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1、第二讲 命题及其关系、充分条件与必要条件,【高考帮理科数学】第一章：集合与常用逻辑用语,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,考纲要求,命题规律,命题分析预测,考点1 命题及四种命题间的关系,考点2 充分条件与必要条件,考法1 四种命题及其真假判断,考法2 充分条件与必要条件的判断,考法3 根据充分、必要条件求参数的取值范围,B考法帮题型全突破,理科数学 第一章：集合与常用逻辑用语,考情精解读,考纲解读 命题规律 命题分析预测,理科数学 第一章：集合与常用逻辑用语,1.理解命题的概念. 2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.
2、3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.,考纲要求,命题规律,1.分析预测从近五年的考查情况来看,高考对本讲内容的考查涉及的知识点较广,全国卷主要以其他知识为背景考查命题的真假判断,充分条件、必要条件的判断,题目难度中等,以选择题和填空题为主,有时也以解答题的一问呈现,一般分值5分. 2.学科素养本讲主要以函数、三角函数、数列、立体几何、解析几何、概率、统计、复数等为载体,结合命题、充分条件和必要条件考查考生的转化思想和逻辑推理能力.,命题分析预测,A考点帮知识全通关,考点1 命题及四种命题间的关系 考点2 充分条件与必要条件,理科数学 第一章：集合与常用逻辑用语,1.命题的概念 用语言、
3、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫作命题.判断为真的语句叫作真命题,判断为假的语句叫作假命题 说明： 一个命题要么是真命题,要么是假命题,不能模棱两可.数学中,通常把命题表示为“若p,则q”的形式,其中p是条件,q是结论.,考点1 命题及四种命题间的关系（重点）,理科数学 第一章：集合与常用逻辑用语,2.四种命题及其相互关系,理科数学 第一章：集合与常用逻辑用语,说明： 在四种命题的构造中,其中否命题和逆否命题都涉及对一些词语的否定.一些常见词语的否定总结如下:,3.四种命题的真假关系 由上表可知: (1)若两个命题互为逆否命题,则它们的真假性相同; (2)若两个命题互为逆命题或互为否命
4、题,则它们的真假性没有关系.因此,在同一个命题的四种命题中,真命题的个数要么是0,要么是2,要么是4.,理科数学 第一章：集合与常用逻辑用语,1.充分条件与必要条件的相关概念 (1)如果pq,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件; (2)如果pq,但qp,则p是q的充分不必要条件; (3)如果pq,且qp,则p是q的充要条件; (4)如果qp,且pq,则p是q的必要不充分条件; (5)如果pq,且qp,则p是q的既不充分又不必要条件. 注意 不能将“若p,则q”与“ pq”混为一谈,只有“若p,则q”为真命题时,才有“ pq”,即“ pq” “若p,则q”为真命题,考点2 充分条件与必要条
5、件（难点）,理科数学 第一章：集合与常用逻辑用语,2.充分条件与必要条件的两个特征: (1)对称性:若p是q的充分条件,则q是p的必要条件,即“pq”“qp”. (2)传递性:若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分(必要)条件,则p是r的充分(必要)条件,即“pq且qr”“pr”(“pq且qr”“pr”).,理科数学 第一章：集合与常用逻辑用语,3.从集合角度理解充分条件与必要条件 记p,q对应的集合分别为A,B,则关于充分条件、必要条件又可以叙述为: (1)若AB,则p是q的充分条件; (2)若AB,则p是q的必要条件; (3)若A=B,则p是q的充要条件; (4)若AB,则p是q的充分不
6、必要条件; (5)若AB,则p是q的必要不充分条件; (6)若AB且AB,则p是q的既不充分又不必要条件.,辨析比较 (1) A是B的充分不必要条件是指:AB且BA; (2)A的充分不必要条件是B是指:BA且AB, 在解题中要弄清它们的区别,以免出现错误.,理科数学 第一章：集合与常用逻辑用语,B考法帮题型全突破,考法1 四种命题及其真假判断 考法2 充分条件与必要条件的判断 考法3 根据充分、必要条件求参数的取值范围,理科数学 第一章：集合与常用逻辑用语,考法1 四种命题及其真假判断,考法指导 1.判断命题真假的方法 (1)直接判断 判断一个命题为真命题,要给出严格的推理证明;说明一个命题是
7、假命题,只需举出一个反例即可. (2)间接判断 根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其逆否命题的真假.,理科数学 第一章：集合与常用逻辑用语,2.由原命题写出其他三种命题的方法 由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,将条件与结论互换即得逆命题,将条件与结论同时否定即得否命题,将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题. 注意 (1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写; (2)当命题有大前提时,写其他三种命题时需保留大前提.,示例1给出命题:若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第
8、四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中,真命题的个数是 A.3B.2C.1D.0 思路分析 解析 原命题是真命题,故它的逆否命题是真命题;它的逆命题为“若函数y=f(x)的图象不过第四象限,则函数y=f(x)是幂函数”,显然逆命题为假命题,故原命题的否命题也为假命题.因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个. 答案 C,理科数学 第一章：集合与常用逻辑用语,根据原命题写出逆命题,判断原命题和逆命题的真假,根据四种命题之间的真假关系得出真命题的个数,理科数学 第一章：集合与常用逻辑用语,突破攻略 在判断四个命题之间的关系时,要先分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条
9、件与结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性,一旦一个命题定为原命题,相应的也就有了它的“逆命题” “否命题” “逆否命题”.,拓展变式1 下列说法正确的个数是 “若a+b4,则a, b中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题; 命题“设a,bR,若a+b6,则a3或b3”是一个真命题; “x0R,x02-x00”; “a+1b”是“ab”的一个必要不充分条件. A.0B.1C.2D.3,理科数学 第一章：集合与常用逻辑用语,理科数学 第一章：集合与常用逻辑用语,答案 C 解析 对于,原命题的逆命题为“若a,b中至少有一个不小于2,则a+b4”,而a=4,b=-4满足a,b中至少有一个不小于2
10、,但此时a+b=0,故不正确;对于,此命题的逆否命题为“设a,bR,若a=3且b=3,则a+b=6”,为真命题,所以原命题也是真命题,故正确;对于,“x0R, 0 2 -x0b可推得a+1b,但由a+1b不能推出ab,故正确.故选C.,考法2 充分条件与必要条件的判断,考法指导 充分条件与必要条件的判断方法 1.定义法 详见考点2中充分条件与必要条件的相关概念. 2.集合法 当所要判断的命题与方程的根、不等式的解集有关,或所描述的对象可以用集合表示时,可以借助集合间的包含关系进行充分条件与必要条件的判断.,3.等价转化法 适用于“不易直接正面判断”的情况,可将命题转化为另一个等价的又易于判断真
11、假的命题,再去判断.常用的是逆否等价法,如下: (1)q是p的充分不必要条件p是q的充分不必要条件; (2) q是p的必要不充分条件p是q的必要不充分条件; (3) q是p的充要条件p是q的充要条件; (4) q是p的既不充分也不必要条件p是q的既不充分也不必要条件.,理科数学 第一章：集合与常用逻辑用语,示例2若A: log 2 a1,B:关于x的一元二次方程 x 2 +(a+1)x+a-2=0的一根大于零,另一根小于零,则A是B的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 思路分析 先化简两个条件,然后判断这两个条件之间的关系,也可直接利用两个集合之间
12、的关系来判断.,理科数学 第一章：集合与常用逻辑用语,解析由log2a1,得0a2;而方程x2+(a+1)x+a-2=0的一根大于零,另一根小于零的充要条件是f(0)0,即a-20,解得a2. 解法一(定义法)因为0a2a2, a20a2,所以0a2是a2的充分不必要条件,即A是B的充分不必要条件. 解法二(集合法)满足条件A的参数a的取值集合为M=a|0a2,满足条件B的参数a的取值集合为N=a|a2,显然MN,所以A是B的充分不必要条件. 答案 A,理科数学 第一章：集合与常用逻辑用语,示例3已知命题p:|x+1|2,命题q:5x-6 x 2 ,则q是 p的 A.充分不必要条件B.必要不充
13、分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 思路分析先化简p,q两个条件,然后利用等价转化法求解. 解析 (等价转化法)由|x+1|2得x1,所以p:x1;由5x-6 x 2 得2x3,所以q:2x3,所以p是q的必要不充分条件,即q是 p的必要不充分条件. 答案 B,理科数学 第一章：集合与常用逻辑用语,突破攻略 解决此类问题应该把握三个方面:一是准确化简条件,也就是求出每个条件对应的充要条件;二是注意问题的形式,看清“p是q的”还是“p的是q”,如果是第二种形式,要先转化为第一种形式,再判断;三是灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系,充分、必要条件的判断常通过“”来进行,即转化为两个命
14、题关系的判断,当较难判断时,可借助两个集合之间的关系来判断.,理科数学 第一章：集合与常用逻辑用语,拓展变式2数学文化题祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题,意思是两个同高的几何体,如果在等高处的截面积恒相等,那么体积相等.设A,B为两个同高的几何体,p:A,B的体积不相等,q:A,B在等高处的截面积不恒相等,根据祖暅原理可知,p是q的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件,理科数学 第一章：集合与常用逻辑用语,答案 A 解析 根据祖暅原理,“A,B在等高处的截面积恒相等”是“A,B的体积相等”的充分不必要条件,即q
15、是 p的充分不必要条件,故p是q的充分不必要条件,选A.,考法3 根据充分、必要条件求参数的取值范围,考法指导 解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系,然后列出有关参数的不等式(组)求解;涉及参数问题,直接解决较为困难时,可用等价转化思想,将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决,如将 p, q之间的关系转化成p,q之间的关系来求解.,示例4若已知p:|1- 1 3 |2,q:x2-2x+1-m20(m0),且 p是 q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 思路分析,理科数学 第一章：集合与常用逻辑用语,求出p,q对应的集合,得到关于m的不等式组,求
16、得m的取值范围,解析 解法一由x2-2x+1-m20(m0),得1-mx1+m,故q对应的集合为M=x|1-mx1+m,m0, q对应的集合为A=x|x1+m或x0. 由|1- 1 3 |2,得-2x10,故p对应的集合为N=x|-2x10, p对应的集合为B=x|x10或x0, 12, 1+10 或 0, 12, 1+10, 解得m9.,理科数学 第一章：集合与常用逻辑用语,解法二由x2-2x+1-m20(m0),得1-mx1+m, 故q对应的集合为M=x|1-mx1+m,m0, 由|1- 1 3 |2,得-2x10,故P对应的集合N=x|-2x10. 因为 p是 q的必要而不充分条件, 所
17、以q是p的必要而不充分条件,即p是q的充分而不必要条件,所以NM, 所以 0, 10, 12, 1+10, 解得m9,所以实数m的取值范围为9,+).,理科数学 第一章：集合与常用逻辑用语,温馨提示 求解参数取值范围时:(1)要注意对区间端点值的处理,尤其是利用两个集合之间的包含关系求解参数的取值范围时,不等式中的等号是否能够取得决定着端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象;(2)注意条件的等价变形.,理科数学 第一章：集合与常用逻辑用语,拓展变式3若x2m2-3是-1x4的必要不充分条件,则实数m的取值范围是 () A.-3,3 B.(-,-33,+) C. (,-11,+)D. -1,1,理科数学 第一章：集合与常用逻辑用语,答案 D 解析 x2m2-3是-1x4的必要不充分条件,(-1,4)(2m2-3,+),2m2-3-1,解得-1m1,故选D.,