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1、第3讲数学归纳法及其应用,最新考纲1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.,知 识 梳 理,1.数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取_时命题成立； (2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当_时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.,第一个值n0(n0N*),nk1,2.数学归纳法的框图表示,诊 断 自 测,1.判断正误(在括号内打“”或“”) 精彩PPT展示 (1)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223
2、.() (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.() (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.() (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项.(),解析对于(2)，有些命题也可以直接证明；对于(3)，数学归纳法必须用归纳假设；对于(4)，由nk到nk1，有可能增加不止一项. 答案(1)(2)(3)(4),解析三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n3. 答案C,答案D,5.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，当第二步假设n2k1(kN*)命题为真时，进而需证n_时，命题亦真. 解析由于步长为2，所以2k
3、1后一个奇数应为2k1. 答案2k1,规律方法(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少. (2)由nk时等式成立，推出nk1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法.,【训练1】 求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*). 证明(1)当n1时，等式左边2，右边2，故等式成立； (2)假设当nk(kN*)时等式成立， 即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)， 那么当nk1时， 左边(k11)(k
4、12)(k1k1) (k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2) 2k135(2k1)(2k1)2 2k1135(2k1)(2k1)， 所以当nk1时等式也成立. 根据(1)(2)可知，对所有nN*等式成立.,规律方法应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 (1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法. (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证n k1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法.,规律方法(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“
5、归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性. (2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.,【训练3】 设函数f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的导函数. (1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求gn(x)的表达式； (2)若f(x)ag(x)恒成立，求实数a的取值范围.,思想方法 1.数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两个步骤缺一不可，否则就会导致错误.有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础. 2.归纳假设的作用 在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点： (1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证nk1时，必须用上归纳假设.,3.利用归纳假设的技巧 在推证nk1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设.此时既要看准目标，又要掌握nk与nk1之间的关系.在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用.,易错防范 1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1. 2.推证nk1时一定要用上nk时的假设，否则不是数学归纳法. 3.解“归纳猜想证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础，否则将会做大量无用功.,