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1、第十六章 数系的扩充与复数的引入,【高考帮理科数学】第十六章：数系的扩充与复数的引入,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,考纲解读,命题规律,命题分析预测,考点1复数的有关概念 考点2复数的四则运算,考法1 与复数的概念、分类有关的问题 考法2 复数相等与共轭复数 考法3 复数的模 考法4 复数的几何意义 考法5 复数的四则运算,B考法帮题型全突破,C.方法帮素养大提升,方法解决复数问题的实数化思想,考情精解读,考纲解读 命题规律 命题分析预测,1.理解复数的基本概念. 2.理解复数相等的充要条件. 3.了解复数的代数表示法及其几何意义. 4.会进行复数代数形式的四则运算.
2、 5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.,考纲解读,命题规律,1.分析预测本章是高考的热点,主要考查复数的有关概念和复数的四则运算,一般出现在选择题的前3题中,比较简单,属于送分题,分值5分. 2.学科素养本章主要考查考生的数学运算能力和等价转化思想的应用.,命题分析预测,A考点帮知识全通关,考点1复数的有关概念 考点2复数的四则运算,考点1复数的有关概念（重点）,1.复数的定义 形如a+bi(a,bR)的数叫作复数,其中a叫作复数的实部,b叫作复数的虚部,i为虚数单位且规定i2=-1.,注意 (1)复数构成的集合叫作复数集,记为C;(2)虚数单位i具有周期性,且最小正周期为4,其性质如
3、下(nN):i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i; i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0.,理科数学 第十六章：数系的扩充与复数的引入,2.复数的分类 z=a+bi 实数(=0) 虚数(0) 纯虚数(=0) 非纯虚数(0),注意 (1)若一个复数是实数,则仅注重虚部等于0是不够的,还需考虑它的实部是否有意义;(2)一个复数为纯虚数,不仅要求实部为0,还需要求虚部不为0;(3)两个不全是实数的复数不能比较大小;(4)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示.,理科数学 第十六章：数系的扩充与复数的引入,3.复数相等 a+bi=c+dia=c且b=d(
4、a,b,c,dR). 4.共轭复数 一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫作互为共轭复数. 互为共轭复数的充要条件:a+bi与c+di互为共轭复数a=c,b=-d(a,b,c,dR). 5.复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面,叫作复平面.x轴叫作实轴,y轴叫作虚轴.实轴上的点表示实数;除原点外,虚轴上的点表示纯虚数.,理科数学 第十六章：数系的扩充与复数的引入,注意 (1)复平面内虚轴上的单位长度是1,而不是i.(2)互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合,且在实轴上.,6.复数的模 向量 的长度r叫作复数z
5、=a+bi的模,记作|z|或|a+bi|,则|z|=|a+bi|=r= 2 + 2 (r0,rR),即复数a+bi的模表示点Z(a,b)与原点O的距离.特别地,b=0时,z=a+bi是实数a,则|z|=|a|.,说明 | |=|z|.,理科数学 第十六章：数系的扩充与复数的引入,7.复数的几何意义,考点2复数的四则运算（重点）,1.复数的运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR):,2.复数的运算律 对任意的z1,z2,z3C:,理科数学 第十六章：数系的扩充与复数的引入,B考法帮题型全突破,考法1 与复数的概念、分类有关的问题 考法2 复数相等与共轭复数 考法3 复数的模
6、 考法4 复数的几何意义 考法5 复数的四则运算,考法1 与复数的概念、分类有关的问题,考法指导 与复数的概念、分类有关的问题的求解策略 先把复数化为代数形式z=a+bi(a,bR),然后列出实部、虚部应满足的方程(组)或不等式(组)进行求解.,注意 无论一个复数是实数还是虚数,都要保证这个复数的实部和虚部有意义.,示例12017天津,9,5分理已知aR,i为虚数单位,若 i 2+i 为实数,则a的值为. 思路分析根据复数的除法法则,把 i 2+i 化简成x+yi(x,yR)的形式,然后令y=0即可求得.也可以引进参数,利用复数相等的定义列方程组求解.,理科数学 第十六章：数系的扩充与复数的引
7、入,解析解法一因为 i 2+i = (i)(2i) (2+i)(2i) = (21)(+2)i 5 = 21 5 - +2 5 i为实数,所以 +2 5 =0,所以a=-2. 解法二令 i 2+i =t(tR),则a-i=t(2+i)=2t+ti, 所以 =2, =1, 解得a=-2.,理科数学 第十六章：数系的扩充与复数的引入,示例2实数m取何值时,复数z= 2 +2 +3 +(m2+5m+6)i是纯虚数? 思路分析,解析 复数z是纯虚数的充要条件是 2 +2 +3 =0, 2 +5+60, （由纯虚数的定义 知复数z的实部为0，虚部不为0）,理科数学 第十六章：数系的扩充与复数的引入,解得
8、 =2或=1, 2且3, 即m=1. 故当m=1时,复数z是纯虚数.,点评本题中复数的实部为分式,而“分式中分母不能为0”,即m+30,求解时容易忽略这一限制条件.,突破攻略 z=x+yi(x,yR)为实数y=0;z=x+yi(x,yR)为虚数y0;z=x+yi(x,yR)为纯虚数x=0且y0.,理科数学 第十六章：数系的扩充与复数的引入,拓展变式1 2018江西省红色七校一模已知复数zi=( i+1 i1 )2 018(i为虚数单位),则z的虚部为 A.1B.-1C.iD.-i,答案 A 解析 i+1 i1 = (i+1)(i+1) (i1)(i+1) = 2i 2 =-i,( i+1 i1
9、 )1 009=(-i)2 018=i2 018=(i2)1 009=-1,z= 1 i =i.所以z的虚部为1,故选A.,理科数学 第十六章：数系的扩充与复数的引入,考法2 复数相等与共轭复数,考法指导 1.复数相等的充要条件是两个复数的代数形式的实部与实部相等、虚部与虚部相等.有关复数相等问题的求解步骤如下: 第一步,先根据复数的运算法则,把两个相等的复数都化为标准的代数形式;第二步,根据复数相等的充要条件,列出相关方程(组),把复数问题转化为实数问题进行求解. 2.求一个复数的共轭复数,只需将此复数整理成标准代数形式,然后其实部不变,虚部变为相反数,即得原复数的共轭复数.,示例3(1)2
10、017浙江,12,6分已知a,bR,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=,ab=. (2)设复数z满足i(z+1)=-3+2i(i是虚数单位),则 =. 思路分析,将复数化简成标准形式,由复数相等的充要条件求解,设出z,求出z的标准代数形式,可得 ,(1),(2),理科数学 第十六章：数系的扩充与复数的引入,解析(1)解法一因为(a+bi)2=a2-b2+2abi=3+4i, 所以 2 2 =3, =2, 解得 =2, =1 或 =2, =1, 所以a2+b2=5,ab=2. 解法二由(a+bi)2=a2-b2+2abi=3+4i,得a2-b2-3+(2ab-4)i=0,
11、所以 2 2 3=0, 2=0, 解得 =2, =1 或 =2, =1, 所以a2+b2=5,ab=2. (2)设z=a+bi(a,bR),因为z+1= 3+2i i =2- 3 i =2+3i,所以z=1+3i,所以 =1-3i.,理科数学 第十六章：数系的扩充与复数的引入,考法3 复数的模,考法指导 1.求复数的模时,直接根据复数的模的公式 |a+bi|= 2 + 2 和性质|z2|=| |2=z ,|z1z2|=|z1|z2|,| 1 2 |= | 1 | | 2 | 进行计算. 2.已知复数的模求解相关量时,先根据复数的运算法则把复数化为标准的代数形式,再根据题目中关于复数的模的条件建
12、立相应的关系式,或根据复数的模的定义,把问题转化为实数问题进行解决.,示例4若i(x+yi)=3+4i,x,yR,则复数x+yi的模是 A.2B.3C.4D.5 思路分析根据复数的运算法则和模长的计算公式求解. 解析 解法一因为i(x+yi)=3+4i,所以x+yi= 3+4i i = (3+4i)(i) i(i) =4-3i, 故|x+yi|=|4-3i|= 4 2 +(3 ) 2 =5. 解法二因为i(x+yi)=3+4i,所以(-i)i(x+yi)=(-i)(3+4i)=4-3i,即x+yi=4-3i,故|x+yi|=|4-3i|= 4 2 +(3 ) 2 =5.,理科数学 第十六章：数
13、系的扩充与复数的引入,解法三因为i(x+yi)=3+4i,所以|i(x+yi)|=|3+4i|, 所以|i|x+yi|=5,所以|x+yi|=5. 解法四因为i(x+yi)=3+4i,所以-y+xi=3+4i, 所以x=4,y=-3,故|x+yi|=|4-3i|= 4 2 +(3 ) 2 =5. 答案 D,理科数学 第十六章：数系的扩充与复数的引入,拓展变式2已知复数z满足z+ z =2(i为虚数单位), 其中 z 是z的共轭复数,|z|= 2 ,则复数z的虚部为 A.1B.iC.iD.1,答案 D 解析 设z=a+bi(a,bR),则 =a-bi,由z+ =2,可得2a=2,解得a=1,由z
14、=1+bi,|z|= 2 +1 = 2 ,解得b=1,故选D.,理科数学 第十六章：数系的扩充与复数的引入,考法4 复数的几何意义,考法指导 复数z、复平面上的点Z及向量 相互联系,即z=a+bi(a,bR)Z(a,b) ,据此可知,确定复数对应的点所在的位置,只要将复数化为代数形式后,根据对应点Z的坐标确定即可,反之,根据Z的坐标即可写出复数z.特别地,共轭复数在复平面上对应的点关于实轴对称.,示例5(1)设复数z满足(2+i)z=1-2i3,则复数z对应的点位于复平面内 A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 (2)在复平面内与复数z= 2i 1+i 所对应的点关于实轴对称的点
15、为A,则A对应的复数为 A.1+i B.1-iC.-1-i D.-1+i (3)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是 A.(-,1)B.(-,-1) C.(1,+)D.(-1,+),理科数学 第十六章：数系的扩充与复数的引入,思路分析把复数化简为z=x+yi(x,yR)的形式,对应复平面内的点(x,y),即可求解. 解析(1)因为(2+i)z=1-2i3, 所以z= 12 i 3 2+i = 1+2i 2+i = (1+2i)(2i) (2+i)(2i) = 4 5 + 3 5 i. 所以复数z对应的点的坐标为( 4 5 , 3 5 ),位于第一象限.
16、(2)因为z= 2i 1+i = 2i(1i) (1+i)(1i) =i(1-i)=1+i, 所以点A的坐标为(1,-1),其对应的复数为1-i.,理科数学 第十六章：数系的扩充与复数的引入,(3)因为复数(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i在复平面内对应的点在第二象限,所以 +10, 解得a-1. 答案 (1)A(2)B(3)B,理科数学 第十六章：数系的扩充与复数的引入,拓展变式3已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别为A,B,C,若 = + ,(,R),则+的值是.,答案 1 解析由题意得 =(3,-4), =(-1,2), =(1,-1
17、), 由 = + ,得(3,-4)=(-1,2)+(1,-1)=(-+,2-), +=3, 2=4, 解得 =1, =2. +=1.,理科数学 第十六章：数系的扩充与复数的引入,考法5 复数的四则运算,考法指导 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,把含有虚数单位i的项看作一类同类项,不含i的项看作另一类同类项,分别合并即可;复数除法运算的关键是分母实数化,注意要把i的幂化成最简形式. 2.复数运算中的常用结论: (1)(1i)2=2i;(2) 1+i 1i =i;(3) 1i 1+i =-i;(4) +i i =b-ai;(5)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n
18、+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(nN).,示例6(1)已知复数z=1+ 2i 1i ,则1+z+z2+z2 018= A.1+i B.1-iC.i D.0 (2)2017山东,2,5分已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2= A.-2i B.2iC.-2 D.2 思路分析(1)先对复数z进行化简,再根据等比数列的求和公式或借助in(nN)的周期性求解;(2)利用复数的除法法则求z后再平方或者两边直接平方即可.,理科数学 第十六章：数系的扩充与复数的引入,解析(1)解法一(根据等比数列的前n项和公式求解)因为z=1+ 2i 1i =1+ 2i(1+i) 2
19、 =i,所以1+z+z2+z2 018= 1(1 2 019 ) 1 = 1 i 2 019 1i = 1 i 4504 i 3 1i =i. 解法二(利用周期性求解)因为z=1+ 2i 1i =1+ 2i(1+i) 2 =i,所以1+z+z2+z2 018=1+i+i2+i2 018=504(1+i-1-i)+1+i-1=i. (2)解法一由z= 1+i i =1-i,得z2=(1-i)2=-2i. 解法二由zi=1+i,得(zi)2=(1+i)2,则-z2=2i,即z2=-2i.,理科数学 第十六章：数系的扩充与复数的引入,答案 (1)C(2)A 点评(1)区分(a+bi)2=a2+2ab
20、i-b2(a,bR)与(a+b)2=a2+2ab+b2(a,bR); (2)区分(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,bR)与(a+b)(a-b)=a2-b2(a,bR).,理科数学 第十六章：数系的扩充与复数的引入,解析 (1)C 2 1i -(1+i)2=1+i-2i=1-i.故选C. (2)A依题意得(1-z) =(2+i)(-1+i)=-3+i,则|(1-z) |= |-3+i|= (3 ) 2 + 1 2 = 10 .故选A.,拓展变式4 (1)21-i-(1+i)2 =() A.1+iB.-1+iC.1-iD.-1-i (2)设复数z=-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数为z
21、,则|(1-z)z|=() A. 10 B.2C. 2 D.1,理科数学 第十六章：数系的扩充与复数的引入,C方法帮素养大提升,思想方法,思想方法,方法解决复数问题的实数化思想 示例7已知x,y为共轭复数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,求x,y. 思路分析(1)x,y为共轭复数,可用复数的基本形式表示出来;(2)利用复数相等,将复数问题转化为实数问题. 解析设x=a+bi(a,bR), 则y=a-bi,x+y=2a,xy=a2+b2, 代入原式,得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i, 根据复数相等得 4 2 =4, 3( 2 + 2 )=6,解得 =1, =1 或 =1, =1 或 =1, =1 或 =1, =1. 故所求复数为 =1+i, =1i 或 =1i, =1+i 或 =1+i, =1i 或 =1i, =1+i.,理科数学 第十六章：数系的扩充与复数的引入,温馨提醒(1)解决复数问题要把握一点,即复数问题实数化,这是解决复数问题最基本的思想方法. (2)本题求解的关键是先把x,y用复数的基本形式表示出来,再用待定系数法求解.这是常用的数学方法. (3)本题易错原因为想不到利用待定系数法,或不能将复数问题转化为实数问题求解.,理科数学 第十六章：数系的扩充与复数的引入,