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1、第三章曲线拟合的最小二乘法一、曲线拟合的最小二乘法根据一组给定的实验数据点，求出的近似函数关系（1） 观测数据本身有误差（2） 反映实验数据规律的数学模型问题特点：所给数据本身不一定可靠，个别数据的误差甚至可能很大。研究目标：设法构造一条曲线（所谓拟合曲线）反映所给数据点总的趋势，以消除其局部波动与插值问题不同，不要求通过点（否则将保留着一切观测误差），只要求在给定点上的误差最小，即构造一条最佳拟合曲线节点误差(偏差)：最佳标准：1）：误差绝对值最大达到最小(不易算)2）：误差绝对值和最小(不易算)3）：误差平方和达到最小（或平方误差，常用，最小二乘拟合）定义1：给定数据点，假设拟合曲线的函数
2、形式为：其中为已知的线性无关函数。求系数，使得：称为最小二乘拟合函数若时称为最小二乘拟合多项式（S为误差平方和函数）注：若为定义在区间I上的n+1个函数满足：则称是个线性无关函数如：；线性无关如：在整个数轴上是线性相关，因为时二、最小二乘拟合多项式的求法如：， 为使 由极值点必要条件有： 即：(法方程组)最小二乘拟合多项式求解一般情况假设给定数据拟合多项式为：为使：由可得:（法方程组，见书P74）/注：系数矩阵关于主对角线对称，次对角线元素相等定理1：以上法方程组在互异时有解存在且唯一，而且其解即为的解（使误差取平方和最小的极小点）例1：已知一组实验数据如表所示.i1234xi2468yi21
3、12840试求最小二乘拟合曲线.解：作散点图，如图所示，说明它可用线性函数作曲 线拟合，即选择形如作为拟合曲线.这里，故法方程得所求的最小二乘拟合曲线为： 例2：求下列数据对应的最小二乘拟合多项式i123456xi012345yi531123解：做散点图接近抛物线，因此法方程组为：解得：从而：三、非线性模型的线性化定义2：若拟合函数与待定参数为线性关系，就称其为线性最小二乘拟合，如 若拟合函数与待定参数为非线性关系，就称其为非线性最小二乘拟合，如非线性模型有时可经过变换可化为线性模型，这些也应按线性模型处理。注：对于线性最小二乘由及可得到关于的线性法方程组例3：给定数据如下：i12345xi1.001.251.501.752.00yi5.105.796.537.458.46求的最小二乘拟合曲线.（指数模型）解：不是多项式，但两端取对数得.若令，则有，它是线性最小二乘拟合问题，为求得A和b,先将化为.转化后的数据表为故有法方程：解得，于是得最小二乘拟合曲线16