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1、抽屉原理知识要点1.抽屉原理的一般表述(1)假设有3个苹果放入2个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有2个苹果。它的一般表述为：第一抽屉原理：(mn1)个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有(m1)个物体。(2)若把3个苹果放入4个抽屉中，则必然有一个抽屉空着。它的一般表述为：第二抽屉原理：(mn1)个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有(m1)个物体。2.构造抽屉的方法常见的构造抽屉的方法有：数的分组、染色分类、图形的分割、剩余类等等。例1自制的一副玩具牌共计52张(含四种牌：红桃、红方、黑桃、黑梅，每种牌都有1点，2点，13点牌各一张)，洗好后背面朝上放。一次至少抽取 张牌，才能保证
2、其中必定有2张牌的点数和颜色都相同。如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的(不计颜色)，那么至少要取 张牌。点拨 对于第一问，最不利的情况是两种颜色都取了113点各一张，此时再抽一张，这张牌必与已抽取的某张牌的颜色与点数都相同。点拨 对于第二问，最不利的情况是：先抽取了1，2，4，5，7，8，10，11，13各4张，此时再取一张，这张牌的点数是3，6，9，12中的一张，在已抽取的牌中必有3张的点数相邻。解 (1)132127(张) (2)94137(张)例2 证明：37人中，(1)至少有4人属相相同；(2)要保证有5人属相相同，但不保证有6人属相相同，那么人的总数应在什么范围内？点拨
3、 可以把12个属相看做12个抽屉，根据第一抽屉原理即可解决。解 (1)因为371231，所以，根据第一抽屉原理，至少有314(人)属相相同。(2)要保证有5人的属相相同的最少人数为412149(人)不保证有6人属相相同的最多人数为51260(人)所以，总人数应在49人到60人的范围内。例3 有一副扑克牌共54张，问：至少摸出多少张才能保证：(1)其中有4张花色相同？(2)四种花色都有？点拨 首先我们要弄清楚一副扑克牌有2张王牌，四种花色，每种有13张。(1)按最不利原则先取出2张为王牌，再取4张均不同花色，再连续取两次4张也均不同花色，这时必能保证每一花色都有3张，再取1张即可达到要求。(2)
4、仍需按最不利原则去取牌，先是2张王牌，接着依次把三种花色的牌全部取出133，这时假设仍是没有四种花色，再取1张即可。 解 (1)243115(张) (2)2133142(张)例4 学校买来红、黄、蓝三种颜色的球，规定每位学生最多可以借两种不同颜色的球。那么至少要来几名学生借球，就能保证必有两名学生借的球的颜色完全相同？点拨 根据题中“最多可借两种不同颜色的球”，可知最多有以下6种情况：解 借球有6种情况，看做6个抽屉，所以至少要来7名学生借球，才能保证。例5 从前面30个自然数中最少要取出几个数，才能保证取出的数中能找到两个数，其中较大的数是较小数的倍数？点拨 把130这30个自然数分成下面1
5、5组：1，2，4，8，16，3，6，12，24，5，10，20，7，14，28，9，18，11，22，13，26，15，30，1 7，19，21，23，25)，27，29，在这15组中，每组中的任意两个数都存在倍数关系，故可把这15组看做15个抽屉，至少要取出16个数才能达到题目的要求。例6 边长为1的正方形中，任意给定13个点，其中任意三点都不共线。试说明其中至少有4个点，以此4点为顶点的四边形面积不超过四分之一。解：把正方形平均分成四个相同的小正方形，每个正方形的面积为四分之一。13=43+1，13个点至少有4个点在同一个小正方形，以此4点为顶点的四边形的面积不超过小正方形的面积，即不超过
6、原正方形面积的四分之一。例7 平面上给定六个点，没有三点共线。每两点用一条红线段或黄线段连接起来，试说明由这些线段围成的三角形中，至少有一个三角形，它的三条边同色.解 因为有六个点，每个点都要引出五条线段，据抽屉原理，任意一点引五条线段中至少有三条线段同色，不妨设是红色(如图红色线段为实线，蓝色线段为虚线)，这时三角形a2a3a4会出现两种颜色情况(1)若a2a3，a3a4，a2a4中有任意一条线段为红的，那么这条红线段与它的两个端点与a1引出的两条线段组成一个红三角形。(2)若a2a3，a3a4，a2a4中没有一条线段是红色的，则a2a3a4为一个蓝色三角形。综上所述，无论(1)还是(2)，
7、题目结论都成立。说明：若把两种颜色连线换成人与人之间的相识或不相识关系，就可以解决实际问题：结果可证明6人之间至少有3人互相认识或不认识。1.要在30米长的水泥台上放16盆花，不管怎么放，至少有几盆之间的距离不超过2米？解：两盆 302=15段，30米中每两米为一段的有15段，16盆花至少有两盆花在一段，至少两盆之间的距离不超过2米。3.在一个边长为1的正三角形内随意放置10个点，试说明其中至少有两个点之间的距离不超过1/3。解：把边长为一的正三角形平分成9粉，由每个三角的边长为1/3，必有两点在一个三角形内，则两点的距离小于1/3。4.用黑、红两种颜色将一个长9、宽3的矩形中的边长为1的小正
8、方形随意涂色，试证必有两列涂色情况一样。因为涂色出现八种情况：（红红红），（蓝，蓝，蓝），（红，红，蓝），（红，蓝，红），（蓝，红，红），（蓝，蓝，红），（蓝，红，蓝），（红，蓝，蓝），所以九列中一定有两列是相同的。5.从整数1，2，3，199，200中任选101个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数，其中的一个是另一个的倍数。分数组1,2,4,8，16，128，3,6,12,24,48192，5,10,20,40200，7,14,28,56,112，9,18,36,72,144，11,22,44,88,176，13,26,52,104，15,30,60,120,99,198，101，10
9、3，199共100个抽屉，任选101个数必有两个数在一个抽屉里，即其中的一个是另一个的倍数。6.在1010方格纸的每个方格中，任意填入1、2、3、4四个数之一。然后分别对每个22方格中的四个数求和。在这些和数中，至少有多少个和相同？1、2、3、4填入后，四个数的和最小为4，最大为16。4-16之间有13个不同的和，22的方格在1010的方格中可推出81个和，8113=63，故至少有6+1=7个和。7.从八个连续自然数中任意选出五个，其中必有两个数的差等于4，试分析之。 这八个连续自然数为a，a+1，a+2，a+3，a+4，a+5，a+6，a+7，分为四组 a+4，a，a+5，a+1，a+6，a
10、+2，a+7，a+3，取五个数必有两个数在一个抽屉中，即差为48.任意给定七个自然数，说明其中必有四个数，它们的和为4的倍数。 七个数中必有三对奇偶性相同，即满足a1+a2=2k1,a3+a4=2k2，a5+a6=2k3。在k1，k2，k2三个数中又至少有两个奇偶性相同，不妨设k1，k2奇偶性相同，所以k1+k2=2m，即a1+a2+a3+a4=4m, 2k1+2k2=4m，所以其中必有四个数，它们的和是4的倍数。9.从3，6，981，84这些数中，任意选出16个数，其中至少有两个数的和等于90，试说明之。 分数组6,84，9,81，12,78，42,48，3，45，共15个抽屉，故取16个数
11、必有两个数在一个抽屉中，即和为90。10.任意给定七个不同的自然数，其中必有两个数的和或差是10的倍数，试说明之。按余数是2或5或两个余数和为10来构造6个抽屉：0，5，1,9，2,8，3,7，4,6这样7个数必有两个数在一个抽屉里，它们的余数之和是10或余数相同，从而他们本身的和或差为10的倍数。11.能否在10行10列的方格中的每个空格处分别填上1，2，3这三个数，使大正方形的每行、每列及两条对角线的各个数字和互不相同？ 10个数的和最小为10，最大为30,10-30中有21个数。10行10列加上两条对角线共22个和，则必有两条线上的和相同。所以不能。12.能否把17这七个数排成一圈，使任
12、意两个相邻数的差等于2或3？ 在这7个数中，1,2,6,7都不能相邻，要把它们隔开需要4个数，而现在只剩下3,4,5三个数，所以不能。13.平面上给定六个点，没有三个点在一条直线上，每两点用一条红色线段或蓝色线段连接起来。试说明这些线段围成的三角形中，至少有两个同色三角形。14.库房里有一批篮球、排球、足球和手球，每人任意搬运两个，至少有多少人搬运才能保证有5人搬运的球完全一样？ 每人搬得可能是两篮、两排、两足、两手、篮排、篮足、篮手、排足、排手、足手10种情况。 410+1=41人15.在一个34平方米的长方形盘子中，任意撒入5个豆，5个豆中距离最小的两个豆的最大距离是几米？(这时盘子的对角
13、线长为5米) 将长方形分成四份，如放5豆，必有2个豆在一个小长方形内，一个小正方形 内最大的距离是2.5米（如AE），故距离最小的两个点的距离最大值是2.5米。16.一个3行7列的21个小方格的长方形，每个小方格用红或黄中的一种颜色涂色。证明：不论如何涂色，一定能找到一个由小方格组成的长方形，它的四个角上的小方格具有相同的颜色。 第一行有7个方格，因为涂两种颜色，根据抽屉原理二，必有一种颜色涂了4个或4个以上的方格。 设第一行有四个红方格，第二行是在第一行四个红方格下面的四个方格中，如果有两个红色，那么结 论已成立，否则必有三个黄方格。第三行是在第二行3个黄方格下面的3个方格中，至少有两个方格
14、 涂一种颜色。如涂红色就与第一行组成符合条件的长方形，如涂黄色就与第二行组成符合条件的长方形。17.在1，2，n中，任意取10个数，使得其中有两个数的比值不小于，且不大于。求n的最大值。由于任取10个数中有两个数在同一个抽屉里，显然最多构造9个抽屉这9个抽屉中的每一个抽屉都含有1，2，3，n中的一些数，而且这些数必须满足每两个数的比值都在和之间，这9个抽屉，是：1；2，3；4，5，6；7，8，9，10；11，12，16；17，18，24，25；26，27，38，39；40，41，59，60；61，62，90，91 因此，n的最大值是9118.从1，2，3，1988，1989这些自然数中，最多可
15、取多少个数，其中每两个数的差不等于4? 把1,2,1989这些数分成四组公差是4的等差的数列； 1,5,9,1989共498个数; 2,6,10,1986共497个数; 3,7,111987共497个数; 4,8,121988共497个数; 我们发现:1.四行中每一行中任意相邻两数相差为4,不相邻两数相差不可能是4; 2.而分属不同两行的任意两个数相差不可能为4,因为如果相差为4的话,两数将被归为一 行,这显然与事实矛盾;故选符合规定的数只要在每组里每隔一个数选一个,每行最多可 选249 个数;最终2494=996（个）19.四个人聚会，每人各带了两件礼品，分赠给其余三个人中的两人。试证明：四
16、个人中至少有两对，每对是互赠过礼品的。 将这四个人用4个点表示，如果两个人之间送过礼品，就在两点之间连一条线。由于每人送出2件礼 品，共有42=8条线，由于每人礼品都分赠给2个人，所以每两点之间至多有1+1=2条线。四点间， 每两点连一条线，一共6条线，现在有8条线，说明必有两点之间连了2条线，还有另外两点(有一点 可以与前面的点相同)之间也连了2条线。即为所证结论。20.一排长椅共有90个座位，其中一些座位已经有人就座了。这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻。原来至少有几人已经就座？由于,他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻,求至
17、少有多少人,则有人的位置如图所示,(“”表示已经就座的人,“”表示空位):.即有人的位置占全部人数的1/3，903=30人。即原来至少有30人已经就座。21.把1，2，3，8，9，10任意摆放在一个圆圈上，每相邻的三个数组成一个和数。试说明其中至少有一个和数不小于17。（反证）假设任意三个相邻的数之和都小于17即小于等于16。则10组之和应小于等于1610=160； 10组之和即把10个数分别加了3次，又因为：3（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）=165160 所以矛盾；故假设不成立，所以其中至少有一个和不小于17。22.某人步行10小时，走了45千米。已知他第一小时走了5千米，最后
18、一小时走了3千米，其余每小时都走了整数千米。证明在中间8小时当中，一定存在连续的两小时，这人至少要走10千米。这个人在中间的8小时内走了4553=37(km)假设在中间的8个小时内他相邻2个小时内都走9km，8个小时内一共有7组相邻，其中除去这8个小时内的前后两个小时，其他6个小时都有2次相邻， 这8个小时内的路程可得：79629=36km37km一定存在连续的两小时，这人至少走了10千米。23.在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这12个自然数中，任意选取8个不同的数，其中必有两对数，每对数的差是1。构造6个抽屉1,23,45,67,89,1011,12将八个不同的数放入六
19、个抽屉，必有两对数，每对的差是1。24.有红、黄、蓝、绿四色的小球各10个，混合放在一个布袋里。一次摸出8个小球，其中至少有几个小球的颜色是相同的。把红黄蓝绿四个小球看成四个抽屉，一次摸出八个小球放在抽屉里，84=2，其中至少有2个小球颜色相同。25.数学奥林匹克竞赛，全世界52个国家的308名选手参加了竞赛。按组委会规定，每个国家的选手不得超过6名，至少有几个国家派6名选手参赛。每个国家最多派出的运动员不超过6人，假设52个国家每个国家都派了5名，则剩下308-525=48（名）运动员。因为每个国家派出的运动员不超过6名，所以只好把48名运动员平均分到48个国家中去，也就是说，至少有48个国
20、家派满了6名运动员。26.某中学有十位老师，每位至少与另外九位中的七位认识，我们必可从中找出几位，他们彼此认识。 用a(1),a(2),.,a(10)表示10个人；a(1)不认识的至多2人,认识的人不少于7个,不妨假定a(1)认识a(2)；a(1)、a(2)中至少有一个人不认识的人至多4人，不妨假定a(1)、a(2)都认识a(3)；a(1)、a(2)、a(3)至少有一个人不认识人的至多6人,不妨假定a(1)、a(2)、a(3)都认识a(4)； 则a(1)、a(2)、a(3)、a(4)互相认识；我们必可从中找出4位，他们彼此认识。27.袋子里有4种不同颜色的小球，每次摸出2个。要保证有10次所摸
21、出的结果是一样的，至少要摸几次。 把1种不同的结果看成1个抽屉，至少要摸出910+1=91（次)28.某班有27名同学排成三路纵队外出参观，同学们都戴着红色或白色的太阳帽。在9个横排中，至多有几排同学所戴的帽子的颜色顺序不同。每排三人，每排戴帽子的可能有8种 ，所以27人排成九个横排，必有两个横排所戴帽子顺序相同，帽子颜色顺序不同的有:9-2=7排29.在平面内有1994条互不平行的直线。求证：一定有两条直线它们的夹角不大于度。如果平面内有3条互不平行的线，那么，要将最小的两条线的夹角为最大，就必须先让两条互相垂直，夹角为90，然后再让另外一条线过交点，平分夹角，角度为45，45度， 所以我们就说：平面里有3条互不平行的直线,求证一定有两条直线的夹角不大于度， 同理，可得平面里有1994条互不平行的直线，求证一定有两条直线的夹角不大于度。30.设自然数n具有以下性质：从前n个自然数中任取21个，其中必有两个数的差是5。这样的n中最大是几？ 设计20个抽屉，且抽屉中两个数字之差为5：1,62,73,835,40，n的最大值为40。6 / 66 / 6