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1、第4讲离散型随机变量及其分布列,最新考纲 1理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性 2理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用.,知 识 梳 理 1离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为 ，所有取值可以一一列出的随机变量，称为 随机变量,随机变量,离散型,2离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，则表 称为离散型随机变量X的 (2)离散型随机变量的分布列的性质 pi0(i1,2，n)； 1,概率分布列,p1p2pn,辨
2、析 感 悟 1离散型随机变量 (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量() (2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.() (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的(),2分布列的性质及两个特殊的概率分布 (4)如果随机变量X的分布列由下表给出： 则它服从二点分布() (5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布(),感悟提升 1离散型随机变量的特点 一是在试验之前不能断言随机变量取什么值，即具有随机性；二是在大量重复试验中能按一定统计规律取值的变量，即存在统计规律性，如(1)、(3) 2分布列的两条性质 离散型随
3、机变量的分布列指出了随机变量X的取值范围以及取各值的概率，如(6)；要理解两种特殊的概率分布两点分布与超几何分布，如(4)、(5)；并善于灵活运用两性质：一是pi0(i1,2，)；二是p1p2pn1检验分布列的正误，如(2),考点一离散型随机变量分布列的性质 【例1】 设离散型随机变量X的分布列为 求随机变量Y|X1|的分布列,解由分布列的性质，知 020.10.10.3m1，m0.3. 列表 P(Y1)P(X0)P(X2)0.20.10.3， P(Y0)P(X1)0.1， P(Y2)0.3，P(Y3)0.3. 因此Y|X1|的分布列为：,规律方法 (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值
4、，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数 (2)若X是随机变量，则Y|X1|仍然是随机变量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法求Y取各值的概率，进而写出分布列,【训练1】 随机变量X的分布列如下： 其中a，b，c成等差数列，则P(|X|1)_.,考点二离散型随机变量的分布列 【例2】 (2013天津卷)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同) (1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率； (2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设
5、为X，求随机变量X的分布列与数学期望,审题路线(1)编号为3的卡片来源有两类，利用古典概型求事件的概率(2)根据任取4张卡片的不同情况确定X的所有可能取值，然后求出相应的概率，进而确定分布列、计算数学期望,规律方法 (1)求随机变量的分布列的主要步骤：明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；求每一个随机变量取值的概率；列成表格 (2)求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确,【训练2】 (2014青岛质检)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所
6、得分数之和 (1)求X的分布列； (2)求X的数学期望E(X),考点三超几何分布问题 【例3】 (2014哈尔滨调研)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物根据现行国家标准GB30952012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标 从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：,(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
7、 (2)从这10天的数据中任取3天数据记X表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求X的分布列 审题路线(1)由频数分布表，知10天中仅有3天空气质量达到一级，利用古典概型可求第(1)问中的概率(2)超标的天数X服从超几何分布利用超几何分布的概率公式代入求解,规律方法 (1)求解本题的关键在于：从统计图表中准确提取信息；明确随机变量X服从超几何分布 (2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数超几何分布的特征是：考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型,
8、1求分布列的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率，要注意避免分类不全面或计算错误 2注意运用分布列的两个性质检验求得分布列的正误 3求概率分布的常见类型 (1)根据统计数表求离散型随机变量的分布列； (2)由古典概型求离散型随机变量的分布列； (3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列,思想方法11分类讨论思想在概率中的应用 【典例】 在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记X|x2|yx|. (1)求随机变量X的最大值，并求事件“X取得最大值”的概率； (2)求随机变量X的分布列,反思感悟 (1)解决本题的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率 (2)随机变量X的值是x，y的函数，所以要对x，y的取值进行分类讨论 (3)分类不全面或计算错误是本题易错点,【自主体验】 (2012江苏卷)设X为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，X0；当两条棱平行时，X的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，X1.求随机变量X的分布列,