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1、第4讲幂函数与二次函数,知 识 梳 理,1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如_的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数. (2)常见的5种幂函数的图象,yx,(3)常见的5种幂函数的性质,0，),y|yR，,且y0,2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)_. 顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标为_. 零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质,ax2bxc(a0),(m，n),诊 断 自 测,1.判断正误(在括号内打“”或“”) 精彩PPT展示,答案(1)(2)(3)(4),答案A,3
2、.已知f(x)x2pxq满足f(1)f(2)0，则f(1)的值是() A.5 B.5 C.6 D.6 解析由f(1)f(2)0知方程x2pxq0的两根分别为1，2，则p3，q2，f(x)x23x2，f(1)6. 答案C,4.若幂函数y(m23m3)xm2m2的图象不经过原点，则实数m的值为_.,答案1或2,5.若函数f(x)x22(a1)x2在区间(，3上是减函数，则实数a的取值范围是_. 解析二次函数f(x)图象的对称轴是x1a，由题意知 1a3，a2. 答案(，2,答案(1)C(2)D,规律方法(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性； (2)的正负：当0时，图象过原点和(1，1
3、)，在第一象限的图象上升；当0时，图象不过原点，过(1，1)，在第一象限的图象下降. (3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.,【训练1】 (1)幂函数yf(x)的图象过点(4，2)，则幂函数yf(x)的图象是(),(2)已知幂函数f(x)(n22n2)xn 23n(nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为() A.3 B.1 C.2 D.1或2,答案(1)C(2)B,考点二二次函数的图象与性质 【例2】 (2017兰州调研)已知函数f(x)x22ax3，x4，6. (1)当a2时，求f
4、(x)的最值； (2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4，6上是单调函数； (3)当a1时，求f(|x|)的单调区间.,解(1)当a2时，f(x)x24x3(x2)21，由于x4，6， f(x)在4，2上单调递减，在2，6上单调递增， f(x)的最小值是f(2)1，又f(4)35，f(6)15， 故f(x)的最大值是35. (2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是xa，所以要使f(x)在4，6上是单调函数，应有a4或a6，即a6或a4， 故a的取值范围是(，64，).,又x4，6，f(|x|)在区间4，1)和0，1)上为减函数，在区间1，0)和1，6上为增函数.,规律方法解决二次函
5、数图象与性质问题时要注意： (1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论； (2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍.,【训练2】 (1)设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是(),(2)(2017武汉模拟)若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_.,答案(1)D(2)2x24,考点三二次函数的应用(多维探究) 命题角度一二次函数的恒成立问题 【例31】 已知二次函数f(x)ax
6、2bx1(a，bR)，xR. (1)若函数f(x)的最小值为f(1)0，求f(x)的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f(x)xk在区间3，1上恒成立，试求k的取值范围.,答案B,规律方法(1)对于函数yax2bxc，若是二次函数，就隐含着a0，当题目未说明是二次函数时，就要分a0和a0两种情况讨论. (2)由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是af(x)af(x)max，af(x)af(x)min. (3)涉及二次函数的零点常与判别式有关，常借助函数的图象的直观性实施数形转化.,【训练3】 (1)(2016九江模拟)已知f(x)x22(
7、a2)x4，如果对x3，1，f(x)0恒成立，则实数a的取值范围为_. (2)(2017枣庄一模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)x22x，如果函数g(x)f(x)m(mR)恰有4个零点，则m的取值范围是_.,思想方法 1.幂函数yx(R)图象的特征 0时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；0时，图象不过原点，经过(1，1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立. 2.求二次函数的解析式就是确定函数式f(x)ax2bxc(a0)中a，b，c的值.应根据题设条件选用适当的表达形式，用待定系数法确定相应字母的值.,3.二次函数与一元二次不等式密切相关，借助二次函数的图象和性质，可直观地解决与不等式有关的问题. 4.二次函数的单调性与对称轴紧密相连，二次函数的最值问题要根据其图象以及所给区间与对称轴的关系确定.,易错防范 1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. 2.对于函数yax2bxc，要认为它是二次函数，就必须满足a0，当题目条件中未说明a0时，就要讨论a0和a0两种情况.,