《（5年高考+3年模拟）文科数学通用版课件：10.1 椭圆及其性质 .pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（5年高考+3年模拟）文科数学通用版课件：10.1 椭圆及其性质 .pptx（88页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、10.1椭圆及其性质,高考文数 ( 课标专用),1.(2018课标全国,4,5分)已知椭圆C:+=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为() A.B.C.D.,A组统一命题课标卷题组,五年高考,答案C本题主要考查椭圆的方程及其几何性质. 由题意可知c=2,b2=4, a2=b2+c2=4+22=8,则a=2, e=,故选C.,方法总结求椭圆离心率的常用方法: (1)求得a,c的值,直接代入e=求解. (2)列出关于a,b,c的齐次方程,结合b2=a2-c2消去b,从而转化为关于e的方程求解.,2.(2018课标全国,11,5分)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1PF2
2、,且PF2F1=60,则C的离心率为() A.1- B.2- C.D.-1,答案D本题主要考查椭圆的定义和几何性质. 不妨设椭圆方程为+=1(ab0). 在RtF1PF2中,因为PF2F1=60,|F1F2|=2c, 所以|PF2|=c,|PF1|=c. 由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a, 即c+c=2a, 所以椭圆的离心率e=-1.故选D.,疑难突破利用椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a,结合题意得到a与c的等量关系是求解的关键,也是难点的突破口.,3.(2017课标全国,12,5分)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足 AMB=120,则m的取值范围是(
3、) A.(0,19,+)B.(0,9,+) C.(0,14,+)D.(0,4,+),答案A本题考查圆锥曲线的几何性质. 当0m3时,椭圆C的焦点在x轴上,如图(1),A(-,0),B(,0). 图(1),4.(2017课标全国,11,5分)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A 1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为() A.B.C.D.,答案A由题意可得a=,故a2=3b2, 又b2=a2-c2,所以a2=3(a2-c2), 所以=, 所以e=.,方法总结求离心率问题的实质就是找出a、b、c之间的关系,再利用a2=b2+c2(椭圆)或c
4、2=a2+b2(双曲线),转化为a、c间的关系.,5.(2016课标全国,5,5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为() A.B.C.D.,答案B如图,|OB|为椭圆中心到l的距离,则|OA|OF|=|AF|OB|,即bc=a,所以e=.故 选B.,一题多解设椭圆的方程为+=1(ab0),由题意可取直线l的方程为y=x+b,椭圆 中心到l的距离为,由题意知=2b,即=,故离心率e=.,易错警示椭圆中心到直线l的距离为2b=,容易将短轴长误认为b.,6.(2016课标全国,12,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(ab0)的左焦点,
5、A,B分别 为C的左,右顶点.P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为() A.B. C.D.,答案A解法一:设点M(-c,y0),OE的中点为N,则直线AM的斜率k=, 从而直线AM的方程为y=(x+a), 令x=0,得点E的纵坐标yE=. 同理,OE的中点N的纵坐标yN=. 因为2yN=yE,所以=, 即2a-2c=a+c, 所以e=.故选A. 解法二:如图,设OE的中点为N, 由题意知|AF|=a-c,|BF|=a+c,|OF|=c,|OA|=|OB|=a, PFy轴,=, =,又=, 即=, a=3c,故e=.
6、,思路分析解法一:设出点M的坐标及OE的中点为N,写出AM的方程,然后求出yE与yN,利用2yN=yE求出. 解法二:由PFy轴得对应线段成比例,结合|OE|=2|ON|可求出.,7.(2015课标,5,5分,0.693)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2 =8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=() A.3B.6 C.9D.12,答案B抛物线C:y2=8x的焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2. 从而椭圆E的半焦距c=2. 可设椭圆E的方程为+=1(ab0), 因为离心率e=,所以a=4, 所以b2=a2-c2=12. 由题意知|AB|
7、=2=6.故选B.,8.(2014课标,20,12分,0.083)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(ab0)的左,右焦点,M是C上一点 且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N. (1)若直线MN的斜率为,求C的离心率; (2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.,解析(1)根据c=及题设知M,2b2=3ac. 将b2=a2-c2代入2b2=3ac, 解得=或=-2(舍去). 故C的离心率为. (2)由题意,得原点O为F1F2的中点,MF2y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点, 故=4,即b2=4a. 由|MN|=5|F1N|得
8、|DF1|=2|F1N|.,B组自主命题省(区、市)卷题组 考点一椭圆的定义和标准方程 1.(2015广东,8,5分)已知椭圆+=1(m0)的左焦点为F1(-4,0),则m=() A.2B.3C.4D.9,答案B依题意有25-m2=16,m0,m=3.选B.,2.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点 分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=.,评析本题考查了椭圆的定义和方程,考查了数形结合的思想.连接PF1、PF2利用椭圆的定义是求解的关键.,3.(2018天津,19,14分)设椭圆+=1(ab0)的右顶点为A,上顶点
9、为B.已知椭圆的离心率为 ,|AB|=. (1)求椭圆的方程; (2)设直线l:y=kx(k0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若BPM的面积是BPQ面积的2倍,求k的值.,解析本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力. (1)设椭圆的焦距为2c,由已知有=,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由|AB|=,从而a=3, b=2. 所以,椭圆的方程为+=1.,解题关键第(2)问中把两个三角形的面积的关系转化为点P、M的横坐标间的关系,进而得到关于k的方程是求
10、解的难点和关键.,4.(2016天津,19,14分)设椭圆+=1(a)的右焦点为F,右顶点为A.已知+=, 其中O为原点,e为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BFHF,且MOA=MAO,求直线l的斜率.,解析(1)设F(c,0),由+=,即+=,可得a2-c2=3c2, 又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4. 所以,椭圆的方程为+=1. (2)设直线l的斜率为k(k0), 则直线l的方程为y=k(x-2). 设B(xB,yB),由方程组消去y, 整理得(4k2+3)x2-16
11、k2x+16k2-12=0. 解得x=2,或x=,由题意得xB=,从而yB=. 由(1)知,F(1,0),设H(0,yH),有=(-1,yH),=. 由BFHF,得=0,所以+=0,解得yH=. 因此直线MH的方程为y=-x+.,设M(xM,yM),由方程组消去y, 解得xM=. 在MAO中,MOA=MAO|MA|=|MO|,即(xM-2)2+=+,化简得xM=1,即=1,解 得k=-,或k=. 所以,直线l的斜率为-或.,考点二椭圆的性质 1.(2017浙江,2,5分)椭圆+=1的离心率是() A.B.C.D.,答案B本题考查椭圆的标准方程和几何性质. 由题意得,a=3,c=,离心率e=.故
12、选B.,2.(2015福建,11,5分)已知椭圆E:+=1(ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x- 4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值 范围是() A.B.C.D.,答案A直线l:3x-4y=0过原点,从而A,B两点关于原点对称,于是|AF|+|BF|=2a=4,所以a=2.不妨令M(0,b),则由点M(0,b)到直线l的距离不小于,得,即b1.所以e2= =,又0e1,所以e,故选A.,评析本题考查了椭圆的定义及性质.考查数形结合的思想.解题关键在于发现A,B两点关于原点对称,从而得出|AF|+|BF|=
13、2a.,3.(2017北京,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为. (1)求椭圆C的方程; (2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:BDE与BDN的面积之比为45.,解析(1)设椭圆C的方程为+=1(ab0). 由题意得 解得c=. 所以b2=a2-c2=1. 所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n). 由题设知m2,且n0. 直线AM的斜率kAM=,故直线DE的斜率kDE=-. 所以直线DE的方程为y=-(x-m).直线BN的方程
14、为y=(x-2).,联立 解得点E的纵坐标yE=-. 由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2. 所以yE=-n. 又SBDE=|BD|yE|=|BD|n|, SBDN=|BD|n|, 所以BDE与BDN的面积之比为45.,4.(2017天津,20,14分)已知椭圆+=1(ab0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为 (0,c),EFA的面积为. (1)求椭圆的离心率; (2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PMQN,且直线 PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c. (i)求直线FP的斜率; (ii)求椭圆的方程.,解析
15、(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得(c+a)c=. 又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0. 又因为00),则直线FP的斜率为. 由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为+=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x= ,y=,即点Q的坐标为.由已知|FQ|=c,有+ =,整理得3m2-4m=0,所以m=,即直线FP的斜率为. (ii)由a=2c,可得b=c,故椭圆方程可以表示为+=1. 由(i)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得消去y, 整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-(舍去),或x=c.因此可得点P,进而
16、可得|FP|=,所以|PQ|=|FP| -|FQ|=-=c. 由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP. 因为QNFP,所以|QN|=|FQ|tanQFN=,所以FQN的面积为|FQ|QN|=,同理 FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得-=3c,整理得c2=2c,又由c0,得 c=2.所以,椭圆的方程为+=1.,C组教师专用题组 考点一椭圆的定义和标准方程 1.(2014大纲全国,9,5分)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2 的直线l交C于A、B两点.若AF1B的周长为4,则C的方程为() A.
17、+=1B.+y2=1 C.+=1D.+=1,答案A由椭圆的定义可知AF1B的周长为4a, 所以4a=4,故a=, 又由e=得c=1, 所以b2=a2-c2=2, 则C的方程为+=1,故选A.,2.(2015浙江,15,4分)椭圆+=1(ab0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上, 则椭圆的离心率是.,3.(2016四川,20,13分)已知椭圆E:+=1(ab0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形 的三个顶点,点P在椭圆E上. (1)求椭圆E的方程; (2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM 与椭圆E交于C,D,证明:|MA
18、|MB|=|MC|MD|.,解析(1)由已知,a=2b. 又椭圆+=1(ab0)过点P, 故+=1, 解得b2=1. 所以椭圆E的方程是+y2=1. (2)证明:设直线l的方程为y=x+m(m0),A(x1,y1),B(x2,y2), 由方程组得x2+2mx+2m2-2=0, 方程的判别式为=4(2-m2),由0,即2-m20,解得-m. 由得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2. 所以M点坐标为,直线OM方程为y=-x,由方程组得C,D. 所以|MC|MD|=(-m+)(+m)=(2-m2). 又|MA|MB|=|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1+x2)2-4x1x2
19、=4m2-4(2m2-2)=(2-m2), 所以|MA|MB|=|MC|MD|. 评析本题考查了椭圆的标准方程,椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系.,4.(2015天津,19,14分)已知椭圆+=1(ab0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为. (1)求直线BF的斜率; (2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|=|MQ|. (i)求的值; (ii)若|PM|sinBQP=,求椭圆的方程.,解析(1)设F(-c,0).由已知离心率=及a2=b2+c2,可得a=c,b=2c. 又因为B(0,b),F(-c,0
20、), 故直线BF的斜率k=2. (2)设点P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM). (i)由(1)可得椭圆的方程为+=1,直线BF的方程为y=2x+2c.将直线方程与椭圆方程联立, 消去y,整理得3x2+5cx=0,解得xP=-. 因为BQBP,所以直线BQ的方程为y=-x+2c,与椭圆方程联立,消去y,整理得21x2-40cx=0,解得 xQ=. 又因为=,及xM=0,可得=. (ii)由(i)有=,所以=, 即|PQ|=|PM|.,又因为|PM|sinBQP=, 所以|BP|=|PQ|sinBQP=|PM|sinBQP=. 又因为yP=2xP+2c=-c, 所以|BP|=c,
21、 因此c=,得c=1. 所以,椭圆方程为+=1. 评析本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想和化归思想解决问题的能力.,5.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆 于P,Q两点,且PQPF1. (1)若|PF1|=2+,|PF2|=2-,求椭圆的标准方程; (2)若|PQ|=|PF1|,且,试确定椭圆离心率e的取值范围.,解析(1)由椭圆的定义,2a=|PF1|+|PF2|=(2+)+(2-)=4,故a=2. 设椭圆的半焦距为
22、c,由已知PF1PF2,因此 2c=|F1F2|=2,即c=,从而b=1. 故所求椭圆的标准方程为+y2=1. (2)如图,由PF1PQ,|PQ|=|PF1|,得 |QF1|=|PF1|. 由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a,进而 |PF1|+|PQ|+|QF1|=4a. 于是(1+)|PF1|=4a,解得|PF1|=, 故|PF2|=2a-|PF1|=. 由勾股定理得 |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=4c2, 从而+=4c2, 两边除以4a2,得 +=e2. 若记t=1+,则上式变成 e2=8+. 由,并注意到t=1+关于的单调性
23、,得3t4,即. 进而e2,即e.,评析本题考查了椭圆的定义、标准方程及椭圆的性质;考查了运算求解能力及分析论证能力;运用函数的思想是求解的关键.,6.(2014四川,20,13分)已知椭圆C:+=1(ab0)的左焦点为F(-2,0),离心率为. (1)求椭圆C的标准方程; (2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.,解析(1)由已知可得,=,c=2,所以a=. 又由a2=b2+c2, 解得b=,所以椭圆C的标准方程是+=1. (2)设T点的坐标为(-3,m),则直线TF的斜率kTF=-m. 当m0时,
24、直线PQ的斜率kPQ=,直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符 合x=my-2的形式. 设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得消去x,得(m2+3)y2-4my-2 =0,7.(2014广东,20,14分)已知椭圆C:+=1(ab0)的一个焦点为(,0),离心率为. (1)求椭圆C的标准方程; (2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.,解析(1)由题意得c=,e=,a=3, b=2, 椭圆C的标准方程为+=1. (2)当过P点的两条切线的斜率均存在时,不妨设为k1、k
25、2, 则过P点的切线方程可设为y-y0=k(x-x0)y=kx+y0-kx0, 由消去y,有(4+9k2)x2+18k(y0-kx0)x+9(y0-kx0)2-4=0, =18k(y0-kx0)2-4(4+9k2)9(y0-kx0)2-4=0,8.(2013课标,21,12分,0.048)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程; (2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.,解析由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(
26、1,0),半径r2=3. 设圆P的圆心为P(x,y),半径为R. (1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线C是以M、N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶 点除外),其方程为+=1(x-2). (2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-22,所以R2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2. 所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4. 若l的倾斜角为90,则l与y轴重合,可得|AB|=2. 若l的倾斜角不为90,由r1R知l不平行于x轴,设l与x
27、轴的交点为Q, 则=,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).,由l与圆M相切得=1, 解得k=. 当k=时,将y=x+代入+=1,并整理得7x2+8x-8=0, 解得x1,2=. 所以|AB|=|x2-x1|=. 当k=-时,由图形的对称性可知|AB|=. 综上,|AB|=2或|AB|=.,思路分析(1)计算出|MN|=2,由椭圆的定义判断出曲线C的形状(得出方程后注意检验).(2)判断出圆P的半径最大时点P的坐标为(2,0),然后利用分类讨论思想求出|AB|.,易错警示(1)没有限制x-2导致失分.(2)忽略y轴也是两圆的一条公切线导致漏解.,考点二椭圆的性质 1.(2013课
28、标,5,5分,0.579)设椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的 点,PF2F1F2,PF1F2=30,则C的离心率为() A.B.C.D.,答案D在RtPF2F1中,令|PF2|=1,因为PF1F2=30,所以|PF1|=2,|F1F2|=.所以e= =.故选D.,一题多解设F2(c,0),则P,由题意知|F1F2|=|PF2|,则2c=,即2c=,解得= ,即离心率e=.,2.(2012课标全国,4,5分)设F1、F2是椭圆E:+=1(ab0)的左、右焦点,P为直线x=上一 点,F2PF1是底角为30的等腰三角形,则E的离心率为() A.B.C.D.,答案C设直
29、线x=a与x轴交于点Q,由题意得PF2Q=60,|F2P|=|F1F2|=2c,|F2Q|=a-c,a- c=2c,e=,故选C. 评析本题考查了椭圆的基本性质,考查了方程的思想,灵活解三角形对求解至关重要.,3.(2011课标,4,5分)椭圆+=1的离心率为() A.B.C.D.,答案D在+=1中,a2=16,b2=8,c2=a2-b2=16-8=8, c=2,e=,故选D. 评析本题考查椭圆的离心率等相关知识,由c2=a2-b2正确求得c的值是解答本题的关键,属容易题.,4.(2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(ab0)的右焦点,直线y= 与椭圆交于B
30、,C两点,且BFC=90,则该椭圆的离心率是.,答案,解析由已知条件易得B,C, F(c,0),所以=,=, 由BFC=90,可得=0, 所以+=0, 整理得c2-a2+b2=0,又b2=a2-c, 所以4c2-3a2+(a2-c2)=0, 即3c2=2a2, 所以=,所以e=.,5.(2014江西,14,5分)设椭圆C:+=1(ab0)的左,右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交 于A,B两点,F1B与y轴相交于点D,若ADF1B,则椭圆C的离心率等于 .,6.(2010全国,16,5分)已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且=2,则C的离心率为
31、.,7.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0), 点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为. (1)求E的离心率e; (2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点.证明:MNAB.,解析(1)由题设条件知,点M的坐标为, 又kOM=,从而=. 进而a=b,c=2b. 故e=. (2)证明:由N是AC的中点知,点N的坐标为,可得=. 又=(-a,b),从而有=-a2+b2=(5b2-a2). 由(1)的计算结果可知a2=5b2, 所以=0,故MNAB. 评析本题考查椭圆的简单几何性
32、质及利用向量法证明线线垂直,较难.,8.(2014安徽,21,13分)设F1、F2分别是椭圆E:+=1(ab0)的左、右焦点,过点F1的直线交 椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|F1B|. (1)若|AB|=4,ABF2的周长为16,求|AF2|; (2)若cosAF2B=,求椭圆E的离心率.,解析(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,得|AF1|=3,|F1B|=1. 因为ABF2的周长为16,所以由椭圆定义可得4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8. 故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5. (2)设|F1B|=k,则k0且|AF1|=3k,|AB|=4k. 由椭圆定
33、义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k. 在ABF2中,由余弦定理可得 |AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|BF2|cosAF2B, 即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)(2a-k).,9.(2014天津,18,13分)设椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为 B.已知|AB|=|F1F2|. (1)求椭圆的离心率; (2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过点F2的直线l与该圆相切于点M,|MF2|=2.求椭圆的方程.,解析(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0). 由|AB|
34、=|F1F2|,可得a2+b2=3c2, 又b2=a2-c2,所以=. 所以,椭圆的离心率e=. (2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为+=1. 设P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c). 由已知,有=0,即(x0+c)c+y0c=0.又c0,故有 x0+y0+c=0. 因为点P在椭圆上,故 +=1. 由和可得3+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,故x0=-c,代入得y0=, 即点P的坐标为.,设圆的圆心为T(x1,y1),则x1=-c,y1=c,进而圆的半径r=c. 由已知,有|TF2|2=|MF2|2+r2,又|MF2|=
35、2,故有 +=8+c2, 解得c2=3. 所以,所求椭圆的方程为+=1. 评析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.,考点一椭圆的定义与方程 1.(2018湖北武汉模拟,4)曲线+=1与曲线+=1(k9)的() A.长轴长相等B.短轴长相等 C.离心率相等D.焦距相等,三年模拟,A组 20162018年高考模拟基础题组,答案D曲线+=1表示焦点在x轴上的椭圆,其长轴长为10,短轴长为6,焦距为8,离心率 为.曲线+=1(k9)表示焦点在x轴上的椭圆,其长轴长为2,短轴长为2, 焦距
36、为8,离心率为.对照选项,知D正确.故选D.,2.(2018安徽合肥一模,7)如图,椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于M, N两点,交y轴于点H.若F1,H是线段MN的三等分点,则F2MN的周长为() A.20B.10C.2D.4,答案D由F1,H是线段MN的三等分点,得H为NF1的中点, O为F1F2的中点,OHNF2, NF2F1F2,则N,设M(x,y), 由题意知=,即=, 解得x=-2c,y=-,M, 将M的坐标代入椭圆方程得+=1,又c2=a2-b2=a2-4, 解得a2=5,则a=, F2MN的周长为4a=4,故选D.,3.(2018河南郑州二模,4)已
37、知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为, 过F2的直线l交C于A、B两点,若AF1B的周长为12,则C的方程为() A.+y2=1 B.+=1 C.+=1D.+=1,答案D由题意可得=,4a=12,解得a=3,c=2,则b=, 所以椭圆C的方程为+=1.故选D.,4.(2018山东济南一模,5)已知椭圆C:+=1(ab0),若长轴长为6,且两焦点恰好将长轴三等 分,则此椭圆的标准方程为() A.+=1B.+=1 C.+=1D.+=1,答案B椭圆长轴长为6,即2a=6,得a=3, 两焦点恰好将长轴三等分, 2c=2a=2,得c=1, 因此,b2=a2-c2=9-1=8,
38、 此椭圆的标准方程为+=1.故选B.,5.(2017湖南长沙一模,5)椭圆的焦点在x轴上,中心在原点,其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆的标准方程为() A.+=1B.+y2=1 C.+=1 D.+=1,答案C由条件可知b=c=,a=2,所以椭圆的标准方程为+=1.故选C.,6.(2018四川德阳模拟,9)设P为椭圆C:+=1上一点,F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点,且 PF1F2的重心为点G,若|PF1|PF2|=34,那么GPF1的面积为() A.24B.12C.8D.6,答案CP为椭圆C:+=1上一点,|PF1|PF2|=34,|PF1|+|PF2|=2a=14,
39、 |PF1|=6,|PF2|=8, 又|F1F2|=2c=2=10, 易知PF1F2是直角三角形,=|PF1|PF2|=24, PF1F2的重心为点G,=3, GPF1的面积为8,故选C.,考点二椭圆的几何性质 1.(2018河南六市一模,4)已知点A(-1,0)和B(1,0),动点P(x,y)在直线l:y=x+3上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为() A.B.C.D.,答案AA(-1,0)关于直线l:y=x+3的对称点为A(-3,2),连接AB交直线l于点P,则此时椭圆C的长轴长最短,为|AB|=2, 所以椭圆C的离心率的最大值为=.故选A.,2.(2018安
40、徽宣城二模,7)已知椭圆+=1(ab0)的左顶点为M,上顶点为N,右焦点为F,若 =0,则椭圆的离心率为() A.B.C.D.,答案D由题意知,M(-a,0),N(0,b),F(c,0),=(-a,-b),=(c,-b).=0,-ac+b2=0, 即b2=ac.又b2=a2-c2,a2-c2=ac.e2+e-1=0,解得e=或e=(舍).椭圆的离心率为 ,故选D.,3.(2018河南郑州一模,6)椭圆+=1(ab0)与函数y=的图象交于点P,若函数y=的图 象在P处的切线过椭圆的左焦点F(-1,0),则椭圆的离心率是() A. B. C.D.,答案B设P(t,),则kPF=, 由y=,得y=,
41、则kPF=,则有=, 解得t=1,即P(1,1), 设椭圆的右焦点为F,则F(1,0), 则2a=|PF|+|PF|=1+, 椭圆的离心率为=,故选B.,4.(2018四川达州模拟,7)以圆x2+y2=4与x轴的交点为焦点,以抛物线y2=10 x的焦点为一个顶点且中心在原点的椭圆的离心率是() A.B.C.D.,答案C易知x2+y2=4与x轴的交点为(2,0),抛物线y2=10 x的焦点为, 即椭圆的焦点为(2,0),椭圆的右顶点为, 则在椭圆中,c=2,a=, 则椭圆的离心率e=. 故选C.,5.(2016江西高安模拟,5)椭圆C:+=1(ab0)的左焦点为F,若F关于直线x+y=0的对称点
42、 A是椭圆C上的点,则椭圆C的离心率为() A.B.C.D.-1,答案D设F(-c,0)关于直线x+y=0的对称点为A(m,n),则m=,n=c, 即A, 点A在椭圆C上, +=1,把b2=a2-c2代入, 化简可得e4-8e2+4=0,解得e2=42,又0e1, e=-1,故选D.,6.(2016江西上饶模拟,8)如图,F1,F2是双曲线C1:x2-=1与椭圆C2的公共焦点,点A是C1,C2在第一 象限内的交点,若|F1F2|=|F1A|,则C2的离心率是() A.B.C.D.,答案C设椭圆的长半轴长为a. 由题意可知,|F1F2|=|F1A|=6, |F1A|-|F2A|=2,|F2A|=
43、4,|F1A|+|F2A|=10, 2a=10,C2的离心率是=.故选C.,7.(2018湖南衡阳一模,20)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为 ,直线y=1与C的两个交点间的距离为. (1)求椭圆C的方程; (2)分别过F1、F2作l1、l2满足l1l2,设l1、l2与C的上半部分分别交于A、B两点,求四边形ABF2F1面积的最大值.,解析(1)易知椭圆过点,所以+=1, 又=, a2=b2+c2, 所以由得a2=4,b2=3, 所以椭圆C的方程为+=1. (2)设直线l1的方程为x=my-1,它与C的另一个交点为D. 将直线l1与椭圆C的方程联立,消去x,
44、得(3m2+4)y2-6my-9=0, =144(m2+1)0. |AD|=, 又F2到l1的距离d=, 所以=12.,令t=,t1,则=, 当t=1时,取得最大值,为3. 又=(|BF2|+|AF1|)d=(|AF1|+|DF1|)d=|AB|d=, 所以四边形ABF2F1面积的最大值为3.,B组20162018年高考模拟综合题组 (时间:55分钟分值:60分) 一、选择题(每小题5分,共15分) 1.(2018湖南常德模拟,8)椭圆C1:+=1与双曲线C2:-=1(ab0)的离心率之积为,直 线l:x-y+3=0与椭圆C1相切,则椭圆C1的方程为() A.+y2=1 B.+=1 C.+=1
45、D.+=1,答案C椭圆C1:+=1的离心率e1=, 双曲线C2:-=1的离心率e2=, 由e1e2=,得=,则a=b, 由得3x2+12x+18-2b2=0, 由=122-43(18-2b2)=0, 解得b2=3,则a2=6, 椭圆C1的方程为+=1,故选C.,思路分析利用题意与椭圆及双曲线的离心率公式,即可求得a=b,将直线与椭圆方程联立, 由=0,即可求得b2的值,从而得a2的值,进而得出答案.,2.(2018山东菏泽一模,9)已知椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直于x 轴的直线交椭圆于A,B两点,若ABF2的内切圆半径为a,则椭圆的离心率e=() A. B.或
46、 C.D.,答案B设ABF2内切圆的圆心为C, 则=SABC+, 即22c=a(|AB|+|AF2|+|BF2|), =a4a, =a2,即2c(a2-c2)=a3, 整理得8e3-8e+3=0,解得e=或e=.故选B.,3.(2017江西上饶一模,10)设F1,F2为椭圆C1:+=1(a1b10)与双曲线C2:-=1(a20,b20) 的公共焦点,它们在第一象限内交于点M,F1MF2=90,若椭圆的离心率e1=,则双曲线C2的离 心率e2为() A.B.C.D.,答案B设|F1M|=m,|F2M|=n,mn, 则m+n=2a1,m-n=2a2,m2+n2=4c2, 可得+=2c2, 可得+=
47、2,又e1=, 所以e2=.故选B.,一题多解在椭圆C1中,有=tan=,在双曲线C2中,有=,所 以=,即-c2=c2-,可得+=2c2,可得+=2,又e1=,所以e2=.故选B.,二、填空题(共5分) 4.(2017江西赣州期末,15)已知圆E:x2+=经过椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点F1,F2,与椭圆在第一象限的交点为A,且F1,E,A三点共线,则该椭圆的方程为.,三、解答题(共40分) 5.(2018河南六市三模,20)已知椭圆+=1(ab0)的离心率e=,原点到过点A(0,-b)和B(a, 0)的直线的距离为. (1)求椭圆的方程; (2)设F1,F2为椭圆的左、右焦点,过F
48、2作直线交椭圆于P,Q两点,求PQF1内切圆半径r的最大值.,解析(1)直线AB的方程为+=1, 即bx-ay-ab=0. 原点到直线AB的距离为=, 即3a2+3b2=4a2b2, 由e=,得c2=a2, 又a2=b2+c2, 所以联立可得a2=3,b2=1,c2=2. 故椭圆的方程为+y2=1. (2)由(1)得F1(-,0),F2(,0), 设P(x1,y1),Q(x2,y2). 易知直线PQ的斜率不为0,故设其方程为x=ky+, 联立直线与椭圆的方程得,6.(2018山东济宁一模,20)已知椭圆C:+=1(a2),直线l:y=kx+1(k0)与椭圆C相交于A,B两 点,点D为AB的中点
49、. (1)若直线l与直线OD(O为坐标原点)的斜率之积为-,求椭圆C的方程; (2)在(1)的条件下,y轴上是否存在定点M,使得当k变化时,总有AMO=BMO(O为坐标原点)?若存在,求出定点M的坐标;若不存在,请说明理由.,解析(1)由得(4+a2k2)x2+2a2kx-3a2=0, 显然0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0), 则x1+x2=-,x1x2=, x0=-,y0=-+1=, k=k=-, a2=8.椭圆C的方程为+=1. (2)假设存在定点M符合题意,且设M(0,m), 由AMO=BMO得kAM+kBM=0. +=0. 即y1x2+y2x1-m(x1+x2)=0,2kx1x2+x1+x2-m(x1+x2)=0. 由(1)知x1+x2=-,x1x2=, -+=0, =0,即=0, k0,-4+m=0,m=4. 存在定点M(0,4),使得AMO=BMO.,7.(2017山西五校联考,22)设点F为椭圆C:+=1(m0)的左焦点,直线y=x被椭圆截得的弦 长为. (1)求椭圆C的方程; (2)圆P:+=r2(r0)与椭圆交于A,B两点,M为线段AB上任意一点