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1、第3讲 一次函数、反比例函数及二次函数,1一次函数 ykxb，当 k0 时，在实数集 R 上是增函数 当 k0 时，在实数集 R 上是减函数 k x 时，在(，0)，(0，)都是减函数，k0 时，(，0)，(0，,)都是增函数,2反比例函数y定义域为(，0)(0，)，当k0,3二次函数的解析式有三种形式,f(x)a(xh)2k(a0),(1)一般式：_,(h，k),(2)顶点式：_，顶点_ (3)两根式_，x1 ，x2 为二次函,f(x)a(xx1)(xx2)(a0),数图象与 x 轴两个交点的横坐标 4二次函数的图象及其性质,f(x)ax2bxc(a0),1若一次函数 ykxb 在(，)上是
2、减函数，则点(k，,),b)在直角坐标平面的( A上半平面,B下半平面,C左半平面,D右半平面,C,2函数 f(x)2x26x1 在区间1,1上的最小值是( ),A9,B,7 2,C3,D1,3已知：函数 f(x)x24(1a)x1 在1，)上是增函数，,则 a 的取值范围是_.,C,4将抛物线 y2(x1)23 向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，所得抛物线为_，其顶点坐标为_,bxc 在(，0)上的单调性为_,单调递增,y2x21,(0，1),考点1,二次函数的值域,例1：根据函数单调性求下列函数的值域 (1)f(x)x24x1，x4，3； (2)f(x)2x2x4，x3，1；
3、(3)f(x)2x24x1，x(1,3)； 1 2,(4)f(x)x2x1，x4,0,求二次函数在某个区间的最值，最容易出现的错 误就是直接代两头(将两端点代入)，当然这样做，有时答案也对， 那是因为在该区间函数刚好单调，这纯属巧合求二次函数在某 个区间的最值，应该配方，找到对称轴和顶点，结合图形求解,【互动探究】,图D6,考点2 含参数问题的讨论,的值,“区间固定对称轴动”以及“对称轴固定区间 动”是二次函数中分类讨论的最基本的两种题型，应引起足够的,【互动探究】,内单调递减，求 a 的取值范围,解法二f(x)x22(a2)xa(a4)， f(x)在区间(1,2)内单调递减， f(x)0在区
4、间(1,2)上恒成立， 二次函数f(x)x22(a2)xa(a4)的开口向上， f(1)a26a50且f(2)a240， 解得a的范围是2，1,考点3 二次函数的综合应用,(1)若 f(1)0 且对任意实数 x 均有 f(x)0 成立，求 F(x)的 表达式； (2)在(1)的条件下，当 x3,3时，g(x)f(x)kx 是单调函 数，求实数 k 的取值范围； (3)设 m0，n0，a0 且 f(x)为偶函数，求证：F(m) F(n)0.,当 x0 时，x0，F(x)f(x)f(x)F(x) F(x)是奇函数且 F(x)在(0，)上为增函数 由 m0，n0，知 mn0， 则 F(m)F(n)F
5、(m)F(n)即 F(m)F(n)0.,【互动探究】 3已知函数 f(x)x2kx 在2,4上是单调函数，则实数 k,的取值范围为_.,k4 或 k8,思想与方法,2运用分类讨论的思想探讨二次函数的最值 例题：已知二次函数 f(x)x216xq3.,(1)若函数在区间1,1上存在零点，求实数 q 的取值范围； (2)问是否存在常数 t(t0)，当 xt,10时，f(x)的值域为区间 D，且区间 D 的长度为 12t(视区间a，b的长度为 ba),解析：(1)f(x)x216xq3 的对称轴是 x8， f(x)在区间1,1上是减函数,函数在区间1,1上存在零点，则必有：,(2)0t10，f(x)
6、在区间0,8上是减函数，在区间8,10上是 增函数，且对称轴是 x8. 当0t6 时，在区间t,10上，f(t)最大，f(8)最小， f(t)f(8)12t，即t215t520，,当6t8 时，在区间t,10上，f(10)最大，f(8)最小， f(10)f(8)12t.解得t8.,当8t10 时，在区间t,10上，f(10)最大，f(t)最小， f(10)f(t)12t.即t217t720. 解得 t8,9，t9.,综上可知，存在常数t,，8,9 满足条件,“区间固定对称轴动”以及“对称轴固定区间 动”是二次函数中分类讨论的最基本的两种题型，本例中的二次 函数是对称轴x8 固定，而区间t,10不固定，因此需要讨论该区 间相对于对称轴的位置关系，即分0t6,6t8 及8t10 三种 情况讨论,1二次函数的解析式有三种形式：一般式、顶点式和两根式,根据已知条件灵活选用,2二次函数的单调性只与对称轴和开口方向有关系，因此单,调性的判断通常用数形结合法来判断,1求二次函数在某个区间的最值，不能只代两端点，应结合,图形(顶点)求解,2与二次函数有关的不等式恒成立的问题要注意二次项系数,为零的特殊情形,