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1、文数 课标版,第四节直线与圆、圆与圆的位置关系,1.直线与圆的位置关系 (1)三种位置关系:相交、相切、相离. (2)两种研究方法:,教材研读,2.圆与圆的位置关系 设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=(r10), 圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=(r20).,判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)如果直线与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解,则直线与圆相切.() (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.() (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.(),1.直线x-y+1=0与圆(x+1)2+y2=1的位置关系是() A
2、.相切 B.直线过圆心 C.直线不过圆心,但与圆相交D.相离 答案B依题意知圆心为(-1,0),到直线x-y+1=0的距离d=0, 所以直线过圆心.,2.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是() A.外离B.相交C.外切D.内切,答案B圆O1:(x-1)2+y2=1,圆O2:x2+(y-2)2=22,|O1O2|= ,|2-1|O1O2|2+1,两圆相交.故选B.,3.在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长为() A.3B.2C.D.1,答案B圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离d=1,因为 =
3、22-12=3,所以|AB|=2.,4.若圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点,则实数k的取值范围是. 答案(-,) 解析依题意知1,解得-k.,5.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=. 答案9 解析圆C1的圆心C1(0,0),半径r1=1,圆C2的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25-m,所以圆心C2(3,4),半径r2=.从而|C1C2|=5.由两圆外切得| C1C2|=r1+r2,即1+=5,解得m=9.,考点一直线与圆的位置关系 典例1(1)直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是() A.相交B.相
4、切 C.相离D.不确定,考点突破,(2)若直线x+my=2+m与圆x2+y2-2x-2y+1=0相交,则实数m的取值范围为 () A.(-,+)B.(-,0) C.(0,+)D.(-,0)(0,+) 答案(1)A(2)D,解析(1)解法一:由消去y,整理得(1+m2)x2-2m2x+m2-5= 0,则=4m4-4(1+m2)(m2-5)=16m2+200, 所以直线l与圆C相交.故选A. 解法二:因为圆心(0,1)到直线l的距离d=1,故直线l与圆相交, 选A. 解法三:直线l:mx-y+1-m=0过定点(1,1),因为点(1,1)在圆C:x2+(y-1)2=5的内部,所以直线l与圆C相交.故
5、选A.,(2)由x2+y2-2x-2y+1=0,得(x-1)2+(y-1)2=1,因为直线x+my=2+m与圆(x-1)2+(y-1)2=1相交, 1,m0, 故实数m的取值范围为(-,0)(0,+).,方法技巧 (1)判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达较烦琐,则用代数法.(2)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时,可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式解决.,1-1已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是() A.相切B.相交 C.相离D.不
6、确定 答案B因为M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,所以a2+b21,而圆心O到直线ax+by=1的距离d=1.故直线与圆O相交.,1-2已知直线l:y=kx+1,圆C:(x-1)2+(y+1)2=12. (1)试证明:无论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点; (2)求直线l被圆C截得的最短弦长. 解析(1)证明:由 消去y,得(k2+1)x2+(4k-2)x-7=0, 因为=(4k-2)2+28(k2+1)0, 所以无论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点. (2)设直线与圆交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点, 则直线l被圆C截得的弦长|AB|=|x1-x2| =2=2,令t=,
7、则tk2-4k+(t-3)=0, 当t=0时,k=-; 当t0时,因为kR, 所以=16-4t(t-3)0, 解得-1t4,且t0, 故t=的最大值为4, 此时|AB|最小,为2.,答案(1)D(2)4 解析(1)因为圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离d= ,所以弦长的一半等于=,所以弦长为. (2)把圆C的方程化为x2+(y-a)2=2+a2,则圆心为(0,a),半径r=.圆心到 直线x-y+2a=0的距离d=.由r2=d2+,得a2+2=+3,解得a2=2,则r2 =4,所以圆的面积S=r2=4.,方法技巧 当直线与圆相交时,求弦长的方法如下: (1)几何法:如图所示,设直线l被
8、圆C截得的弦为AB,圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则有关系式:|AB|=2. (2)代数法:若斜率为k的直线与圆相交于A(xA,yA),B(xB,yB)两点,则|AB|=|yA-yB|(其中k0).特别地,当k=0时,|AB|=,|xA-xB|;当斜率不存在时,|AB|=|yA-yB|.,2-1(2016课标全国,15,5分)已知直线l:x-y+6=0与圆x2+y2=12交 于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,则|CD|=. 答案4 解析圆心(0,0)到直线x-y+6=0的距离d=3,|AB|=2= 2,过C作CEBD于E,因为直线l的倾斜角为30,所以|CD|=
9、=4.,2-2已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:y=x-1被圆C所截得的弦长为2,则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为 . 答案x+y-3=0 解析由题意,设所求的直线方程为x+y+m=0,设圆心坐标为(a,0),则由题意知+2=(a-1)2,解得a=3或a=-1,又因为圆心在x轴的正半轴上, 所以a=3,故圆心坐标为(3,0).因为圆心(3,0)在所求的直线上,所以3+0+m=0,即m=-3,故所求的直线方程为x+y-3=0.,考点三圆的切线问题 典例3已知点P(+1,2-),点M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4. (1)求过点P的圆C的切线方程; (2
10、)求过点M的圆C的切线方程,并求出切线长. 解析由题意得圆心C(1,2),半径r=2.,(1)(+1-1)2+(2-2)2=4, 点P在圆C上. 又kPC=-1,切线的斜率k=-=1,过点P的圆C的切线方程是y-(2-)=1x-(+1),即x-y+1-2=0.,(2)(3-1)2+(1-2)2=54, 点M在圆C外部. 当过点M的直线斜率不存在时,直线方程为x=3,即x-3=0.,又点C(1,2)到直线x-3=0的距离d=3-1=2=r, 即此时满足题意,所以直线x=3是圆的切线. 当切线的斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0, 则圆心C到切线的距离d=r=2
11、, 解得k=. 切线方程为y-1=(x-3),即3x-4y-5=0. 综上可得,过点M的圆C的切线方程为x-3=0或3x-4y-5=0. |MC|=,过点M的圆C的切线长为= =1.,1.求过圆上的一点(x0,y0)的切线方程: 先求切点与圆心连线的斜率k,若k不存在,则结合图形可直接写出切线方程为y=y0;若k=0,则结合图形可直接写出切线方程为x=x0;若k存在且k0,则由垂直关系知切线的斜率为-,由点斜式可写出切线方程.,方法指导,2.求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程: (1)几何法 当斜率存在时,设为k,则切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y+y0-kx0=0.由圆心
12、到直线的距离等于半径,即可求出k的值,进而写出切线方程. (2)代数法 当斜率存在时,设为k,则切线方程为y-y0=k(x-x0),即y=kx-kx0+y0,代入圆的方程,得到一个关于x的一元二次方程,由=0求得k,切线方程即可求出.,3.在求过一定点的圆的切线方程时,应先判断定点与圆的位置关系,若点在圆上,则该点为切点,切线只有一条;若点在圆外,切线有两条;若点在圆内,则切线不存在.,3-1一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为() A.-或-B.-或- C.-或-D.-或- 答案D点(-2,-3)关于y轴的对称点为(2
13、,-3),由题意,知反射光线所在直线一定过点(2,-3).设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.由反射光线与圆相切,则有=1,解得k=-或k=-.,3-2已知直线l:x+ay-1=0(aR)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点 A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=() A.2B.4C.6D.2,答案C圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=22,圆心为C(2,1),半径r=2,由直线l是圆C的对称轴,知直线l过点C,所以2+a1-1=0,a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,
14、所以|AB|=6.故选C.,考点四圆与圆的位置关系 典例4已知两圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10 x-12y+45=0. (1)求证:圆C1和圆C2相交; (2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长. 解析(1)证明:圆C1的圆心为C1(1,3),半径r1=, 圆C2的圆心为C2(5,6),半径r2=4, 两圆圆心距d=|C1C2|=5,r1+r2=+4,|r1-r2|=4-, |r1-r2|dr1+r2, 圆C1和圆C2相交. (2)圆C1和圆C2的方程左、右分别相减, 得4x+3y-23=0,两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0. 圆心
15、C2(5,6)到直线4x+3y-23=0的距离 d=3, 故公共弦长为2=2.,3.两圆公共弦长的求法 求两圆公共弦长,选其中一圆,在由弦心距,弦长的一半,半径构成的直角三角形中,利用勾股定理求解.,4-1圆C1:x2+y2+2x+4y+1=0与圆C2:x2+y2-4x-4y-1=0的公切线有() A.1条B.2条C.3条D.4条,答案C圆C1:x2+y2+2x+4y+1=0化成标准方程为(x+1)2+(y+2)2=4,圆心坐标为(-1,-2),半径为2,圆C2:x2+y2-4x-4y-1=0化成标准方程为(x-2)2+(y-2)2=9,圆心坐标为(2,2),半径为3,所以=5=2+3,故两圆 的圆心距等于两圆的半径之和,所以两圆外切,所以两圆的公切线有3条.,4-2已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+2)2=1相外切,则ab的最大值为() A.B. C.D.2 答案C由圆C1与圆C2相外切, 可得=2+1=3, 即(a+b)2=a2+2ab+b2=9, 根据基本不等式可知9=a2+2ab+b22ab+2ab=4ab, 即ab, 当且仅当a=b时,等号成立.故选C.,