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1、第7节解三角形的实际应用,考试要求能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.,知 识 梳 理,1.仰角和俯角,在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线_叫仰角，目标视线在水平视线_叫俯角(如图1).,上方,下方,2.方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为(如图2). 3.方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30，北偏西45等. 4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.,微点提醒,1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混. 2.解决与平面几何有关的
2、计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)东北方向就是北偏东45的方向.() (2)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180.(),(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.() 解析(2)；(3)俯角是视线与水平线所构成的角. 答案(1)(2)(3)(4),2.(必修5P11例1改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为(),答案A
3、,3.(必修5P15练习T3改编)如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DCa，从C，D两点测得A点的仰角分别为60，30，则A点离地面的高度AB_.,解析由已知得DAC30，ADC为等腰三角形，,4.(2018济南月考)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的(),A.北偏东10 B.北偏西10 C.南偏东80 D.南偏西80 解析由条件及图可知，ACBA40， 又BCD60，所以CBD30， 所以DBA10， 因此灯塔A在灯塔B的南偏西80. 答案D,5.(2017浙江卷)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”
4、可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6_.,考点一求距离、高度问题多维探究 角度1测量高度问题,【例11】 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.,解析由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.,规律方法1.在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向
5、(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键. 2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错. 3.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.,【训练1】 如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB等于(),解析在BCD中，CBD1801530135.,在RtABC中，ACB60，,答案D,角度2测量距离问题 【例12】 如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的
6、山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登，已知ABC120，ADC150，BD1 km，AC3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰？(即从B点出发到达C点),解在ABD中，由题意知，ADBBAD30， 所以ABBD1 km，因为ABD120，,两个小时小王和小李可徒步攀登1 25022 500米，,所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰.,规律方法1.选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.
7、2.确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理. 【训练2】 海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东45的方向，且与A相距10海里的C处，沿北偏东105的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为_小时.,解析设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x小时，如图，则由已知得ABC中，AC10，AB21x，BC9x，ACB120. 由余弦定理得：(21x)2100(9x)22109xcos 120， 整理，得36x29x100，,考点二测量角度问题 【例2】 已知岛A南偏西38方向，距岛A
8、3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？,解如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC0.5x，AC5， 依题意，BAC1803822120， 由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos 120， 所以BC249，所以BC0.5x7，解得x14.,又BAD38，所以BCAD， 故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.,规律方法1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形
9、，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解. 2.方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.,【训练3】 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角CAD等于(),A.30 B.45 C.60 D.75,又CD50 m， 所以在ACD中，由余弦定理得,又0CAD180，所以CAD45， 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45. 答案B,考点三正(余)弦定理在平面几何中的应用,规律方法1.把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解. 2.寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果，求解时要灵活利用平面几何的性质，将几何性质与正弦、余弦定理有机结合起来.,(1)求sinBCE的值； (2)求CD的长.,所以CD7.,思维升华 利用解三角形解决实际问题时：(1)要理解题意，整合题目条件，画出示意图，建立一个三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函数模型中，要确定相应参数和自变量范围，最后还要检验问题的实际意义. 易错防范 在三角形和三角函数的综合问题中，要注意边角关系相互制约，推理题中的隐含条件.,