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1、文数 课标版,第三节等比数列及其前n项和,1.等比数列的定义 如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的比等于 同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数 叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的 表达式为=q(nN*).,教材研读,2.等比数列的通项公式 等比数列an的通项公式为an=a1qn-1.,3.等比中项 若G2=ab(ab0),那么G叫做a与b的等比中项.,4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=amqn-m(n,mN*). (2)若an为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则akal=aman. (3)若an,bn(项数相同)是等比数列,则an(
2、0),anbn, 仍是等比数列.,5.等比数列的前n项和公式 等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为Sn, 当q=1时,Sn=na1; 当q1时,Sn=.,6.等比数列前n项和的性质 公比不为-1的等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn.,判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)满足an+1=qan(nN*,q为常数)的数列an为等比数列.() (2)G为a,b的等比中项G2=ab.() (3)如果数列an为等比数列,bn=a2n-1+a2n是等差数列.() (4)如果数列an为等比数列,则数列ln an是等差数列.(
3、) (5)数列an的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=.(),1.已知an是等比数列,a2=2,a5=,则公比q=() A.-B.-2C.2D. 答案D由通项公式及已知得a1q=2,a1q4=,由得q3=,解得 q=.故选D.,2.已知等比数列an的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an=() A.4B.4 C.4D.4 答案B由题意得(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5,故a1=4,a2=6,所以q=,则 an=4.,3.在等比数列an中,已知a7a12=5,则a8a9a10a11=() A.10B.25C.50D.75 答案Ba7a12=5,a8a9a10a11=(a
4、8a11)(a9a10)=(a7a12)2=25.,4.已知在等比数列an中,a2=,a3=,ak=,则k=. 答案7 解析设an的公比为q.a2=,a3=,q=,a1=1,由ak=a1= ,解得k=7.,5.设Sn为等比数列an的前n项和,8a2+a5=0,则=. 答案-11 解析设数列an的公比为q,则8a1q+a1q4=0,又a10,q0,q=-2, =-11.,考点一等比数列的基本运算 典例1(1)(2016山西太原一模)已知等比数列an单调递减,若a3=1,a2+a4 =,则a1=() A.2B.4C.D.2 (2)在等比数列an中,a3=7,前3项之和S3=21,则公比q的值为()
5、 A.1B.- C.1或-D.-1或 (3)(2015课标,13,5分)在数列an中,a1=2,an+1=2an,Sn为an的前n项和.若Sn=126,则n=. 答案(1)B(2)C(3)6,考点突破,方法指导 解决等比数列有关问题的常用思想方法 (1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”. (2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,an的前n项和Sn=na1;当q1时,an的前n项和Sn= .,1-1已知等比数列an的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则= () A.4n-1B.4n-1C.2n-1D.
6、2n-1 答案D设等比数列an的公比为q, 由可得=2, q=,代入解得a1=2,an=2=,Sn=4, =2n-1,选D.,1-2设数列an的前n项和Sn满足6Sn+1=9an(nN*). (1)求数列an的通项公式; (2)若数列bn满足bn=,求数列bn的前n项和Tn. 解析(1)当n=1时,由6a1+1=9a1, 得a1=. 当n2时,由6Sn+1=9an, 得6Sn-1+1=9an-1, 两式相减得6(Sn-Sn-1)=9(an-an-1), 即6an=9(an-an-1), an=3an-1.,数列an是首项为,公比为3的等比数列,其通项公式为an=3n-1=3n-2. (2)bn
7、=, bn是首项为3,公比为的等比数列, Tn=b1+b2+bn=.,考点二等比数列的性质及应用 典例2(1)(2016广东广州综合测试)已知数列an为等比数列,若a4+a6=10,则a7(a1+2a3)+a3a9的值为() A.10B.20C.100D.200 (2)(2016吉林长春调研)在正项等比数列an中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n=. (3)设等比数列an的前n项和为Sn,若S6S3=12,则S9S3=. 答案(1)C(2)14(3)34 解析(1)a7(a1+2a3)+a3a9=a7a1+2a7a3+a3a9=+2a4a6+=(a4
8、+a6)2=102=100, 故选C. (2)设数列an的公比为q,由a1a2a3=4=q3与a4a5a6=12=q12可得q9=3,由,于an-1anan+1=q3n-3=324,因此q3n-6=81=34=q36,所以3n-6=36,解得n=14. (3)由题意可知q-1,故由等比数列的性质知,S3,S6-S3,S9-S6仍成等比数列,于是(S6-S3)2=S3(S9-S6), 将S6=S3代入可得=.,易错警示 (1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是“若m+n=p+q(m、n、p、qN*),则aman=apaq”,可以减少运算量,提高解题速度.(2)在应用
9、相应性质解题时,要注意性质成立的前提,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意对设而不求思想的运用.,2-1已知x,y,zR,若-1,x,y,z,-3成等比数列,则xyz的值为() A.-3B.3C.-3D.3 答案C由题意知y2=3,y=, 又y与-1,-3符号相同, y=-,又y2=xz, 所以xyz=y3=-3.,考点三等比数列的判定与证明 典例3设数列an的前n项和为Sn,nN*.已知a1=1,a2=,a3=,且当n2 时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1. (1)求a4的值; (2)证明:为等比数列. 解析(1)当n=2时,4S4+5S2=8S3+S1, 即4(a1+a2+a3
10、+a4)+5(a1+a2)=8(a1+a2+a3)+a1, 整理得a4=, 因为a2=,a3=,所以a4=. (2)证明:当n2时,有4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1, 即4Sn+2+4Sn+Sn=4Sn+1+4Sn+1+Sn-1, 所以4(Sn+2-Sn+1)=4(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1), 即an+2=an+1-an(n2). 经检验,当n=1时,上式成立. 因为=,为常数,且a2-a1=1, 所以数列是以1为首项,为公比的等比数列.,方法技巧 证明数列an(各项不为零)是等比数列的常用方法:一是定义法,证明=q(n2,q为非零常数);二是等比中项法,证明=an-1an
11、+1(n2).若判 定一个数列不是等比数列,则可以举反例,也可以用反证法.,3-1在数列an中,“an=2an-1,n=2,3,4,”是“an是公比为2的等比数列”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案B因为当an=0时,也有an=2an-1,n=2,3,4,但an是等差数列,不是等比数列,因此充分性不成立.当an是公比为2的等比数列时,有= 2,n=2,3,4,即an=2an-1,n=2,3,4,所以必要性成立.,3-2设数列an的前n项和为Sn,数列bn中,b1=a1,bn=an-an-1(n2).若an+Sn=n. (1)设cn=an-1,求证:数列cn是等比数列; (2)求数列bn的通项公式. 解析(1)证明:由an+Sn=n, 得an-1+Sn-1=n-1(n2), 两式相减得2an-an-1=1(n2),即2(an-1)=an-1-1(n2), 所以cn=cn-1(n2). 又由 解得a1=,所以c1=a1-1=-0, 所以数列cn是等比数列. (2)由(1)知cn=-, 所以an=cn+1=1-, 所以bn=an-an-1=(n2). 又b1=a1=适合上式, 所以bn=.,