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1、第2课时导数与函数的极值、最值,考点一用导数研究函数的极值(多维探究) 命题角度一根据函数图象判断极值,【例11】 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是() A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2) D.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2),解析由题图可知，当x3，此时f(x)0；当22时，1x0，由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值.,答案D,命题角度二求函数的极值,【例12】
2、求函数f(x)xaln x(aR)的极值.,命题角度三已知极值求参数,若b1，c3，则f(x)x22x3(x3)(x1). 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：,规律方法(1)求函数f(x)极值的步骤： 确定函数的定义域； 求导数f(x)； 解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根； 列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号.如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值；如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值. (2)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同.应注意，导数为零的点不一定是极值点.对含参数的求极
3、值问题，应注意分类讨论.,【训练1】 设函数f(x)ax32x2xc(a0). (1)当a1，且函数图象过(0，1)时，求函数的极小值； (2)若f(x)在R上无极值点，求a的取值范围.,考点二利用导数求函数的最值,【例2】 (2017郑州模拟)已知函数f(x)(xk)ex. (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间0，1上的最小值. 解(1)由f(x)(xk)ex，得f(x)(xk1)ex， 令f(x)0，得xk1. 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：,所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)； 单调递增区间是(k1，). (2)当k10，即k1时，函数f(x)在0
4、，1上单调递增， 所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(0)k， 当0k11，即1k2时， 由(1)知f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1，1上单调递增， 所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(k1)ek1. 当k11，即k2时，函数f(x)在0，1上单调递减， 所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(1)(1k)e. 综上可知，当k1时，f(x)mink； 当1k2时，f(x)minek1；当k2时，f(x)min(1k)e.,规律方法求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数在(a，b)内的极值； (2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)； (3)将函数
5、f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.,考点三函数极值与最值的综合问题,令g(x)ax2(2ab)xbc，由于ex0. 令f(x)0，则g(x)ax2(2ab)xbc0， 3和0是yg(x)的零点，且f(x)与g(x)的符号相同. 又因为a0，所以30， 即f(x)0，当x0时，g(x)0，即f(x)0， 所以f(x)的单调递增区间是(3，0)， 单调递减区间是(，3)，(0，).,规律方法(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小. (2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论. (3)求函数在
6、无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.,【训练3】 (2017衡水中学月考)已知函数f(x)ax1ln x(aR). (1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数； (2)若函数f(x)在x1处取得极值，x(0，)，f(x)bx2恒成立，求实数b的最大值.,思想方法 1.利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分. 2.求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小. 3.可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同. 4.若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.,易错防范 1.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能. 2.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论. 3.解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f(x)0时的情况；区分极值点和导数为0的点.,