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1、10.4 直线与圆锥曲线的位置关系,高考文数 (课标专用),考点一直线与圆锥曲线的位置关系 1.(2017课标全国,12,5分)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的 上方),l为C的准线,点N在l上且MNl,则M到直线NF的距离为() A.B.2C.2D.3,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,答案C本题考查直线与抛物线的位置关系,点到直线的距离. 解法一:由题知MF:y=(x-1),与抛物线y2=4x联立得3x2-10 x+3=0,解得x1=,x2=3,所以M(3,2), 因为MNl,所以N(-1,2),又因为F(1,0),所以NF:y=-(x-1).所以M到
2、直线NF的距离为 =2. 解法二:直线FM的倾斜角为60,又|FM|=|MN|,所以MNF为正三角形,于是直线NF与准线l成30角,从而|NF|=2p=4,则M到直线NF的距离为MNF的边NF上的高,d=|NF|=2.,方法总结涉及抛物线的焦点和准线时,应充分利用抛物线的定义.,2.(2018课标全国,20,12分)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点. (1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程; (2)证明:ABM=ABN.,解析(1)当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2). 所以直线BM的方程为y=x+
3、1或y=-x-1. (2)当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以ABM=ABN. 当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x10,x20. 由得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=,y1y2=-4. 直线BM,BN的斜率之和为 kBM+kBN=+=. 将x1=+2,x2=+2及y1+y2,y1y2的表达式代入式分子,可得 x2y1+x1y2+2(y1+y2)=0. 所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以ABM=ABN. 综上,ABM=ABN.,方法总结直线与圆锥曲线的位置关系的常见题型及解题策略: (1)求直
4、线方程.先寻找确定直线的两个条件.若缺少一个可设出此量,利用题设条件寻找关于该量的方程,解方程即可. (2)求线段长度或线段之积(和)的最值.可依据直线与圆锥曲线相交,利用弦长公式求出弦长或弦长关于某个量的函数,然后利用基本不等式或函数的有关知识求其最值;也可利用圆锥曲线的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离. (3)证明题.圆锥曲线中的证明问题多涉及定点、定值、角相等、线段相等、点在定直线上等,有时也涉及一些否定性命题,常采用直接法或反证法给予证明.借助于已知条件,将直线与圆锥曲线联立,寻找待证明式子的表达式,结合根与系数的关系及整体代换思想化简即可得证.,失分警示(1)由于忽略点M,N位
5、置的转换性,使直线BM方程缺失,从而导致失分; (2)由于不能将“ABM=ABN”正确转化为“kBM+kBN=0”进行证明,从而思路受阻,无法完成后续内容.,3.(2017课标全国,20,12分)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4. (1)求直线AB的斜率; (2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AMBM,求直线AB的方程.,解析本题考查直线与抛物线的位置关系. (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,y1=,y2=,x1+x2=4, 于是直线AB的斜率k=1. (2)由y=,得y=, 设M(x3,y3),由题设知=1, 解得x3=2,于是
6、M(2,1). 设直线AB的方程为y=x+m, 故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|. 将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0. 当=16(m+1)0,即m-1时,x1,2=22. 从而|AB|=|x1-x2|=4. 由题设知|AB|=2|MN|, 即4=2(m+1),解得m=7.,所以直线AB的方程为y=x+7.,方法总结(1)直线与抛物线的位置关系 点差法:在已知“x1+x2”或“y1+y2”的值,求直线l的斜率时,利用点差法计算,在很大程度上减少运算过程中的计算量. (2)直线与圆锥曲线的位置关系 已知直线与圆锥曲线相交,求参数时,一般联立直线与圆锥曲线的方程,消
7、元后利用韦达定理,结合已知列方程求解参数.求弦长时,可通过弦长公式|AB|=|x1-x2|= 或|AB|=|y1-y2|=(k0)求解.,4.(2016课标全国,20,12分)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H. (1)求; (2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.,解析(1)由已知得M(0,t),P.(1分) 又N为M关于点P的对称点,故N,ON的方程为y=x,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0, x2=. 因此H.(4分) 所以N为OH的中点
8、,即=2.(6分) (2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.(7分) 理由如下: 直线MH的方程为y-t=x,即x=(y-t).(9分) 代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.(12分),方法总结将直线与抛物线的交点坐标问题归结为直线方程与抛物线方程组成的方程组的解的问题.,思路分析(1)由点M求出点N的坐标,继而求得直线ON与抛物线的交点H的坐标.(2)思路1,先求出直线MH的方程,与抛物线方程联立,求出交点坐标,得到只有一个交点的结论.思路2,求出抛物线在H点切线的斜率,证明该斜率等于直线M
9、H的斜率,从而直线MH与抛物线相切,得到除H以外没有其他交点的结论.,评析本题考查了直线与抛物线的位置关系,考查了运算求解能力.得到交点的坐标是求解的关键.,考点二弦长、弦中点问题 1.(2014课标,10,5分,0.320)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,则|AB|=() A.B.6C.12D.7,答案C焦点F的坐标为,直线AB的斜率为,所以直线AB的方程为y=, 即y=x-,代入y2=3x,得x2-x+=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=, 所以|AB|=x1+x2+=+=12,故选C.,思路分析思路一:直接求出点A,B
10、的坐标,再利用两点间距离公式计算;思路二:联立直线与抛物线方程,消去y,利用抛物线定义及弦长公式求解.,2.(2018课标全国,20,12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中 点为M(1,m)(m0). (1)证明:k-; (2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且+=0.证明:2|=|+|.,解析本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系. (1)设A(x1,y1),B(x2,y2), 则+=1,+=1. 两式相减,并由=k得 +k=0. 由题设知=1,=m,于是k=-. 由题设得0m,故k-. (2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3), 则(x3-1,
11、y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0). 由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m0. 又点P在C上,所以m=,从而P,|=. 于是|=2-.,同理|=2-. 所以|+|=4-(x1+x2)=3. 故2|=|+|.,思路分析(1)利用“点差法”求得斜率k,利用AB中点坐标建立k与m的关系式,由m的范围得到k的范围. (2)根据题设+=0及点P在C上确定m,进一步得出|、|、|的关系.,解后反思(1)解决直线与椭圆的位置关系的常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后利用根与系数的关系建立方程,解决相关问题. (2)题中涉及弦的
12、中点坐标,可以采取“点差法”求解,设出点A、B的坐标,代入椭圆方程并作差,再将弦AB的中点坐标代入所得的差,可得直线AB的斜率.,3.(2016课标全国,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点. (1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明ARFQ; (2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.,解析由题设知F.设l1:y=a,l2:y=b,易知ab0, 且A,B,P,Q,R. 记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分) (1)由于F在线段AB上,故1+a
13、b=0. 记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则 k1=-b=k2. 所以ARFQ.(5分) (2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则SABF=|b-a|FD|=|b-a|,SPQF=. 由题设可得2|b-a|=,所以x1=0(舍去)或x1=1. 设满足条件的AB的中点为E(x,y). 当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得=(x1). 而=y,所以y2=x-1(x1).,当AB与x轴垂直时,E与D重合. 所以,所求轨迹方程为y2=x-1.(12分),易错警示容易漏掉直线AB与x轴垂直的情况而失分.,思路分析(1)设A,B的纵坐标分别为a,b,利用其在抛物线上,可得直线AB的方程(含a
14、,b),进而写出直线AR,FQ的斜率,证得ARFQ.(2)分别算出三角形ABF和三角形PQF的面积(含a,b),根据已知条件可得AB中点的坐标所满足的方程.,评析本题考查了直线与抛物线的位置关系;考查了线段的中点的轨迹问题;考查了运算求解的能力.本题中对三角形的面积关系的处理是求解的关键.,4.(2014大纲全国,22,12分)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|. (1)求C的方程; (2)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.,解析(1
15、)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=. 所以|PQ|=,|QF|=+x0=+. 由题设得+=,解得p=-2(舍去)或p=2. 所以C的方程为y2=4x.(5分) (2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m0).代入y2=4x得y2-4my-4=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4. 故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1). 又l的斜率为-m,所以l的方程为x=-y+2m2+3. 将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0. 设M(x3,y3),N(x4,y4).则y
16、3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3). 故MN的中点为E,|MN|=|y3-y4|=.(10分) 由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE,|2=|MN|2, 即4(m2+1)2+=, 化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1. 所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(12分),评析本题主要考查抛物线的定义、标准方程及直线与抛物线的位置关系等知识,着重考查概念的理解运用能力、运算变形能力及分类讨论思想.,评析本题主要考查抛物线的定义、标准方程及直线与抛物线的位置关系等知识,着重考查概念的理解运用能力、运算变
17、形能力及分类讨论思想.,考点一直线与圆锥曲线的位置关系 1.(2014湖南,14,5分)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是.,B组 自主命题省（区、市）卷题组,答案(-,-1)(1,+),解析设机器人为A(x,y),依题意得点A在以F(1,0)为焦点,x=-1为准线的抛物线上,该抛物线的标准方程为y2=4x. 过点P(-1,0),斜率为k的直线为y=k(x+1). 由得ky2-4y+4k=0. 当k=0时,显然不符合题意; 当k0时,依题意得=(-4)2-4k4k0,解得k1或k-
18、1,因此k的取值范围为(-,-1)(1,+).,评析本题考查抛物线的定义及标准方程,直线与抛物线的位置关系.,2.(2018江苏,18,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点,焦点F1(-,0),F2(, 0),圆O的直径为F1F2. (1)求椭圆C及圆O的方程; (2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P. 若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标; 直线l与椭圆C交于A,B两点.若OAB的面积为,求直线l的方程.,解析本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识,考查分析问题能力和运算求解能力. 解法一:(1)
19、因为椭圆C的焦点为F1(-,0),F2(,0), 所以可设椭圆C的方程为+=1(ab0). 又点在椭圆C上,所以 解得 因此,椭圆C的方程为+y2=1. 因为圆O的直径为F1F2, 所以其方程为x2+y2=3. (2)设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x00,y00),则+=3. 所以直线l的方程为y=-(x-x0)+y0,即y=-x+. 由消去y,得 (4+)x2-24x0 x+36-4=0.(*) 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以=(-24x0)2-4(4+)(36-4)=48(-2)=0. 因为x0,y00,所以x0=,y0=1. 因此,点P的坐标为(,1).,因为三角形O
20、AB的面积为,所以ABOP=,从而AB=. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由(*)得x1,2=, 所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2,=. 因为+=3, 所以AB2=,即2-45+100=0. 解得=(=20舍去),则=,因此P的坐标为. 则直线l的方程为y=-x+3. 解法二:(1)由题意知c=,所以圆O的方程为x2+y2=3,因为点在椭圆上, 所以2a=+=4,所以a=2. 因为a2=b2+c2,所以b=1, 所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)由题意知直线l与圆O和椭圆C均相切,且切点在第一象限,所以直线l的斜率k存在且k0),将直线l的方程代入圆O的方程,得x2
21、+(kx+m)2=3, 整理得(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0, 因为直线l与圆O相切,所以=(2km)2-4(k2+1)(m2-3)=0,整理得m2=3k2+3, 将直线l的方程代入椭圆C的方程,得+(kx+m)2=1, 整理得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0, 因为直线l与椭圆C相切, 所以=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)=0, 整理得m2=4k2+1, 所以3k2+3=4k2+1,因为k0,所以k=-,则m=3, 将k=-,m=3代入(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0, 整理得x2-2x+2=0, 解得x1=x2=,将x=代入x2+y2=3, 解得
22、y=1(y=-1舍去),所以点P的坐标为(,1). 设A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),由知m2=3k2+3,且k0, 因为直线l和椭圆C相交,所以结合的过程知m24k2+1,解得k-, 将直线l的方程和椭圆C的方程联立可得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0, 解得x1,2=, 所以|x1-x2|=, 因为AB=|x1-x2|=, O到l的距离d=, 所以SOAB= =, 解得k2=5,因为k0,所以k=-,则m=3, 即直线l的方程为y=-x+3.,解后反思(1)常用待定系数法求圆锥曲线方程. (2)直线与圆相切,常见解题方法是设切点求切线方程,由于涉及直线与椭圆相切
23、,因此也可设出直线方程求解. 因为AOB的面积为,而AOB的高为,所以解题关键是求AB的长,可利用弦长公式 AB=|x1-x2|(x1、x2分别为A、B的横坐标)求解.,3.(2015北京,20,14分)已知椭圆C:x2+3y2=3.过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x=3交于点M. (1)求椭圆C的离心率; (2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率; (3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由.,解析(1)椭圆C的标准方程为+y2=1. 所以a=,b=1,c=. 所以椭圆C的离心率e=. (2)因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴, 所
24、以可设A(1,y1),B(1,-y1). 直线AE的方程为y-1=(1-y1)(x-2). 令x=3,得M(3,2-y1). 所以直线BM的斜率kBM=1. (3)直线BM与直线DE平行.证明如下: 当直线AB的斜率不存在时,由(2)可知kBM=1. 又因为直线DE的斜率kDE=1,所以BMDE. 当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1)(k1). 设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AE的方程为y-1=(x-2).,令x=3,得点M. 由得(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0. 所以x1+x2=,x1x2=. 直线BM的斜率kBM=. 因为kBM-1= = = =0
25、, 所以kBM=1=kDE. 所以BMDE.,综上可知,直线BM与直线DE平行.,评析本题考查椭圆的离心率、直线的斜率以及直线与椭圆的位置关系等知识,考查学生的运算求解能力和推理论证能力,是一道综合题,属于难题.,4.(2015福建,19,12分)已知点F为抛物线E:y2=2px(p0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3. (1)求抛物线E的方程; (2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.,解析(1)由抛物线的定义得|AF|=2+. 因为|AF|=3,即2+=3,解得p=2, 所以抛物线E的方程为y2=4x
26、. (2)解法一:因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上, 所以m=2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2). 由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1). 由得2x2-5x+2=0, 解得x=2或x=,从而B. 又G(-1,0), 所以kGA=,kGB=-, 所以kGA+kGB=0,从而AGF=BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等, 故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.,解法二:设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r. 因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上, 所以m=2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2). 由A(2,2),F(1
27、,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1). 由得2x2-5x+2=0, 解得x=2或x=,从而B. 又G(-1,0),故直线GA的方程为2x-3y+2=0, 从而r=. 又直线GB的方程为2x+3y+2=0, 所以点F到直线GB的距离d=r. 这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.,评析本题主要考查抛物线、直线与圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.,5.(2015湖南,20,13分)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(ab0)的一个焦点,C1 与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C
28、1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且与 同向. (1)求C2的方程; (2)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率.,评析本题主要考查抛物线、直线与圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.,解析(1)由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1).因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2-b2=1. 又C1与C2的公共弦的长为2,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公 共点的坐标为,所以+=1. 联立,得a2=9,b2=8.故C2的方程为+=1. (2)如图,设A(x1,y1),B(x2
29、,y2),C(x3,y3),D(x4,y4). 因与同向,且|AC|=|BD|,所以=,从而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4) 2-4x3x4. 设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1. 由得x2-4kx-4=0.而x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.,由得(9+8k2)x2+16kx-64=0. 而x3,x4是这个方程的两根, 所以x3+x4=-,x3x4=-. 将,代入,得16(k2+1)=+, 即16(k2+1)=,所以(9+8k2)2=169,解得k=,即直线l的斜率为.,考点二弦长、弦
30、中点问题 1.(2018北京,20,14分)已知椭圆M:+=1(ab0)的离心率为,焦距为2.斜率为k的直线 l与椭圆M有两个不同的交点A,B. (1)求椭圆M的方程; (2)若k=1,求|AB|的最大值; (3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点Q共线,求k.,解析(1)由题意得 解得a=,b=1. 所以椭圆M的方程为+y2=1. (2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2). 由得4x2+6mx+3m2-3=0. 所以x1+x2=-,x1x2=. |AB|=. 当m=0,即直线l过原点时,|AB|最大,
31、最大值为. (3)设A(x1,y1),B(x2,y2). 由题意得+3=3,+3=3.,直线PA的方程为y=(x+2). 由得(x1+2)2+3x2+12x+12-3(x1+2)2=0. 设C(xC,yC). 所以xC+x1=. 所以xC=-x1=. 所以yC=(xC+2)=. 设D(xD,yD).同理得xD=,yD=. 记直线CQ,DQ的斜率分别为kCQ,kDQ, 则kCQ-kDQ=-=4(y1-y2-x1+x2).,因为C,D,Q三点共线,所以kCQ-kDQ=0. 故y1-y2=x1-x2. 所以直线l的斜率k=1.,2.(2014辽宁,20,12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y
32、轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图). (1)求点P的坐标; (2)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线l:y=x+交于A,B两点.若PAB的面积为2,求C的标 准方程.,解析(1)设切点坐标为(x0,y0)(x00,y00),则切线斜率为-,切线方程为y-y0=-(x-x0),即x0 x+y0y =4.此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=,由+=42x0y0 知当且仅当x0=y0=时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(,). (2)设C的标准方程为+=1(ab0),点A(x1,y1),B(x2,y2).由点P在C上知+=1,并由 得b2
33、x2+4x+6-2b2=0, 又x1,x2是方程的根,因此 由y1=x1+,y2=x2+,得|AB|=|x1-x2|=. 由点P到直线l的距离为及SPAB=|AB|=2得b4-9b2+18=0,解得b2=6或3,因此b2=6,a2=3(舍),或b2=3,a2=6,从而所求C的方程为+=1.,3.(2014陕西,20,13分)已知椭圆+=1(ab0)经过点(0,),离心率为,左,右焦点分别为F1 (-c,0),F2(c,0). (1)求椭圆的方程; (2)若直线l:y=-x+m与椭圆交于A,B两点,与以F1F2为直径的圆交于C,D两点,且满足=, 求直线l的方程.,评析本题考查了直线、圆、椭圆之
34、间的位置关系;考查了待定系数法和运算求解能力;灵活利用不等式和根与系数的关系进行运算是求解的关键.,解析(1)由题设知 解得a=2,b=,c=1, 椭圆的方程为+=1. (2)由(1)知,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1, 圆心到直线l的距离d=,由d1得|m|.(*) |CD|=2=2=. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由得x2-mx+m2-3=0, 由根与系数的关系可得x1+x2=m,x1x2=m2-3.,|AB|=. 由=得=1, 解得m=,满足(*). 直线l的方程为y=-x+或y=-x-.,评析本题主要考查椭圆的方程及性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查
35、抽象概括能力、推理能力及运算求解能力.考查了转化与化归思想、函数与方程的思想.,考点一直线与圆锥曲线的位置关系 1.(2013课标,10,5分,0.360)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为() A.y=x-1或y=-x+1 B.y=(x-1)或y=-(x-1) C.y=(x-1)或y=-(x-1) D.y=(x-1)或y=-(x-1),C组 教师专用题组,答案C设直线AB与抛物线的准线x=-1交于点C.分别过A、B作AA1垂直准线于A1,BB1垂直准线于B1,由抛物线的定义可设|BF|=|BB1|=t,|AF|=|AA1|=
36、3t.由三角形的相似得=,| BC|=2t,B1CB=,直线的倾斜角=或. 又F(1,0),直线AB的方程为y=(x-1)或y=-(x-1).故选C.,2.(2012课标全国,20,12分)设抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,准线为l.A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点. (1)若BFD=90,ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程; (2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.,解析(1)由已知可得BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p. 由抛物线定义可知A到l的距离d
37、=|FA|=p. 因为ABD的面积为4,所以|BD|d=4,即2pp=4, 解得p=-2(舍去)或p=2. 所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8. (2)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,ADB=90. 由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|, 所以ABD=30,m的斜率为或-. 当m的斜率为时,由已知可设n:y=x+b,代入x2=2py得x2-px-2pb=0. 由于n与C只有一个公共点,故=p2+8pb=0. 解得b=-. 因为m在y轴上的截距b1=,所以=3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.当m的斜率为-,时,由图形对称性可知,坐标原点到m,
38、n距离的比值为3.,3.(2011课标,20,12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上. (1)求圆C的方程; (2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OAOB,求a的值.,解析(1)曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+2,0),(3-2,0). 故可设C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=(2)2+t2,解得t=1.则圆C的半径为=3. 所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组: 消去y,得到方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1
39、=0. 由已知可得,判别式 =56-16a-4a20. 因此x1,2=,从而x1+x2=4-a,x1x2=. 由于OAOB,可得x1x2+y1y2=0.又y1=x1+a,y2=x2+a,所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0. 由,得a=-1,满足0,故a=-1.,评析本题考查圆的方程的求法,曲线交点的求法,根与系数的关系和一元二次方程的求根公式等基础知识和基本方法.对运算能力的要求较高,对数形结合思想、函数与方程的思想,化归与转化的思想的考查较为全面、深入.难度较大.,4.(2014湖北,22,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹
40、为C. (1)求轨迹C的方程; (2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.,解析(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即=|x|+1, 化简整理得y2=2(|x|+x). 故点M的轨迹C的方程为y2= (2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x,即当k(-,-1)时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点, 故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点. 若或由解得k或-k0, 即当k时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点. 当k时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共
41、点. 故当k时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点. 若由解得-1k-或0k, 即当k时,直线l与C1有两个公共点,与C2有一个公共点, 故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点. 综合(i)(ii)可知,当k(-,-1)0时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k,时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k时,直线l与轨迹C恰好有 三个公共点.,评析本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查了分类讨论思想.,考点二弦长、弦中点问题 (2010课标,20,12分)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0b1)的左,右焦点,过F1的直线l与E相交 于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (
42、1)求|AB|; (2)若直线l的斜率为1,求b的值. 解析(1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4, 又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=. (2)l的方程为y=x+c, 其中c=. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点坐标满足方程组 化简得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0. 则x1+x2=,x1x2=.,因为直线AB的斜率为1, 所以|AB|=|x2-x1|,即=|x2-x1|. 则=(x1+x2)2-4x1x2=-=,解得b=.,评析本题考查椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思
43、想.,考点一直线与圆锥曲线的位置关系 1.(2018辽宁朝阳一模)抛物线C:y2=2px(p0)的准线与x轴的交点为M,过点M作C的两条切线,切点分别为P,Q,则PMQ=.,三年模拟,A组 20162018年高考模拟基础题组,答案,解析由题意得M,设过点M的切线方程为x=my-,代入y2=2px得y2-2pmy+p2=0,=4p2 m2-4p2=0,m=1,则k=1,MQMP,因此PMQ=.,2.(2018内蒙古呼和浩特第一次质量普查)已知椭圆C的中心在原点,其中一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程; (2)设椭圆的左,右焦点分别为F1,F2,过F2的直线
44、l与椭圆C相交于A,B两点,若AF1B的面积为,求以F1为圆心且与直线l相切的圆的方程.,解析抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0), 设椭圆的方程为+=1(ab0),由题意得a2-b2=c2=1, 又点在椭圆上,于是 故椭圆C的方程为+=1. (2)设直线l的方程为x=my+1, 由得(3m2+4)y2+6my-9=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1+y2=,y1y2=, |AB|=, 点F1到直线l的距离为d=,所以=d|AB|=, 解得m2=2, 设所求圆的半径为r, 则r=, 所以此圆方程为(x+1)2+y2=.,3.(2017辽宁锦州质检(二)已知椭圆C:+=1(a
45、b1)的左焦点F与抛物线y2=-4x的焦点重合, 过点F的直线与C交于A、B两点,直线x-y+=0与以原点O为圆心,椭圆的离心率e为半径的圆 相切. (1)求该椭圆C的方程; (2)设点P的坐标为,若|PA|=|PB|,求直线AB的方程.,解析(1)依题意,得c=1,e=,即=,a=2,b=,所求椭圆C的方程为+= 1. (2)若直线AB斜率不存在,即AB:x=-1,满足|PA|=|PB|. 若直线AB的斜率存在,设为k,则直线AB的方程为y=k(x+1), 将其代入+=1,整理得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0,0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=,y1
46、+y2=k(x1+1)+k(x2+1)=, AB的中点G,根据题意知PGAB, k=-1,解得k=, 直线AB的方程为y=(x+1).,综上,直线AB的方程为x=-1或y=(x+1).,4.(2017吉林大学附中八模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点是原点,以x轴为对称轴,且经过点P(1,2). (1)求抛物线C的方程; (2)设点A,B在抛物线C上,直线PA,PB分别与y轴交于点M,N,|PM|=|PN|.求直线AB的斜率.,解析(1)依题意,设抛物线C的方程为y2=ax(a0). 由抛物线C经过点P(1,2),得22=a1, 解得a=4, 所以抛物线C的方程为y2=4x. (2)因
47、为|PM|=|PN|,所以PMN=PNM, 所以直线PA与PB的倾斜角互补,又易知直线PA,PB的斜率存在,且不为0,所以两直线斜率互为相反数. 设直线AP的方程为y-2=k(x-1)(k0),将其代入抛物线C的方程,整理得k2x2-2(k2-2k+2)x+k2-4k+4=0. 设A(x1,y1),则1x1=,y1=k(x1-1)+2=-2,所以A. 以-k替换点A坐标中的k,得B. 所以kAB=-1.即直线AB的斜率为-1.,考点二弦长、弦中点问题 1.(2018甘肃兰州第二次实战考试)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足,若直线
48、AF的斜率k=-,则线段PF的长为() A.4B.5C.6D.7,答案C抛物线的方程为y2=6x, 焦点为F,准线l的方程为x=-. 直线AF的斜率k=-, 直线AF的方程为y=-,当x=-时,y=3,即A. PAl,A为垂足, P点的纵坐标为3,代入到抛物线方程,得P点的坐标为. |PF|=|PA|=-=6.故选C.,2.(2017内蒙古包头一模)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,倾斜角为钝角的直线l过F且与C交于A,B两点,若|AB|=,则l的斜率为() A.-1B.-C.-D.-,答案D抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),设直线l的方程为y=k(x-1),与抛物线方程联立得k2x2
49、-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=,而|AB|=x1+x2+2=+2=,解得k2=3,因为 倾斜角为钝角,所以k=-,故选D.,3.(2018黑龙江哈尔滨三中一模)直线l与抛物线y2=4x相交于不同两点A,B,若M(x0,4)是AB中点,则直线l的斜率k=.,答案,解析设A(x1,y1),B(x2,y2), 直线l与抛物线y2=4x相交于不同两点A,B, =4x1,=4x2,两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2), M(x0,4)是AB中点,8(y1-y2)=4(x1-x2), =,即直线l的斜率k=.,4.(2018黑龙江齐齐哈尔一模)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点M在l上,且在x轴上方,线段FM依次与抛物线、y轴交于点P,N,若P是FN中点,O是原点,则直线OM的斜率为.,答案-4,解析由题意得F(1,0),xP=,yP=, 直线PF:y=-2(x-1), yM=-2(-1-1)=4,kOM=-4.,5.(2017青海西宁一模)已知点P(2,1),若抛物线y2=4x的一条弦AB恰好以P为中点,则