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1、第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系,最新考纲 1理解空间直线、平面位置关系的定义 2了解可以作为推理依据的公理和定理 3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.,知 识 梳 理 1平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内 (2)公理2：过 的三点，有且只有一个平面 (3)公理3：如果两个不重合的平面有 公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线,两点,不在一条直线上,一个,(4)公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论2：经过两条 直线有且只有一个平面； 推论3：经过两条 直线
2、有且只有一个平面,相交,平行,平行,相交,任何,锐角(或直角),同一条直线,相等或互补,3空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有 、 、 三种情况 (2)平面与平面的位置关系有 、 两种情况,相交,平行,在平面内,平行,相交,辨 析 感 悟 1对平面基本性质的认识 (1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分() (2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于A点，记作A.() (3)(教材练习改编)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面() (4)(教材练习改编)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合(),2对空间直线关系的认识 (5)已知a，b是异面直线、直线
3、c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线() (6)没有公共点的两条直线是异面直线(),感悟提升 1一点提醒做有关平面基本性质的判断题时，要抓住关键词，如“有且只有”、“只能”、“最多”等如(1)中两个不重合的平面还可把空间分成三部分 2两个防范一是两个不重合的平面只要有一个公共点，那么两个平面一定相交得到的是一条直线，如(2)；二是搞清“三个公共点”是共线还是不共线，如(4) 3一个理解异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线，如(6).,考点一平面的基本性质及其应用 【例1】 (1)以下四个命题中，正确命题的个数是() 不共面的四
4、点中，其中任意三点不共线； 若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面； 若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面； 依次首尾相接的四条线段必共面 A0 B1 C2 D3,(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体的过P，Q，R的截面图形是() A三角形 B四边形 C五边形 D六边形 解析(1)正确，可以用反证法证明；从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；不正确，共面不具有传递性；不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上,(2)如图所示，作RGPQ交C1
5、D1于G，连接QP并延长与CB延长线交于M，连接MR交BB1于E，连接PE，则PE，RE为截面的部分外形 同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG. 截面为六边形PQFGRE. 答案(1)B(2)D,规律方法 (1)公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理 (2)画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置,【训练1】 如图所示是正方体和
6、正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形的序号是_,解析可证中的四边形PQRS为梯形；中，如图所示，取A1A和BC的中点分别为M，N，可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形；中，可证四边形PQRS为平行四边形；中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P，Q，R，S四点不共面 答案,考点二空间两条直线的位置关系 【例2】 如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中， GH与EF平行； BD与MN为异面直线； GH与MN成60角； DE与MN垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是_,解析把正四面体的平面展开图
7、还原如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60角，DEMN. 答案,规律方法 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决,【训练2】 在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号),解析图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共
8、面；图中，G，M，N共面，但H面GMN，因此GH与MN异面所以在图中GH与MN异面 答案,考点三异面直线所成的角 【例3】 在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60. (1)求四棱锥的体积； (2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值,审题路线(1)找出PB与平面ABCD所成角计算出PO的长求出四棱锥的体积 (2)取AB的中点F作PAB的中位线找到异面直线DE与PA所成的角计算其余弦值,【训练3】 (2014成都模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，A1D1的中
9、点，则A1B与EF所成角的大小为_,1证明线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上 2证明点或线共面问题，一般有以下两种途径： (1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内； (2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合,3异面直线的判定方法 (1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线； (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面,思想方法7构造模型判断空间线面的位置关系 【典例】 (2012上海卷)已知空间三条直线l，m，n，若
10、l与m异面，且l与n异面，则() Am与n异面 Bm与n相交 Cm与n平行 Dm与n异面、相交、平行均有可能,解析在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是mn1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误 答案D,反思感悟 这类试题一般称为空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体(如正方体、正四面体等)为模型进行推理或者反驳,【自主体验】 1(2013浙江卷)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面() A若m，n，
11、则mn B若m，m ，则 C若mn，m，则n D若m，则m,解析本题可借助特殊图形求解，画一个正方体作为模型(如图)设底面ABCD为，侧面A1ADD1为. 当A1B1m，B1C1n时，显然A不正确； 当B1C1m时，显然D不正确； 当B1C1m时，显然B不正确故选C. 答案C,2对于不同的直线m，n和不同的平面，有如下四个命题： 若m，mn，则n；若m，mn，则n；若，则；若m，mn，n，则.其中真命题的个数是() A1 B2 C3 D4,解析本题可借助特殊图形求解画一个正方体作为模型(如图)设底面ABCD为. 当A1B1m，B1C1n，显然符合的条件，但结论不成立； 当A1Am，ACn，显然符合的条件，但结论不成立； 与底面ABCD相邻两个面可以两两垂直，但任何两个都不平行； 由面面垂直的判定定理可知，是正确的 只有正确，故选A. 答案A,