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1、第5讲直线、平面垂直的判定与性质,最新考纲 1以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理 2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形垂直关系的简单命题.,知 识 梳 理 1直线与平面垂直 (1)定义：若直线l与平面内的 一条直线都垂直，则直 线l与平面垂直 (2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条 直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直线面垂直)即：a，b，la，lb，abP . (3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线 即：a，b .,任意,相交,l,平行,ab,2平面与平面垂直 (1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角
2、，就说这两个平面互相垂直 (2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直即：a，a . (3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于 的直线与另一个平面垂直即：，a，b，ab .,a,交线,3直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角 (2)线面角的范围： . 4二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角 (2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱 的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角,两个半平面,垂直,辨 析 感 悟 1对线面垂直的理解 (1)直线a，b
3、，c；若ab，bc，则ac.() (2)直线l与平面内无数条直线都垂直，则l.() (3)(教材练习改编)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，若mn，m，则n.() (4)(教材习题改编)设l为直线，是两个不同的平面，若，l，则l.(),2对面面垂直的理解 (5)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面() (6)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.(),感悟提升 三个防范一是注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交等，如(1)； 二是注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，
4、就垂直于这个平面”， 如(2)； 三是判断线面关系时最容易漏掉线在面内的情况，如(6),考点一直线与平面垂直的判定和性质 【例1】 如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点 证明：(1)CDAE； (2)PD平面ABE.,证明(1)在四棱锥PABCD中， PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD. ACCD，PAACA，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE. (2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA. E是PC的中点，AEPC.,由(1)，知AECD，且PCCDC， AE平面PCD. 而PD平面PCD，AEPD.
5、 PA底面ABCD，PAAB. 又ABAD且PAADA， AB平面PAD，而PD平面PAD， ABPD.又ABAEA， PD平面ABE.,规律方法 证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等,证明ABCA1B1C1是棱柱，且ABBC
6、AA1BB1， 四边形BCC1B1是菱形，B1CBC1. 由AA1平面ABC，AA1BB1，得BB1平面ABC. AB平面ABC，BB1AB， 又ABBC，且ACBC，ABBC， 而BB1BCB，BB1，BC平面BCC1B1， AB平面BCC1B1，而B1C平面BCC1B1， ABB1C， 而ABBC1B，AB，BC1平面ABC1. B1C平面ABC1，而B1C平面B1CD， 平面ABC1平面B1CD.,规律方法 证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特
7、征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键,【训练2】 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M是棱CC1的中点 证明：平面ABM平面A1B1M.,考点三平行、垂直关系的综合问题 【例3】 如图，在四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点 (1)求证：CE平面PAD； (2)求证：平面EFG平面EMN.,审题路线(1)取PA的中点H证明四边形DCEH是平行四边形CEDH根据线面平行的判定定理可证 (2)证明ABEF证明ABFG证明AB平面EFG证明MN平面EFG得到结论,(2)因为E，
8、F分别为PB，AB的中点， 所以EFPA. 又ABPA，且EF，PA共面， 所以ABEF. 同理可证ABFG. 又EFFGF，EF平面EFG，FG平面EFG， 因此AB平面EFG. 又M，N分别为PD，PC的中点， 所以MNDC. 又ABDC，所以MNAB， 因此MN平面EFG. 又MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.,规律方法 线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理，而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材,【训练3】 如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点 (
9、1)求证：BC平面PAC； (2)设Q为PA的中点，G为AOC的重心，求证：QG平面PBC.,证明(1)由AB是圆O的直径，得ACBC， 由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC. 又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC， 所以BC平面PAC.,(2)连接OG并延长交AC于M，连接QM，QO，由G为AOC的重心，得M为AC中点 由Q为PA中点，得QMPC， 又O为AB中点，得OMBC. 因为QMMOM，QM平面QMO， MO平面QMO，BCPCC， BC平面PBC，PC平面PBC. 所以平面QMO平面PBC. 因为QG平面QMO，所以QG平面PBC.,考点四线面角、二面角的求法 【例
10、4】 如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点 (1)求PB和平面PAD所成的角的大小； (2)证明AE平面PCD； (3)求二面角APDC的正弦值 审题路线(1)先找出PB和平面PAD所成的角，线面角的定义要能灵活运用；(2)可以利用线面垂直根据二面角的定义作角,(1)解在四棱锥PABCD中， 因PA底面ABCD，AB平面ABCD， 故PAAB.又ABAD，PACDA， 从而AB平面PAD， 故PB在平面PAD内的射影为PA， 从而APB为PB和平面PAD所成的角 在RtPAB中，ABPA，故APB45. 所以PB和平面PAD
11、所成的角的大小为45.,(2)证明在四棱锥PABCD中， 因PA底面ABCD，CD平面ABCD， 故CDPA.由条件CDAC，PAACA， CD平面PAC. 又AE平面PAC，AECD. 由PAABBC，ABC60，可得ACPA. E是PC的中点，AEPC. 又PCCDC，综上得AE平面PCD.,规律方法 (1)求直线与平面所成的角的一般步骤： 找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成； 计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解 (2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱
12、垂直，由此可得二面角的平面角,答案D,创新突破7求解立体几何中的探索性问题 【典例】 (2012北京卷) 如图1，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图2. (1)求证：DE平面A1CB； (2)求证：A1FBE； (3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由.,突破1：弄清翻折前后的线面关系和几何量的度量值翻折前：DEBC，DEAC翻折后：DEBC，DEA1D，DECD. 突破2：要证A1FBE，转化为证A1F平面BCDE. 突破3：由A1DCD，可想到取A1C的中点P，则DPA1C，
13、进而可得A1B的中点Q为所求点 (1)证明因为D，E分别为AC，AB的中点， 所以DEBC. 又因为DE平面A1CB，BC平面A1CB， 所以DE平面A1CB.,(2)证明由已知得ACBC且DEBC，所以DEAC. 所以DEA1D，DECD，又A1DDED， 所以DE平面A1DC. 而A1F平面A1DC，所以DEA1F. 又因为A1FCD，所以A1F平面BCDE. 所以A1FBE.,(3)解线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下： 如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBC. 又因为DEBC，所以DEPQ. 所以平面DEQ即为平面DEP. 由(2)知，DE平面A1DC，所以
14、DEA1C. 又因为P是等腰DA1C底边A1C的中点， 所以A1CDP，又DEDPD， 所以A1C平面DEP.从而A1C平面DEQ. 故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ.,反思感悟 (1)解决探索性问题一般先假设其存在，把这个假设作已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算，在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在，如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在 (2)在处理空间折叠问题中，要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等，关键是点、线、面位置关系的转化与平面几何知识的应用，注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同，盲目套用容易导致错误,(1)证明在图1中，可得ACBC2，从而AC2BC2AB2，ACBC，平面ADC平面ABC，平面ADC 平面ABCAC，BC平面ABC， BC平面ADC，又AD平面ADC， BCDA.,(2)解取CD的中点F，连接EF，BF， 在ACD中，E，F分别为AC，DC的中点， EF为ACD的中位线， ADEF， 又EF平面EFB，AD平面EFB，AD平面EFB.,