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1、第2节函数的单调性与最值,考试要求借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义.,知 识 梳 理,1.函数的单调性,(1)单调函数的定义,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),上升的,下降的,(2)单调区间的定义 如果函数yf(x)在区间D上是_或_，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，_叫做函数yf(x)的单调区间.,增函数,减函数,区间D,2.函数的最值,f(x)M,f(x)M,f(x0)M,微点提醒,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),解析(2)此单调区间不能用并集符号连接，取x11，x21，则f(
2、1)f(1)，故应说成单调递减区间为(，0)和(0，). (3)应对任意的x1x2，f(x1)f(x2)成立才可以. (4)若f(x)x，f(x)在1，)上为增函数，但yf(x)的单调递增区间是R. 答案(1)(2)(3)(4),2.(必修1P39B3改编)下列函数中，在区间(0，)内单调递减的是(),答案A,答案2,4.(2019广东省际名校联考)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是(),答案D,5.(2019青岛调研)若函数f(x)(m1)xb在R上是增函数，则f(m)与f(1)的大小关系是(),A.f(m)f(1) B.f(m)0，所以m1，所以f(m)f(1). 答案A
3、,6.(2017全国卷)函数f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是(),A.(，2) B.(，1) C.(1，) D.(4，) 解析由x22x80，得x4或x2. 设tx22x8，则yln t为增函数. 要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数tx22x8的单调递增区间. 函数tx22x8的单调递增区间为(4，)， 函数f(x)的单调递增区间为(4，). 答案D,考点一确定函数的单调性(区间),答案D,解f(x)在1，2上单调递增，证明如下：,从而f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)， 故当a(1，3)时，f(x)在1，2上单调递增.,规律方法1.(1)求函数的单调区间，应先求定
4、义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接. 2.(1)函数单调性的判断方法有：定义法；图象法；利用已知函数的单调性；导数法. (2)函数yf g(x)的单调性应根据外层函数yf(t)和内层函数tg(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.,由于10，x110时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1，1)上单调递减； 当a0时，f(x1)f(x2)0， 即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1，1)上单调递增.,当a0时，f(x)0，函数f(x)在(1，1)上单调递增.,考点二求函
5、数的最值 【例2】 (1)已知函数f(x)axlogax(a0，且a1)在1，2上的最大值与最小值之和为loga26，则a的值为(),解析(1)f(x)axlogax在1，2上是单调函数， 所以f(1)f(2)loga26， 则aloga1a2loga2loga26， 即(a2)(a3)0，又a0，所以a2. (2)f(3)lg(3)21lg 101，f f(3)f(1)0，,规律方法求函数最值的四种常用方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”
6、的条件后用基本不等式求出最值. (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.,(2)画出函数M2x，2x3，6x的图象(如图)，由图可知，函数M在A(2，4)处取得最小值22624，故M的最小值为4.,答案(1)A(2)C,考点三函数单调性的应用多维探究 角度1利用单调性比较大小,解析由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y轴对称，故函数yf(x)的图象关于直线x1对称，,当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ac. 答案D,角度2求解函数不等式,解析当x0时，函数f(x)2x是减函数，则f(x)f(0)1. 作出f(x)的大致图象如图
7、所示，结合图象知，要使f(x1)f(2x)，,解得x1或1x0，即x0. 答案D,角度3求参数的值或取值范围,规律方法1.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组)或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值. 2.(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. (2)求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f”.,又log25log24.1220.8，且yf(x)在R上是增函数，所以abc. (2)因为f(x)x22ax(xa)2a2在1，2上为减函数，,要使g(x)在1，2上为减函数，需g(x)0，综上可知0a1. 答案(1)C(2)D,思维升华 1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤： (1)取值；(2)作差；(3)定号；(4)判断. 2.确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性. 3.求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法、利用基本不等式.,易错防范 1.区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.,