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1、二元一次方程组的解法二元一次方程组的解法本课内容本节内容1.21.2.2 加减加减消元法消元法 如何解下面的二元一次方程组如何解下面的二元一次方程组？ 23 = 1 23 =5 x+ yx y- -， . . -探究探究 我们可以用学过的我们可以用学过的代入消元法来解这个方程代入消元法来解这个方程组，得组，得=1= 1xy - -，. . 还有没有更简单的解法呢？还有没有更简单的解法呢？ 我们知道解二元一次方程组的关键是消去一我们知道解二元一次方程组的关键是消去一个未知数个未知数，使方程组转化为一个一元一次方程使方程组转化为一个一元一次方程. 分析方程分析方程和和，可以发现未知数可以发现未知数
2、x的系数相同的系数相同， 23 = 1 23 =5 x+ yx y- ， . . - -2x + 3y = - -12x - - 3y = 56y = - -6- -因此只要把这两个方程的两边分别相减因此只要把这两个方程的两边分别相减， 就可以消去其就可以消去其中一个未知数中一个未知数x，得到一个一元一次方程得到一个一元一次方程.即即- -，得得2x+3y- -( (2x- -3y) )= - -1- -5 ，6y = - -6，解得解得 y = - -1. .把把y=- -1代入代入式式，得得2x+3( (- - 1) )= - -1，解得解得 x = 1.因此原方程组的解是因此原方程组的解
3、是 23 = 1 23 =5 x+ yx y- ， . . - -=1= 1xy- -把把y=- -1代入代入式可以吗式可以吗？把y=-1 代入式可以吗？把y=-1 代入式可以吗？ 解上述方程组时解上述方程组时，在消元的过程中在消元的过程中，如果把如果把方程方程与方程与方程相加相加，可以消去一个未知数吗可以消去一个未知数吗？做一做做一做例例3 解解二元一次方程二元一次方程组：组：举举例例 73 = 1 23 = 8 x+ y xy , , . . - -解解+ + ，得得7x+3y+2x- -3y=1+8 , , 9x = 9. 解得解得 x = 1 73 = 1 23 = 8 x+ y xy
4、 , , . . - -把把x=1代入代入式式 ，得得 71+3y = 1因此原方程组的解是因此原方程组的解是= 1 = 2xy, ,. .- -解得解得 y = - -2分析分析: 因为方程因为方程、中中y的系数相反，用的系数相反，用 + +即即可消去未知数可消去未知数y. 两个二元一次方程中同一未知数的系数相同两个二元一次方程中同一未知数的系数相同或相反时，把这两个方程相减或相加，就能消去或相反时，把这两个方程相减或相加，就能消去这个未知数，从而得到一个一元一次方程，这种这个未知数，从而得到一个一元一次方程，这种解方程组的方法叫做解方程组的方法叫做加减消元法加减消元法，简称，简称加减法加减
5、法.例例4 用加减法解二元一次方程组：用加减法解二元一次方程组：举举例例 23 = 11 65 = 9x+ y xy - - -, , . . 23 = 11 65 = 9x+ y xy - - -, , . . 分析分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数这两个方程中没有同一个未知数的系数相同或相反，直接加减这两个方程不能消去任相同或相反，直接加减这两个方程不能消去任一个未知数一个未知数. 但如果把但如果把式两边都乘式两边都乘3，所得方程与方，所得方程与方程程中中x的系数相同，这样就可以用加减的系数相同，这样就可以用加减法来解法来解. .解解3 ，得得 6x+9y = - -33. 解得解得
6、 y = - -3把把y=- -3代入代入式式，得得 2x+3(-(-3) )=- -11因此原方程组的一个解是因此原方程组的一个解是= 1 = 3xy- - -, ,. .解得解得 x = - -1- - ，得得 - -14y = 42. 做一做做一做 在例在例4中中，如果先消去如果先消去y应如何解应如何解？会与上述会与上述结果一致吗结果一致吗？练习练习用加减法解二元一次方程组用加减法解二元一次方程组： 1234 2= 2 52 = 11 23 = 18 53 = 4 24 = 34 32 = 8 65 = 47 52 =31 x+ y a bx+ ya+ bx ym+ n mnx+ y-
7、- - -） ） ） ） , , ,； . . , , ,； . . （2= 21 23 =18 x+ yx+ y, , ） - - -（= 3 = 4xy, ,. .- -解解: + ，得得 4y=16解得解得 y=4把把y=4代入代入，得，得 2x+4=- -2解得解得 x=- -3因此原方程组的解是因此原方程组的解是52 = 112 5 +3 = 4 a bab- - -, , ） （= 1 = 3ab- -, ,. .解解: - - ，得得 - -5b=15解得解得 b=- -3把把b=- -3代入代入，得，得 5a- -2( (- -3) )=11解得解得 a=1因此原方程组的解是因
8、此原方程组的解是32 = 83 65 = 47 m+ n mn-, , ） （= 2 = 7mn- - , ,. .解解: 2，得得 6m+4n=16 - -，得得 9n=63解得解得 n=7把把n=7代入代入 ，得，得 3m+27= 8解得解得 m =- -2因此原方程组的解是因此原方程组的解是24 = 34 4 52 =31 x yx+ y- -, , ） （= 8 = 92- -xy, ,. .解解: 2，得得 10 x+ +4y=62 + ，得得 12x=96解得解得 x=8把把x=8代入代入 ，得，得 28- -4y=34因此原方程组的解是因此原方程组的解是解得解得9=2y- - 加
9、减消元法和代入消元法是解二元一次方程加减消元法和代入消元法是解二元一次方程组的两种方法，它们都是通过消去其中一个未知组的两种方法，它们都是通过消去其中一个未知数数（消元消元），使二元一次方程组转化为一元一次，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求解，只是消元的方法不同方程，从而求解，只是消元的方法不同. 我们可以根据方程组的具体情况来灵活选择我们可以根据方程组的具体情况来灵活选择适合它的消元方法适合它的消元方法.例例5 解二元一次方程组：解二元一次方程组：举举例例 = 25223 = 4 m n m+ n - -, , . . 解解10 ，得得 2m- -5n=20. 解得解得 n = -
10、 -2 = 2 5223 = 4 m n m+ n - -, , . . 把把n=- -2代入代入式式，得得 2m+3( (- -2) )=4因此原方程组的解是因此原方程组的解是=5 = 2mn- -, ,. .分析分析:方程方程与方程与方程不能直接消去不能直接消去m或或n， 在方程在方程的两边都乘的两边都乘10，去分母得，去分母得2m- -5n= 20，使得两个方程中未知数，使得两个方程中未知数m的系数相同，然后的系数相同，然后用加减法来解用加减法来解.解得解得 m = 5- -，得得 3n- -( (- -5n) )=4- -20. 例例6 解解二元一次方程方程组：组：举举例例 34 =
11、8 43 = 1 x+ y x+ y - -, , . . 解解4 ，得得 12x+16y=32. 解得解得 y = 5 34 = 8 43 = 1 x+ y x+ y , , . . - -把把y=5代入代入式式，得得 3x+45=8因此原方程组的解是因此原方程组的解是= 4 = 5xy, ,. .- -分析分析: :为了使方程组中两个方程的未知数为了使方程组中两个方程的未知数x的系数相的系数相同同（或相反或相反），可以在方程，可以在方程的两边都乘的两边都乘4解得解得 x = - -43 ，得得 12x+9y=- -3. - - ，得得 16y- -9y=32- -( (- -3) ). 在
12、方程在方程的两边都乘的两边都乘3，然后将这两个，然后将这两个方程相减，就可将方程相减，就可将x消去消去.你能用代入法解例你能用代入法解例6的方程组吗的方程组吗？ 34 = 8 43 = 1 x+ y x+ y - -, , . . 例例7 在方程在方程 y=kx+b中，当中，当x=1时，时，y=- -1； 当当x=- -1时，时，y =3. 试求试求k和和b的值的值.举举例例分析分析 把把x，y的两组值分别代入的两组值分别代入y=kx+b中，可中，可 得到一个关于得到一个关于k，b的二元一次方程组的二元一次方程组. .+ +， 得得 2 = 2b, ,解得解得b = 1.把把b=1 代入代入式
13、，式， 得得k = - - 2 .所以所以k = - - 2 ，b = 1 .解解 根据题意得根据题意得 1= 3 = k+b k+b- - -, , . . 练习练习1. 解下列二元一次方程组：解下列二元一次方程组： 122132 = 5 25 = 24 52 =31 3 = 6 x+ y x yx+ yxy- - -） ） , , ,. . ； （21 = 5 32 1 3 = 6 x+y xy- -, , ； （ ）解解6 ，得得 4x+ +3y=30. 因此原方程组的解是因此原方程组的解是36= 52= 5xy, ,. .+ +，得得 x+4x- -3y+3y=6+30. 解得解得36
14、= 5x 36= 5x 把把 代入代入式式，得得36365y=- -解得解得2= 5y 25 = 24 2 52 =31 x yx+ y- -, , ） （= 7 = 2xy, ,. .- -解解: 5，得得 10 x- -25y=120 2，得得 10 x +4y = 62 - - ，得得 - -29y=58解得解得 y=- -2把把y=- -2代入代入 ，得，得 2x- -5( (- -2) )= 24解得解得 x =7因此原方程组的解是因此原方程组的解是2. 已知已知 和和 都是方程都是方程y = ax + b的解，的解， 求求a，b的值的值.= 1 = 0 xy- - , , = 2
15、=3 xy, , - -， 得得 - -3 = - -3a, ,解得解得a = 1.把把a=1 代入代入式，式， 得得b = 1 .所以所以a = 1 ，b = 1 .解解 根据题意得根据题意得 0= 3 =2 - -a+b a +b, , . . 中考中考 试题试题例例1 方程组方程组 的解是的解是 （ ）3 =4 23 = 1x+ yxy，-+得得 3x = 3， x=1解析解析3 =4 23 = 1 x+ yxy， -B把把x=1代入代入得得 y = 1,=1 =1 . xy， 所以原方程组的解为所以原方程组的解为故选故选B.= 1=1= 2= 2A B C D= 1=1=2= 1xxxx. . . . yyyy-中考中考 试题试题 解方程组解方程组 2 =2 32 =10 x+yx y ， . . - -解：由解：由2+得：得： 7x=14，x=2.例例2把把x=2代入代入式得：式得： y =- -2.=2 = 2 xy，. .- -原方程组的解为原方程组的解为中考中考 试题试题 解方程组解方程组 2= 5 3 = 6 x+y x y， . . - -解：解：3，得得 6x+3y=15. =3 = 1. xy，- -例例3+, ,得得 7x =21， x=3，把把x=3代入代入 ，得，得 23+y=5. y=- -1.原方程组的解为原方程组的解为结结 束束