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1、一元二次方程实数根错例剖析课,初中数学第四册教案一元二次方程题100道课题：一元二次方程实数根错例剖析课 精选学生在解一元二次方程有关问题时出现的典型错例加以剖析，帮助学生找出产生错误的缘由和订正错误的方法，使学生在解题时少犯错误，从而培育学生思维的批判性和深刻性。 1、关于x的方程ax2+bx+c=0，当a_时，方程为一元一次方程；当 a_时，方程为一元二次方程。2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式=_，当_时，方程有两个相等的实数根，当_时，方程有两个不相等的实数根，当_时，方程没有实数根。 例1 下列方程中两实数根之和为2的方程是（）(A) x2+2x+30 (B)
2、x2-2x+30 (c) x2-2x-30 (D) x2+2x+30错答： B正解： C错因剖析：由根与系数的关系得x1+x22，极易误选B，又考虑到方程有实数根，故由可知，方程B无实数根，方程C合适。例2 若关于x的方程x2+2(k+2)x+k20 两个实数根之和大于-4，则k的取值范围是（ ）(A) k-1 (B) k0 (c) -1 k0 (D) -1k0错解 ：B正解：D错因剖析：漏掉了方程有实数根的前提是0例3（2000广西中考题） 已知关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2 x-10有两个不相等的实根，求k的取值范围。错解: 由(-2 )2-4(1-2k)(-1) -4k+80得
3、 k2又k+10k -1。即 k的取值范围是 -1k2错因剖析：漏掉了二次项系数1-2k0这个前提。事实上，当1-2k0即k 时，原方程变为一次方程，不行能有两个实根。正解： -1k2且k例4 （2002山东太原中考题） 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+10的两个实数根，当x12+x22=15时，求m的值。错解：由根与系数的关系得 x1+x2 -（2m+1）, x1x2m2+1, x12+x22(x1+x2)2-2 x1x2 -（2m+1）2-2（m2+1） 2 m2+4 m-1 又 x12+x22=15 2 m2+4 m-1=15 m1 -4 m2 2 错因剖
4、析：漏掉了一元二次方程有两个实根的前提条件是判别式0。因为当m -4时，方程为x2-7x+170，此时（-7）2-4171 -190，方程无实数根，不符合题意。正解：m 2例5 若关于 x的方程(m2-1)x2-2 (m+2)x+10有实数根，求m的取值范围。错解：-2(m+2)2-4(m2-1) 16 m+20 0 16 m+200， m -5/4 又 m2-10， m1 m的取值范围是m1且m - 错因剖析：此题只说(m2-1)x2-2 (m+2)x+10是关于未知数x的方程，而未限定方程的次数，所以在解题时就必需考虑m2-10和m2-10两种状况。当m2-10时，即m1时，方程变为一元一
5、次方程，仍有实数根。正解：m的取值范围是m-例6 已知二次方程x2+3 x+a0有整数根，a是非负数，求方程的整数根。错解：方程有整数根，9-4a0，则a2.25又a是非负数，a1或a2令a1，则x -3 ，舍去；令a2，则x1 -1、 x2 -2方程的整数根是x1 -1， x2 -2错因剖析：概念模糊。非负整数应包括零和正整数。上面答案仅是一部分，当a0时，还可以求出方程的另两个整数根，x30， x4 -3正解：方程的整数根是x1 -1， x2 -2 ， x30， x4 -3练习1、（01济南中考题）已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x1、x2。（1）求k的
6、取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？假如存在，求出k的值；假如不存在，请说明理由。解：（1）依据题意，得(2k-1)2-4 k20 解得k当k 时，方程有两个不相等的实数根。（2）存在。假如方程的两实数根x1、x2互为相反数，则x1+ x2= - =0，解得k 。经检验k 是方程- 的解。当k 时，方程的两实数根x1、x2互为相反数。读了上面的解题过程，请推断是否有错误？假如有，请指出错误之处，并干脆写出正确答案。解：上面解法错在如下两个方面：（1）漏掉k0，正确答案为：当k 时且k0时，方程有两个不相等的实数根。（2）k 。不满意0，正确答案为：不存在实数k，使方程的
7、两实数根互为相反数练习2（02广州市）当a取什么值时，关于未知数x的方程ax2+4x-10只有正实数根 ?解：（1）当a0时，方程为4x-10，x（2）当a0时，16+4a0 a -4当a -4且a0时，方程有实数根。又因为方程只有正实数根，设为x1，x2，则：x1+x2- 0 ；x1. x2- 0 解得 ：a0综上所述，当a0、a -4、a0时，即当-4a0时，原方程只有正实数根。 以上数例，说明我们在求解有关二次方程的问题时，往往急于寻求结论而忽视了实数根的存在与“”之间的关系。 1、运用根的判别式时，若二次项系数为字母，要留意字母不为零的条件。2、运用根与系数关系时，0是前提条件。3、条
8、件多面时（如例5、例6）考虑要周全。 1、当m为何值时，关于x的方程x2+2（m-1）x+ m2-90有两个正根？2、已知，关于x的方程mx2-2（m+2）x+ m+50（m0）没有实数根。求证：关于x的方程（m-5）x2-2（m+2）x + m0肯定有一个或两个实数根。考题汇编1、（2000年广东省中考题）设x1、 x2是方程x2-5x+30的两个根，不解方程，利用根与系数的关系，求（x1-x2）2的值。2、（2001年广东省中考题）已知关于x的方程x2-2x+m-10（1）若方程的一个根为1，求m的值。（2）m5时，原方程是否有实数根，假如有，求出它的实数根；假如没有，请说明理由。3、（2
9、002年广东省中考题）已知关于x的方程x2+2（m-2）x+ m20有两个实数根，且两根的平方和比两根的积大33，求m的值。4、（2003年广东省中考题）已知x1、x2为方程x2+px+q0的两个根，且x1+x26，x12+x2220，求p和q的值。 课题：一元二次方程实数根错例剖析课 精选学生在解一元二次方程有关问题时出现的典型错例加以剖析，帮助学生找出产生错误的缘由和订正错误的方法，使学生在解题时少犯错误，从而培育学生思维的批判性和深刻性。 1、关于x的方程ax2+bx+c=0，当a_时，方程为一元一次方程；当 a_时，方程为一元二次方程。2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的
10、判别式=_，当_时，方程有两个相等的实数根，当_时，方程有两个不相等的实数根，当_时，方程没有实数根。 例1 下列方程中两实数根之和为2的方程是（）(A) x2+2x+30 (B) x2-2x+30 (c) x2-2x-30 (D) x2+2x+30错答： B正解： C错因剖析：由根与系数的关系得x1+x22，极易误选B，又考虑到方程有实数根，故由可知，方程B无实数根，方程C合适。例2 若关于x的方程x2+2(k+2)x+k20 两个实数根之和大于-4，则k的取值范围是（ ）(A) k-1 (B) k0 (c) -1 k0 (D) -1k0错解 ：B正解：D错因剖析：漏掉了方程有实数根的前提是
11、0例3（2000广西中考题） 已知关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2 x-10有两个不相等的实根，求k的取值范围。错解: 由(-2 )2-4(1-2k)(-1) -4k+80得 k2又k+10k -1。即 k的取值范围是 -1k2错因剖析：漏掉了二次项系数1-2k0这个前提。事实上，当1-2k0即k 时，原方程变为一次方程，不行能有两个实根。正解： -1k2且k例4 （2002山东太原中考题） 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+10的两个实数根，当x12+x22=15时，求m的值。错解：由根与系数的关系得 x1+x2 -（2m+1）, x1x2m2+1, x
12、12+x22(x1+x2)2-2 x1x2 -（2m+1）2-2（m2+1） 2 m2+4 m-1 又 x12+x22=15 2 m2+4 m-1=15 m1 -4 m2 2 错因剖析：漏掉了一元二次方程有两个实根的前提条件是判别式0。因为当m -4时，方程为x2-7x+170，此时（-7）2-4171 -190，方程无实数根，不符合题意。正解：m 2例5 若关于 x的方程(m2-1)x2-2 (m+2)x+10有实数根，求m的取值范围。错解：-2(m+2)2-4(m2-1) 16 m+20 0 16 m+200， m -5/4 又 m2-10， m1 m的取值范围是m1且m - 错因剖析：此
13、题只说(m2-1)x2-2 (m+2)x+10是关于未知数x的方程，而未限定方程的次数，所以在解题时就必需考虑m2-10和m2-10两种状况。当m2-10时，即m1时，方程变为一元一次方程，仍有实数根。正解：m的取值范围是m-例6 已知二次方程x2+3 x+a0有整数根，a是非负数，求方程的整数根。错解：方程有整数根，9-4a0，则a2.25又a是非负数，a1或a2令a1，则x -3 ，舍去；令a2，则x1 -1、 x2 -2方程的整数根是x1 -1， x2 -2错因剖析：概念模糊。非负整数应包括零和正整数。上面答案仅是一部分，当a0时，还可以求出方程的另两个整数根，x30， x4 -3正解：
14、方程的整数根是x1 -1， x2 -2 ， x30， x4 -3练习1、（01济南中考题）已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x1、x2。（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？假如存在，求出k的值；假如不存在，请说明理由。解：（1）依据题意，得(2k-1)2-4 k20 解得k当k 时，方程有两个不相等的实数根。（2）存在。假如方程的两实数根x1、x2互为相反数，则x1+ x2= - =0，解得k 。经检验k 是方程- 的解。当k 时，方程的两实数根x1、x2互为相反数。读了上面的解题过程，请推断是否有错误？假如有，请指出错误之
15、处，并干脆写出正确答案。解：上面解法错在如下两个方面：（1）漏掉k0，正确答案为：当k 时且k0时，方程有两个不相等的实数根。（2）k 。不满意0，正确答案为：不存在实数k，使方程的两实数根互为相反数练习2（02广州市）当a取什么值时，关于未知数x的方程ax2+4x-10只有正实数根 ?解：（1）当a0时，方程为4x-10，x（2）当a0时，16+4a0 a -4当a -4且a0时，方程有实数根。又因为方程只有正实数根，设为x1，x2，则：x1+x2- 0 ；x1. x2- 0 解得 ：a0综上所述，当a0、a -4、a0时，即当-4a0时，原方程只有正实数根。 以上数例，说明我们在求解有关二
16、次方程的问题时，往往急于寻求结论而忽视了实数根的存在与“”之间的关系。 1、运用根的判别式时，若二次项系数为字母，要留意字母不为零的条件。2、运用根与系数关系时，0是前提条件。3、条件多面时（如例5、例6）考虑要周全。 1、当m为何值时，关于x的方程x2+2（m-1）x+ m2-90有两个正根？2、已知，关于x的方程mx2-2（m+2）x+ m+50（m0）没有实数根。求证：关于x的方程（m-5）x2-2（m+2）x + m0肯定有一个或两个实数根。考题汇编1、（2000年广东省中考题）设x1、 x2是方程x2-5x+30的两个根，不解方程，利用根与系数的关系，求（x1-x2）2的值。2、（2001年广东省中考题）已知关于x的方程x2-2x+m-10（1）若方程的一个根为1，求m的值。（2）m5时，原方程是否有实数根，假如有，求出它的实数根；假如没有，请说明理由。3、（2002年广东省中考题）已知关于x的方程x2+2（m-2）x+ m20有两个实数根，且两根的平方和比两根的积大33，求m的值。4、（2003年广东省中考题）已知x1、x2为方程x2+px+q0的两个根，且x1+x26，x12+x2220，求p和q的值。