 思路分析 两直线平行可得到一个边角关系,即bcos B-acos A=0,然后可化边或化角
12、判断三角形的形状.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,解析 解法一 (边化角)由两直线平行可知bcos B-acos A=0,由正弦定理可知sin Bcos B-sin Acos A=0,即 1 2 sin 2B- 1 2 sin 2A=0, 故2A=2B或2A+2B=,即A=B或A+B= 2 . 若A=B,则a=b,cos A=cos B,两直线重合,不符合题意,故A+B= 2 ,即ABC是直角三角形.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,解法二 (角化边)由两直线平行可知bcos B-acos A=0, 由余弦定理,得a 2 + 2 2 2 =b 2 + 2 2 2 , 所以a2(b
13、2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), 所以c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2), 所以(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,所以a=b或a2+b2=c2. 若a=b,则两直线重合,不符合题意,故a2+b2=c2,即ABC是直角三角形. 答案 C,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,突破攻略 三角形形状的判断要从角或边长之间的关系上来考虑,除了应用正弦定理外,还要注意三角函数中公式的灵活应用和性质的应用.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,拓展变式2 在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 0,于是有cos B0,B为钝角,所以ABC是钝角三角形.故选A
14、.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,考法3 与面积、范围有关的问题,考法指导 1.与三角形面积有关的问题主要有两种:一是解三角形求出有关量,利用公式求面积;二是将面积作为已知条件之一,与正弦定理和余弦定理一起求解三角形中的其他量.解题时主要应用三角形面积公式S= 1 2 absin C,此公式既与边长的乘积有关,又与角的三角函数值有关,因此可以将正弦定理和余弦定理综合起来求解问题.,2.解与三角形中边角有关的量的取值范围时,主要是利用已知条件和有关定理,将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来,结合三角形边角取值范围等求解即可. 注意 (1)涉及求范围的问题,一定要搞清已知变量的范围
15、,利用已知的范围进行求解,已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化. (2)注意题目中的隐含条件,如A+B+C=,0A,b-cab+c,三角形中大边对大角等.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,示例3 在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且4sin Acos2A- 3 cos(B+C)=sin 3A+ 3 . (1)求A的大小; (2)若b=2,求ABC面积的取值范围. 思路分析 (1)根据题目中的条件与三角形内角间的关系,将等式中出现的角全部转化为角A,再结合相关的公式,确定角A的三角函数值,进而确定角A的大小;(2)根据题中的锐角三角形条件以及(1)中的结
16、论,进一步确定角B的范围,应用正弦定理将相关的边转化为角的三角函数,从而确定边的取值范围,借助三角形的面积公式确定相应的面积的取值范围.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,解析 (1)A+B+C=,cos(B+C)=-cos A， 3A=2A+A, sin 3A=sin(2A+A)=sin 2Acos A+cos 2Asin A, 又sin 2A=2sin Acos A,cos 2A=2cos2A-1, 将代入已知,得2sin 2Acos A+ 3 cos A=sin 2Acos A+cos 2Asin A+ 3 , 整理得sin A+ 3 cos A= 3 ,即sin(A+ 3 )= 3
17、 2 , 又A(0, 2 ),A+ 3 = 2 3 ,即A= 3 .,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,(2)由(1)得B+C= 2 3 ,C= 2 3 -B, ABC为锐角三角形, 2 3 -B(0, 2 )且B(0, 2 ), 解得B( 6 , 2 ), 在ABC中,由正弦定理得 2 sin = sin , c= 2sin sin = 2sin( 2 3 ) sin = 3 tan +1, 又B( 6 , 2 ), 1 tan (0, 3 ),c(1,4), SABC= 1 2 bcsin A= 3 2 c,SABC( 3 2 ,2 3 ).,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,突破
18、攻略 在解三角形的问题中,三角形内角和定理起着重要作用,在解题中要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号,防止出现增解或漏解.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,拓展变式3 在ABC中,AD是BC边的中线,AB2+AC2+ABAC=BC2,且ABC的面积为 3 . (1)求BAC的大小及 的值; (2)若AB=4,求AD的长. 解析 (1)在ABC中,由AB2+AC2+ABAC=BC2可得 2 + 2 2 2 =- 1 2 =cosBAC,故BAC=120. 因为SABC= 1 2 ABACsinBAC= 1 2 ABACsin 120= 3 , 所以 1 2 ABAC 3 2 =
19、 3 ,解得ABAC=4. 所以 =| | |cos 120=| | |(- 1 2 )=4(- 1 2 )=-2.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,(2)解法一 由AB=4,ABAC=4得AC=1. 在ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=16+1-241(- 1 2 )=21,得BC= 21 , 由正弦定理 sin = sin , 得sinABC= sin = 1 3 2 21 = 7 14 . 因为0ABC60,所以cosABC= 3 21 14 . 在ABD中,AD2=AB2+BD2-2ABBDcosABD=16+ 21 4 -24 21 2 3
20、21 14 = 13 4 ,得AD= 13 2 .,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,解法二 由AB=4,ABAC=4得AC=1. 在ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=16+1-241(- 1 2 )=21,得BC= 21 , cosABC= 2 + 2 2 2 = 16+211 24 21 = 3 21 14 , 在ABD中,AD2=AB2+BD2-2ABBDcosABD=16+ 21 4 -24 21 2 3 21 14 = 13 4 ,得AD= 13 2 .,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,考法4 解三角形的实际应用,考法指导 1.解三角形应
21、用题的常见情况及方法 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需画出这些三角形,先解条件足够的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的量.,2.解决关于解三角形的应用问题的注意事项 (1)要注意仰角、俯角、方位角以及方向角等名词,并能准确地找出这些角; (2)要注意将平面几何中的性质、定理与正弦、余弦定理结合起来使用,这样可以优化解题过程; (3)要注意题目中的隐含条件以及解的实际意义.,理科数学 第四
22、章：三角函数、解三角形,示例4 某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为45,距离为10 n mile的C处,并测得渔轮正沿方位角为105的方向,以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢,我海军舰艇立即以 21 n mile/h的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间. 思路分析 本题中所涉及的路程在不断变化,但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等,先设出所用时间t,找出等量关系,然后解三角形.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,解析 如图所示,根据题意可知AC=10,ACB=120,设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h,并在B处与渔轮相遇,则AB
23、=21t,BC=9t,在ABC中,根据余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 120,所以212t2=102+81t2+2109t 1 2 ,即360t2-90t-100=0, 解得t= 2 3 或t=- 5 12 (舍去). 所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 2 3 h. 此时AB=14,BC=6. 在ABC中,根据正弦定理,得 sin = sin120 , 所以sinCAB= 6 3 2 14 = 3 3 14 ,即CAB21.8或CAB158.2(舍去),即舰艇航行的方位角为45+21.8=66.8. 所以舰艇以66.8的方位角航行,需 2 3 h才能靠近渔轮.,理科数学 第四章
24、：三角函数、解三角形,拓展变式4 如图,经过村庄A有两条夹角为60的公路AB,AC,根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M,N(异于村庄A),要求PM=PN=MN=2(单位:千米).记AMN=. (1)将AN,AM用含的关系式表示出来; (2)如何设计(即AN,AM为多长时),使得工厂产生 的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离 AP最大)?,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,解析 (1)AMN=,在AMN中,由正弦定理得 sin60 = sin = sin(120) , 所以AN= 4 3 3 sin ,AM= 4 3 3 sin(120-). (
25、2)AP2=AM2+MP2-2AMMPcosAMP= 16 3 sin2(+60)+4- 16 3 3 sin(+60)cos(+60) = 8 3 1-cos(2+120)- 8 3 3 sin(2+120)+4=- 8 3 3 sin(2+120)+cos(2+120)+ 20 3 = 20 3 - 16 3 sin(2+150),(0,120)(其中利用诱导公式可知sin(120-)=sin(+60), 当且仅当2+150=270,即=60时,工厂产生的噪声对居民的影响最小,此时AN=AM=2.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,C方法帮素养大提升,易混易错,理科数学 第四章：三角函
26、数、解三角形,易错 代数式化简或三角运算不当致误 示例5 在ABC中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),试判断ABC的形状. 易错分析 (1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等,忽略两角互补情形; (2)代数运算中两边同除以一个可能为0的式子,导致漏解; (3)结论表述不规范.,易混易错,解析 因为(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B), 所以b2sin(A+B)+sin(A-B)=a2sin(A+B)-sin(A-B). 所以a2cos Asin B=b2sin Acos B. 解法一由正弦定理知a=2Rsin A,b=2Rsin B
27、, 所以sin2Acos Asin B=sin2Bsin Acos B. 又sin Asin B0,所以sin Acos A=sin Bcos B, 所以sin 2A=sin 2B. 在ABC中,02A2,02B2, 所以2A=2B或2A=-2B, (注意有两种情况) 所以A=B或A+B= 2 . 所以ABC为等腰或直角三角形.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,解法二由正弦定理、余弦定理得: a2b 2 + 2 2 2 =b2a 2 + 2 2 2 , 所以a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), 所以(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, 所以a2-b2=0或a2+b2-c2=0, (注意有两种情况) 即a=b或a2+b2=c2. 所以ABC为等腰或直角三角形.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,易错提醒 1.判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化,使之变为只含边或只含角的式子然后判断.注意不要轻易两边同除以一个式子. 2.在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一,并注重挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注意角A,B,C的范围对三角函数值的影响.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,