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1、第一讲 函数及其表示,【高考帮理科数学】第二章：函数的概念与基本初等函数,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,考纲要求,命题规律,命题分析预测,考点1 函数的概念及表示,考点2 分段函数,考法1 求函数的定义域,考法2 求函数的解析式,考法3 求函数的值域,考法4 已知定义域或值域求参数问题,考法5 分段函数的应用,B考法帮题型全突破,C方法帮素养大提升,方法 分类讨论思想在函数中的应用,考法6 与函数有关的新定义问题,理科数学 第二章：函数的概念与基本初等函数,考情精解读,考纲要求 命题规律 命题分析预测,理科数学 第二章：函数的概念与基本初等函数,考纲要求,1.了解构成
2、函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单应用.,命题规律,命题规律,1.分析预测从近五年的考查情况来看,本节是高考中的一个热点,常以基本初等函数为载体,与不等式结合考查函数的定义域、值域、解析式的求法,尤其对分段函数的求值、求参问题考查频率较高,常以选择题或填空题的形式出现,分值5分,属于中低档题. 2.学科素养本讲重点考查数形结合思想、分类讨论思想的运用以及考生的数学运算能力和逻辑推理能力.,命题分析预测,A考点帮知识全通关,考点1 函数的概念及其表示
3、 考点2 分段函数,理科数学 第二章：函数的概念与基本初等函数,1.函数与映射的概念,考点1函数的概念及表示,理科数学 第二章：函数的概念与基本初等函数,2.构成函数的三要素 在函数y=f(x),xA中,自变量x的取值范围A叫作定义域,与x的值对应的y值叫作函数值,函数值的集合f(x)|xA叫作值域. 定义域、对应关系、值域是构成函数的三要素.,名师提醒,1.构成函数的集合A,B必须是非空数集. 2.判断两个函数是否相同,抓住两点:(1)定义域是否相同,(2)对应关系是否相同,其中解析式可以化简,但要注意化简过程的等价性.,名师提醒,1.构成函数的集合A,B必须是非空数集. 2.判断两个函数是
4、否相同,抓住两点:(1)定义域是否相同,(2)对应关系是否相同,其中解析式可以化简,但要注意化简过程的等价性.,理科数学 第二章：函数的概念与基本初等函数,3.函数的表示法 函数的表示法有三种,分别为解析法、列表法和图象法.,注意,函数图象的特征:与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点.利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象.,理科数学 第二章：函数的概念与基本初等函数,考点2 分段函数（重点）,在函数定义域内,对于自变量x取值的不同区间,有着不同的对应关系,这样的函数称为分段函数.分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.,名师提醒,1.分段函数虽由几个部分构成,但
5、它表示的是一个函数. 2.一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内,各段函数的定义域不可以相交.,B考法帮题型全突破,考法1 求函数的定义域 考法2 求函数的解析式 考法3 求函数的值域 考法4 已知定义域或值域求参数问题 考法5 分段函数的应用 考法6 与函数有关的新定义问题,理科数学 第二章：函数的概念与基本初等函数,考法1 求函数的定义域,考法指导1.求具体函数y=f(x)的定义域,y=f(x),由实际问题给出,用表格给出,用图象给出,用解析式给出,表格中实数x的集合,由实际问题的意义确定,图象在x轴上的投影所覆盖的实数x的集合,使解析式有意义的实数x的集合,(1)分式中,分母不为
6、0; (2)偶次方根中,被开方数非负; (3)对于 y=x 0 , 要求0,负指数的底数不为0; (4)对数函数中,真数大于0,底数大于0且不等于1; (5)指数函数的底数大于0且不等于1; (6)正切函数y=tan x要求+ 2 , k.,2.求复合函数的定义域 (1)若已知函数f(x)的定义域为a,b,则复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出; (2)若已知函数f(g(x)的定义域为a,b,则f(x)的定义域为g(x)在xa,b上的值域. 注意 (1)函数f(g(x)的定义域指的是x的取值范围,而不是g(x)的取值范围; (2)求函数的定义域时,对函数解析式先不要化简; (3
7、)求出函数的定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式; (4)函数f(x)g(x)的定义域是函数f(x),g(x)的定义域的交集. .,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,示例1 求下列函数的定义域: (1)f(x)= |2|1 lo g 2 (1) ;(2)f(x)= ln(+1) 2 3+4 . 思路分析 明确代数式中有意义的条件列出满足相应条件的不等式组求得结果 解析(1)要使函数f(x)有意义,则 |2|10, 10, 11, (列全限制条件) 解不等式组得x3.因此函数f(x)的定义域为3,+). (2)要使函数f(x)有意义,则 +10, 2 3+40, 即 1, (+4)(
8、1)0, 解不等式组得-1x1.因此函数f(x)的定义域为(-1,1).,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,示例2 若函数y=f(x)的定义域是0,2 018,则函数g(x)= (+1) 1 的定义域是 A.-1,2 017B.-1,1)(1,2 017 C.0,2 018D.-1,1)(1,2 018 思路分析 令t=x+1,利用已知进行转化列出不等式组解之得定义域 解析令t=x+1,则由已知函数y=f(x)的定义域为0,2 018可知f(t)中0t2 018,故要使函数f(x+1)有意义,则0 x+12 018,解得-1x2 017,故函数f(x+1)的定义域为-1,2 017.所
9、以函数g(x)有意义的条件是 12 017, 10, 解得-1x1或1x2 017.故函数g(x)的定义域为-1,1)(1,2 017. 答案B,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,考法2 求函数的解析式,考法指导求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法:若已知函数类型(如一次函数、二次函数等),可用待定系数法求解,例如,二次函数可设为f(x)=ax2+bx+c(a0),其中a,b,c是待定系数,根据题设条件,列出方程组,解出a,b,c即可. (2)换元法:主要解决已知复合函数f(g(x)的表达式求解函数f(x)的解析式的问题,令g(x)=t,解出x,即用t表示x,然后代入f(g(x)中
10、即可求得f(t),从而求得f(x).要注意新元的取值范围.,(3)配凑法:配凑法是将f(g(x)右端的代数式配凑成关于g(x)的形式,进而求出f(x)的解析式. (4)构造方程组法(消元法):已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还有其他未知量,如f( 1 ),f(-x)等,可令x为 1 ,-x等,得到另一个等式,通过解方程组求出f(x).此外,也可利用赋予特殊值的方法求出这个等式中的有关量,从而得f(x).在求解过程中注意分类讨论与整合、等价转化与化归等数学思想的灵活应用.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,示例3 已知二次函数f(2x+1)=4x2-6x+5,求f
11、(x). 思路分析 已知复合函数f(g(x)求f(x),可用换元法或配凑法求解.由于f(x)是二次函数,也可采用待定系数法求解. 解析解法一(换元法)令2x+1=t(tR),则x= 1 2 , 所以f(t)=4( 1 2 )2-6 1 2 +5=t2-5t+9(tR), 所以f(x)=x2-5x+9(xR).,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,解法二(配凑法)因为f(2x+1)=4x2-6x+5=(2x+1)2-10 x+4=(2x+1)2-5(2x+1)+9, 所以f(x)=x2-5x+9(xR). 解法三(待定系数法)因为f(x)是二次函数,所以设f(x)=ax2+bx+c(a0)
12、,则f(2x+1)=a(2x+1)2+b(2x+1)+c=4ax2+(4a+2b)x+a+b+c. 因为f(2x+1)=4x2-6x+5,所以 4=4, 4+2=6, +=5, 解得 =1, =5, =9, 所以f(x)=x2-5x+9(xR).,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,示例4已知f(x)满足2f(x)+f( 1 )=3x-1,求f(x). 思路分析注意等式左边两个变量的内在联系(互为倒数),构造一个新的等式,然后通过解方程组求得f(x)的解析式. 解析(构造方程组法)已知2f(x)+f( 1 )=3x-1, 以 1 代替中的x(x0),得2f( 1 )+f(x)= 3 -1
13、, 2-,得3f(x)=6x- 3 -1, 故f(x)=2x- 1 - 1 3 (x0).,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,温馨提示 求函数的解析式时要根据题目的类型采取相应的方法,同时要注意函数的定义域.如已知f( )=x+1,求函数f(x)的解析式,可通过换元的方法得f(x)=x2+1,函数f(x)的定义域是0,+),而不是(-,+).,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,考法3 求函数的值域,考法指导 求函数的值域,应根据解析式的结构特点,选择适当的方法,常用的方法有: (1)配方法:它是求“二次函数型函数”值域的基本方法,形如F(x)=af(x)2+bf(x)+c(a0
14、)的函数的值域问题,均可使用配方法,求解时要注意f(x)整体的取值范围. (2)分离常数法:形如y= + + (a0)的函数的值域,经常使用“分离常数法”求解. (3)换元法:适用于形如y=axb (ac0)的函数的值域问题.换元法求值域,一定要注意新元的范围对值域的影响. (4)不等式法:利用几个重要不等式及推论来求得最值,进而求得值域,如:a2+b22ab,a+b2 (a,b均为正实数),注意条件“一正、二定、三相等”.,(5)判别式法:把函数的解析式化为关于x的一元二次方程,利用判别式求值域.形如y=Ax+B 2 + (A,a中至少有一个不为零)或y= 2 + 2 + (a,d中至少有一
15、个不为零)的函数适用. (6)有界性法:充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性,求出值域, 如|sin |1,x20,ax0等. (7)单调性法:先判定函数的单调性,再由单调性求函数的值域. (8)数形结合法:若函数的解析式的几何意义较明显,如距离、斜率等,可用数形结合法求解值域. (9)导数法:利用导数求函数的值域时,一种是利用导数判断函数的单调性,进而根据单调性求值域;另一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,示例5求下列函数的值域: (1)y= 16 4 ; (2)y= 2 65 ;(3)y=x+ 1 2 ; (4)y= 2 +1 ;(
16、5)y= 2 +4+1 2 +1 ;(6)y= 2 1 2 +1 . 思路分析 根据函数解析式的特征选择适合的方法求值域. 解析(1)(单调性法)因为y=4x在R上单调递增,所以其值域为(0,+),所以016-4x16,所以0 16 4 16 =4,故函数y= 16 4 的值域是 0,4). (2)(配方法)因为y= 2 65 = (+3 ) 2 +4 4 =2,又y0,所以y= 2 65 的值域为0,2.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,(3)(三角换元法)因为1-x20,故-1x1,所以可设x=cos ,0, 则y=cos +sin = 2 sin(+ 4 ). 因为0,所以+
17、4 4 , 5 4 , 所以sin(+ 4 )- 2 2 ,1,所以 2 sin(+ 4 )-1, 2 , 所以原函数的值域为-1, 2 . (4)(不等式法)当x=0时,y=0.当x0时,y= 2 +1 = 1 + 1 , 若x0,则x+ 1 2,y(0, 1 2 ;若x0,x+ 1 -2,y- 1 2 ,0).即该函数的值域是- 1 2 , 1 2 .,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,(5)(判别式法)由原函数整理得(1-y)x2+4x+1-y=0. 当1-y=0,即y=1时,x=0; 当1-y0,即y1时,=16-4(1-y)20,即(1-y)24, 解得-1y3,所以-1y3
18、且y1. (要注意对二次项系数1-y的讨论) 综上,所求函数的值域为-1,3. (6)(有界性法)由y= 2 1 2 +1 , 可得x2= 1+ 1 ,且y1. (结合完全平方式非负的性质来转化) 由x20,知 1+ 1 0,解得-1y1,故所求函数y= 2 1 2 +1 的值域为-1,1).,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,拓展变式1 (1)y= 1sin 2cos ;(2)y= 35 2+1 .,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,解析 (1)设动点M(cos x,sin x),定点P(2,1),则y= 1sin 2cos 的几何意义是直线PM的斜率.而动点M在单位圆x2+
19、y2=1上. 如图,当直线PM和圆相切时斜率取得最值, 1 =0, 2 = 4 3 .所以函数的值域为0, 4 3 . (2)y= 35 2+1 = 3 2 (2+1) 13 2 2+1 = 13 2 2+1 + 3 2 3 2 , 所以所求函数的值域为y|yR且y 3 2 .,考法4 已知定义域或值域求参数问题,考法指导 已知函数的定义域或值域求参数问题的解题步骤 (1)调整思维方向,根据已知函数,将给出的定义域或值域问题转化为方程或不等式的解集问题; (2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围.,示例6已知函数y= +1 2 2 +3+1 的定义域为R,求实数k的值. 解析函数y
20、= +1 2 2 +3+1 的定义域即使k2x2+3kx+10的实数x的集合. 由函数的定义域为R,得方程k2x2+3kx+1=0无解. 当k=0时,函数y= +1 2 2 +3+1 =1,函数的定义域为R, 因此k=0符合题意;当k0时,k2x2+3kx+1=0无解, 即=9k2-4k2=5k20,不等式不成立. 所以实数k的值为0.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,示例7已知函数f(x)=-x2+4x+1,其中x-1,t,函数的值域为-4,5,则t的取值范围是. 解析函数f(x)=-x2+4x+1=-(x-2)2+5,对称轴方程为x=2, 且f(x)在-1,2上为增函数,f(-1
21、)=-4,f(2)=5, 因为x-1,t时,f(x)的值域为-4,5,所以t2, 由-x2+4x+1=-4,可得x=-1或5, 因为t5,所以实数t的取值范围为2,5.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,考法5 分段函数的应用,考法指导 1.求分段函数的函数值 求分段函数的函数值时,要先确定要求值的自变量属于哪一个区间,然后代入相应的解析式求值;当出现f(f(a)的形式时,应从内到外依次求值;当自变量的值所在区间不确定时,要分类讨论,分类标准应参照分段函数不同段的端点. 2.已知函数值(或函数值范围)求自变量的值(或范围) 方法1根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值(
22、或范 围)是否符合相应段的自变量的取值范围,最后将各段的结果合起来(求并集)即可; 方法2如果分段函数的图象易得,也可以画出函数图象后结合图象求解.,示例8已知f(x)= lo g 3 ,0, +,0, 且f(0)=2,f(-1)=3,则f(f(-3)= A.-2B.2C.3D.-3 思路分析 解析由题意得f(0)=a0+b=1+b=2,解得b=1;f(-1)=a-1+b=a-1+1=3,解得a= 1 2 . 故f(-3)=( 1 2 )-3+1=9,从而f(f(-3)=f(9)=log39=2. 答案B,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,根据已知f(0),f(-1)的值列方程,求出a
23、与b的值,进而求出f(f(-3)的值,点评对于函数的求值问题,将已知自变量或函数值代入函数解析式,建立方程即可求出函数值或自变量的值.注意:当自变量的值为代数式时,需整体代入解析式求值. 突破攻略 (1)在求分段函数的值f(x0)时,要先判断x0属于定义域的哪个子集,再代入相应的关系式;(2)分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集;(3)当自变量范围不确定时,要根据定义域分成的不同子集进行讨论.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,拓展变式2 设函数f(x)= ( 1 2 ) 7(0), (0), 若f(a)1,则实数a的取值范围是 A.(-,-3)B.(1,+)
24、 C.(-3,1)D.(-,-3)(1,+),理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,答案 C 解析 若a-3,故-3a0;若a0,则f(a)1 1,解得a1,故0a1.综合可得-3a1.故选C.,考法6 与函数有关的新定义问题,考法指导 解决与函数有关的新定义问题 (1)联想背景:有些题目给出的新函数是以熟知的初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等)为背景定义的,可以通过阅读材料,联想和类比、拆分或构造,将新函数转化为我们熟知的基本初等函数进行求解. (2)紧扣定义:对于题目定义的新函数,通过仔细阅读,分析定义以及新函数所满足的条件,围绕定义与条件来确定解题的方向,然后准确作
25、答. (3)巧妙赋值:如果题目所定义的新函数满足的条件是函数方程,可采用赋值法,即令x,y取特殊值,或为某一范围内的值,求得特殊函数值或函数解析式,再结合掌握的数学知识与方程思想来解决问题. (4)构造函数:有些新定义型函数可看成是由两个已知函数构造而成的.,示例9对于函数f(x),若存在常数a0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a-x),则称f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是 A.f(x)= B.f(x)=x2 C.f(x)=tan xD.f(x)=cos(x+1) 解析由题意可得准偶函数的图象关于直线x=a(a0)对称,即准偶函数的图象存在不是y轴的对称轴.选项A
26、,C中函数的图象不存在对称轴,选项B中函数的图象的对称轴为y轴,只有选项D中的函数满足题意. 答案D 点评若f(x)=f(2a-x)对定义域内任意x恒成立,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,反之亦然.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,拓展变式3若函数f(x)同时满足下列两个条件,则称该函数为“优美函数”: (1)xR,都有f(-x)+f(x)=0; (2)x1,x2R,且x1x2,都有 ( 1 )( 2 ) 1 2 0. f(x)=sin x;f(x)=-2x3;f(x)=1-x;f(x)=ln( 2 +1 +x). 以上四个函数中,“优美函数”的个数是 A.0B.1C.2
27、D.3,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,答案 B 解析 由条件(1),得f(x)是奇函数,由条件(2),得f(x)是R上的减函数. 对于,f(x)=sin x在R上不单调,故不是“优美函数”; 对于,f(x)=-2x3既是奇函数,又在R上单调递减,故是“优美函数”; 对于,f(x)=1-x不是奇函数,故不是“优美函数”; 对于,易知f(x)在R上单调递增,故不是“优美函数”. 故选B.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,C方法帮素养大提升,思想方法,理科数学 第二章：函数的概念与基本初等函数,分类讨论思想在函数中的应用 示例102015山东,10,5分理设函数f(x)= 31
28、,1, 2 ,1. 则满足 f(f(a)=2f(a)的a的取值范围是 A. 2 3 ,1 B.0,1C. 2 3 ,+)D.1,+),思想方法,思路分析由f(f(a)=2f(a),得f(a)1.若a1,则3a-11,解得 2 3 a1;若a1,则2a1,解得a1.综上,a的取值范围是 2 3 ,+). 答案 C 温馨提示 当自变量不确定时,要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,拓展变式4函数y=f(x)的图象是如图所示的折线段OAB,其中A(1,2),B(3,0),函数g(x)=xf(x), 那么函数g(x)的值域为 A.0,2B.0, 9 4 C
29、.0, 3 2 D.0,4,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,解析 由题图可知,直线OA的方程是y=2x;而kAB= 02 31 =-1,所以直线AB的方程为y=-(x-3)=-x+3.由题意知f(x)= 2,01, +3,13, 所以g(x)=x f(x)= 2 2 ,01, 2 +3,13. 当0 x1时,g(x)=2x20,2;当1x3时,g(x)=-x2+3x=-(x- 3 2 )2+ 9 4 ,显然,当x= 3 2 时,函数g(x)取得最大值 9 4 ;当x=3时,函数g(x)取得最小值0.综合上述,g(x)的值域为0,20, 9 4 ,即0, 9 4 .故选B.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,答案 B,