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1、江西省吉安一中2015届上学期高三年级第二次阶段考试数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 复数的共轭复数是（ ）A. B. C. D. 2. 在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ）A. B. C. D. 3. 设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为（ ）A. 4 B. C. 2 D. 4. 已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 5. 设是两个实数，则“中至少有一个数大于1”是“”成立的（ ）A.
2、充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件6.设在ABC中，AD是边BC上的高，则的值等于（ ）A. 0 B. C. 4 D. 7. 设集合，集合。若中恰含有一个整数u，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 8. 等差数列的前n项和为，且满足，则，中最大的项为（ ）A. B. C. D. 9. 三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且长度分别为3、4、5，则三棱锥P-ABC外接球的体积是（ ）A. B. C. D. 10. 已知双曲线的两个焦点分别为，P是双曲线上的一点，且，则双曲线方程是（ ）A. B. C. D. 11.
3、 在如图所示的程序框图中，当时，函数等于函数的导函数，若输入函数，则输出的函数可化为（ ）A. B. C. D. 12. 已知函数，若，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 方程的根，则k=_。14. 已知两个单位向量a，b的夹角为60，若，则实数t=_。15. 某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为_。16. 数列的通项，其前n项和为，则为_。三、解答题17. （12分）已知函数。（1）求函数的最小正周期、最大值及取最大值时自变量的取值集合；（2）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c；若a，b，c成等比数列，且，求
4、的值。18. （12分）某高校在2012年的自主招生考试中随机抽取了100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组160,165），第二组165,170），第三组170,175），第四组175,180），第五组180,185）得到的频率分布直方图如图所示。（1）求第三、四、五组的频率；（2）为了以选拔出最优秀的学生，学校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试。（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第四组至少有一名学生被甲考官面试的概率。19. （12分）如图，AB为圆O的
5、直径，点E、F在圆O上，ABEF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1。（I）求证：AF平面CBF；（II）设FC的中点为M，求证：OM平面DAF；（III）设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为，求。20. （12分）已知椭圆C：过点，且椭圆C的离心率为.（I）求椭圆C的方程；（II）若动点P在直线上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，且P为线段MN中点，再过P作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标。21. （12分）已知函数，其中。（1）当a=3，b=-1时，求函数的最小值；（2）当a0，且a为常数时，若函数对任意的，总有成立
6、，试用a表示出b的取值范围。选做题：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，作答时请写清题号。22. 选修41：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D。（I）证明：DB=DC；（II）设圆的半径为1，延长CE交AB于点F，求BCF外接圆的半径。23. 选修44：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为。（I）把C1的参数方程化为极坐标方程；（II）求C1与C2交点的极坐标（）。24. 选修45：不等式选讲已知函数，。（I）当时，求
7、不等式的解集；（II）设，且当时，求a的取值范围。18. 解：（1）由题设可知，第三组的频率为0.065=0.3第四组的频率为0.045=0.2 第五组的频率为0.025=0.1（3分）（2）第三组的人数为0.3100=30 第四组的人数为0.2100=20第五组的人数为0.1100=10因为第三、四、五组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽到的人数分别为：第三组 第四组第五组，所以第三、四、五组分别抽取3人，2人，1人。（6分）（3）设第三组的3位同学为，第四组的2为同学为,第五组的1为同学为C1，则从6为同学中抽2位同学有：共15种可能（9分）其中第四组的2为
8、同学中至少1为同学入选有，共9种可能。所以第四组至少有1位同学被甲考官面试的概率为。（12分）19. 解：（I）证明：平面ABCD平面ABEF，CBAB，平面ABCD平面ABEF=AB，CB平面ABEF，AF平面ABEF，AFCB，2分又AB为圆O的直径，AFBF，AF平面CBF。4分（II）设DF的中点为N，则MN，又，则，MNAO为平行四边形，6分OMAN，又AN平面DAF，PM平面DAF，OM平面DAF。8分（III）过点F作FGAB于G，平面ABCD平面ABEF，FG平面ABCD，10分CB平面ABEF，12分20. 解：（I）因为点在椭圆C上，所以，又椭圆C的离心率为，所以，即，所以
9、，所以椭圆C的方程为（4分）（II）设，当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为，由，得，所以，因为P为MN中点，所以，即，所以，因为直线，所以，所以直线的方程为，即，显然直线恒过定点（10分）当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为，此时直线为x轴，也过点 综上所述，直线恒过定点（12分）（此题还可以用点差法）21. 解：（1）当时，时，；时，即在上单调递减，在上单调递增在处取得最小值，即。（2）由题意，对任意的，总有成立。令，则函数在上单调递增在上恒成立，在上恒成立。构造函数则F（x）在上单调递减，在上单调递增（i）当，即时，F（x）在上单调递减，在上单调递增，从而（ii）当，即时，在
10、上单调递增，从而综上，当时，时，22. 解：（1）连结DE，交BC为G，由弦切角定理得，而，故.又因为DBBE，所以DE为直径，由勾股定理，可得DB=DC。（II）由（1），DB=DC，故DG是BC的中垂线，所以，圆心为O，连结BO，则，所以CFBF，故外接圆半径为。23. 解：（1）将，消去参数t，化学普通方程，即：，将代入得所以极坐标方程为。（2）C2的普通方程为，解得或。所以C1与C2交点的极坐标为。24. 解：（I）当a=-2时，不等式化为，设函数，则其图象如图所示从图象可知，当且仅当时，y0，所以原不等式的解集是；（II）当，不等式化为，所以对都成立，故，即，从而a的取值范围是。- 12 - / 12