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1、6.2等差数列,高考文数 ( 课标专用),1.(2015课标,7,5分,0.765)已知an是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和.若S8=4S4,则a10=() A.B.C.10D.12,A组统一命题课标卷题组,五年高考,答案B由S8=4S4得8a1+1=4,解得a1=,a10=a1+9d=,故选B.,2.(2015课标,5,5分,0.712)设Sn是等差数列an的前n项和.若a1+a3+a5=3,则S5=() A.5B.7C.9D.11,答案A解法一:设an的公差为d.由已知有a1+a3+a5=a1+(a1+2d)+(a1+4d)=3a1+6d=3,则a1+2d=1. 根据等差数列前n
2、项和公式,有S5=5a1+d=5a1+10d=5(a1+2d)=51=5,所以S5=5. 解法二:an为等差数列, a1+a5=2a3, 得3a3=3,则a3=1, S5=5a3=5,故选A.,3.(2014课标,5,5分,0.578)等差数列an的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则an的前n项和Sn=() A.n(n+1) B.n(n-1) C.D.,答案Aa2,a4,a8成等比数列, =a2a8,即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d), 将d=2代入上式,解得a1=2, Sn=2n+=n(n+1),故选A.,4.(2018课标全国,17,12分)记Sn为等差数列an的前n项
3、和,已知a1=-7,S3=-15. (1)求an的通项公式; (2)求Sn,并求Sn的最小值.,解析(1)设an的公差为d, 由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2. 所以an的通项公式为an=2n-9. (2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16. 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.,方法总结求等差数列前n项和Sn的最值的方法: (1)函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn(a0),通过配方或借助图象求二次函数的最值. (2)邻项变号法: 当a10,d0时,满足的项数m使得Sn取得最小值,为Sm(当am+1=0时,Sm+1也为最小值).
4、,5.(2017课标全国,17,12分)记Sn为等比数列an的前n项和.已知S2=2,S3=-6. (1)求an的通项公式; (2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.,解析本题考查等差、等比数列. (1)设an的公比为q,由题设可得 解得q=-2,a1=-2. 故an的通项公式为an=(-2)n. (2)由(1)可得Sn=-+(-1)n. 由于Sn+2+Sn+1=-+(-1)n =2=2Sn, 故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.,方法总结等差、等比数列的常用公式: (1)等差数列: 递推关系式:an+1-an=d(d为同一个常数),常用于等差数列的证明. 通项公式:an
5、=a1+(n-1)d. 前n项和公式:Sn=na1+d. (2)等比数列: 递推关系式:=q(q为同一个非零常数),常用于等比数列的证明. 通项公式:an=a1qn-1. 前n项和公式:Sn= (3)在证明a,b,c成等差数列或等比数列时,还可以利用等差中项:=b或等比中项:ac=b2来证 明.,B组自主命题省(区、市)卷题组 考点一等差数列及其性质 1.(2014辽宁,9,5分)设等差数列an的公差为d.若数列为递减数列,则() A.d0 B.d0D.a1d0,答案D为递减数列,=1=20,a1d0,故选D.,2.(2016浙江,8,5分)如图,点列An,Bn分别在某锐角的两边上,且|AnA
6、n+1|=|An+1An+2|,AnAn+2,nN*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,BnBn+2,nN*.(PQ表示点P与Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn为AnBnBn+1的面积,则() A.Sn是等差数列B.是等差数列 C.dn是等差数列D.是等差数列,答案A不妨设该锐角的顶点为C,A1CB1=,|A1C|=a,|AnAn+1|=b,|BnBn+1|=c, 则|CAn|=a+(n-1)b,作AnDnCBn于Dn,则|AnDn|=a+(n-1)bsin ,于是Sn=|BnBn+1|AnDn|=ca+(n- 1)bsin =n+(a-b)csin ,所以Sn是关于n的一次函数,则S
7、n成等差数列,选A.,3.(2015陕西,13,5分)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为.,4.(2018北京,15,13分)设an是等差数列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2. (1)求an的通项公式; (2)求+.,解析(1)设an的公差为d. 因为a2+a3=5ln 2, 所以2a1+3d=5ln 2. 又a1=ln 2,所以d=ln 2. 所以an=a1+(n-1)d=nln 2. (2)因为=eln 2=2,=eln 2=2, 所以是首项为2,公比为2的等比数列. 所以+=2=2(2n-1).,5.(2015北京,16,13分)已知等
8、差数列an满足a1+a2=10,a4-a3=2. (1)求an的通项公式; (2)设等比数列bn满足b2=a3,b3=a7.问b6与数列an的第几项相等.,解析(1)设等差数列an的公差为d. 因为a4-a3=2,所以d=2. 又因为a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4. 所以an=4+2(n-1)=2n+2 (n=1,2,). (2)设等比数列bn的公比为q. 因为b2=a3=8,b3=a7=16, 所以q=2,b1=4. 所以b6=426-1=128. 由128=2n+2得n=63. 所以b6与数列an的第63项相等.,考点二等差数列的前n项和 1.(2017浙江,6,5分)
9、已知等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,则“d0”是“S4+S62S5”的 () A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,答案C本题考查充分必要条件的判断,等差数列的概念,数列前n项和与通项的关系,考查运算求解能力. 解法一:S4+S62S5等价于(S6-S5)+(S4-S5)0,等价于a6-a50,等价于d0.故选C. 解法二:Sn=na1+n(n-1)d,S4+S6-2S5=4a1+6d+6a1+15d-2(5a1+10d)=d,即S4+S62S5等价于d0. 故选C.,2.(2018上海,6,4分)记等差数列an的前n项和为Sn,若a3=0,
10、a6+a7=14,则S7=.,3.(2015安徽,13,5分)已知数列an中,a1=1,an=an-1+(n2),则数列an的前9项和等于.,4.(2014江西,13,5分)在等差数列an中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为.,5.(2015福建,17,12分)等差数列an中,a2=4,a4+a7=15. (1)求数列an的通项公式; (2)设bn=+n,求b1+b2+b3+b10的值.,解析(1)设等差数列an的公差为d. 由已知得解得 所以an=a1+(n-1)d=n+2. (2)由(1)可得bn=2n+n. 所以b1+b2+b3+b10
11、=(2+1)+(22+2)+(23+3)+(210+10) =(2+22+23+210)+(1+2+3+10) =+ =(211-2)+55 =211+53=2 101.,评析本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识,考查运算求解能力.,C组教师专用题组 1.(2014天津,5,5分)设an是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1=() A.2B.-2C.D.-,答案D由题意知S1=a1,S2=2a1-1,S4=4a1-6,因为S1,S2,S4成等比数列,所以=S1S4,即(2a1-1)2=a1 (4a1-6),解得a1=-,故选D
12、.,2.(2013课标,17,12分,0.466)已知等差数列an的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5. (1)求an的通项公式; (2)求数列的前n项和.,解析(1)设an的公差为d,则Sn=na1+d. 由已知可得解得a1=1,d=-1. 故an的通项公式为an=2-n. (2)由(1)知=, 从而数列 的前n项和为 -+-+-=.,解题思路(1)由已知得方程组求出a1,d,再写出an的通项公式. (2)由(1)知=,显然属于裂项求和的类型,即通过变形得= =,进而求和. 评析本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式,考查了裂项求和的方法,考查了运算求解能力与方程思想.,3.(2014浙
13、江,19,14分)已知等差数列an的公差d0.设an的前n项和为Sn,a1=1,S2S3=36. (1)求d及Sn; (2)求m,k(m,kN*)的值,使得am+am+1+am+2+am+k=65.,解析(1)由题意知(2a1+d)(3a1+3d)=36, 将a1=1代入上式解得d=2或d=-5. 因为d0,所以d=2.从而an=2n-1,Sn=n2(nN*). (2)由(1)得am+am+1+am+2+am+k=(2m+k-1)(k+1), 所以(2m+k-1)(k+1)=65. 由m,kN*知2m+k-1k+11,故 所以 评析本题主要考查等差数列的概念、通项公式、求和公式等基础知识,同时
14、考查运算求解能力.,4.(2014湖北,19,12分)已知等差数列an满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列. (1)求数列an的通项公式; (2)记Sn为数列an的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.,解析(1)设数列an的公差为d,则(2+d)2=2(2+4d), 化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4. 当d=0时,an=2; 当d=4时,an=2+(n-1)4=4n-2, 从而得数列an的通项公式为an=2或an=4n-2. (2)当an=2时,Sn=2n.显然2n60n+800成立. 当an=4n-2时,Sn=2n2.
15、 令2n260n+800,即n2-30n-4000,解得n40或n60n+800成立,n的最小值为41. 综上,当an=2时,不存在满足题意的n; 当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.,考点一等差数列及其性质 1.(2018广东第一次模拟,6)等差数列log3(2x),log3(3x),log3(4x+2),的第四项等于() A.3B.4C.log318D.log324,三年模拟,A组 20162018年高考模拟基础题组,答案Alog3(2x),log3(3x),log3(4x+2)成等差数列, log3(2x)+log3(4x+2)=2log3(3x), log32x(4x
16、+2)=log3(3x)2, 解得x=4. 等差数列的前三项为log38,log312,log318, 公差d=log312-log38=log3, 数列的第四项为log318+log3=log327=3.选A.,2.(2018山西太原3月模拟考试(一),5)已知等差数列an的前n项和为Sn,若a2+a3+a10=9,则S9= () A.3B.9C.18D.27,答案D设等差数列an的首项为a1,公差为d. a2+a3+a10=9, 3a1+12d=9,即a1+4d=3, a5=3, S9=27.故选D.,3.(2017湖南娄底二模,4)已知数列an是首项为1,公差为d(dN*)的等差数列,若
17、81是该数列中的一项,则公差不可能是() A.2B.3C.4D.5,答案B数列an是首项为1,公差为d(dN*)的等差数列,an=1+(n-1)d, 81是该数列中的一项,81=1+(n-1)d,n=+1, d,nN*,d是80的因数,故d不可能是3.故选B.,4.(2016中原名校4月联考,6)若数列an满足-=d(nN*,d为常数),则称数列an为调和数 列,已知数列为调和数列,且x1+x2+x20=200,则x5+x16=() A.10B.20C.30D.40,答案B数列为调和数列,-=xn+1-xn=d,xn是等差数列, x1+x2+x20=200=,x1+x20=20,又x1+x20
18、=x5+x16,x5+x16=20.,5.(2017福建龙岩五校期中,14)递增数列an满足2an=an-1+an+1(n1,nN*),其前n项和为Sn,a2+a8=6,a4a6=8,则S10=.,考点二等差数列的前n项和 1.(2018安徽合肥第二次教学质量检测,5)中国古诗词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996 斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17 斤绵,那么第8 个儿子分到的绵是() A.174 斤B.184 斤 C.191 斤D.201 斤,答案B用a1,a2,
19、a8表示8 个儿子按照年龄从大到小得到的绵数, 由题意得数列a1,a2,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996, 8a1+17=996, 解得a1=65. a8=65+717=184,即第8 个儿子分到的绵是184 斤.选B.,2.(2018皖南八校第三次(4月)联考,4)已知等差数列an中,a2=1,前5项和S5=-15,则数列an的公差为() A.-3B.-C.-2D.-4,答案D设等差数列an的首项为a1,公差为d, 因为所以 解得d=-4,故选D.,3.(2018湖南三湘名校教育联盟第三次联考,5)已知等差数列an的各项都为整数,且a1=-5,a3a4=-1,则|a1|+|a
20、2|+|a10|=() A.70B.58C.51D.40,答案B设等差数列an的公差为d, 由各项都为整数得dZ, 因为a1=-5,所以a3a4=(-5+2d)(-5+3d)=-1, 化简得6d2-25d+26=0, 解得d=2或d=(舍去), 所以an=2n-7, 所以|a1|+|a2|+|a10|=5+3+1+1+3+13=9+=58. 故选B.,4.(2018河北唐山第二次模拟,7)设an是任意等差数列,它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是() A.2X+Z=3Y B.4X+Z=4Y C.2X+3Z=7YD.8X+Z=6Y,答案D设数列an的前3n
21、项的和为R,则由等差数列的性质得X,Y-X,R-Y,Z-R成等差数列, 所以2(Y-X)=X+R-Y,解之得R=3Y-3X,又因为2(R-Y)=Y-X+Z-R,把R=3Y-3X代入得8X+Z=6Y,故选D.,5.(2017湖南湘潭三模,6)张丘建算经卷上第22题“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5 尺,30 天共织布390 尺,则该女子织布每天增加() A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺,答案B设该女子织布每天增加d 尺,由题意知S30=305+d=390,解得d=.故该女子织 布每天增加 尺.故选B.,6.(2017广东惠州第二次调研,7
22、)设Sn是等差数列an的前n项和,若=,则=() A.1B.-1C.2D.,答案A由等差数列前n项和公式得,=,因为=,所以=1,故选A.,B组20162018年高考模拟综合题组 (时间:40分钟分值:60分) 一、选择题(每小题5分,共35分) 1.(2018华大新高考联盟4月教学质量检测,10)已知等差数列an的前n项和为Sn(nN*),若 是一个与n无关的常数,则该常数构成的集合为() A.2B.4C.2,4D.1,2,4,答案C数列an是等差数列, S2n=2na1+d,S4n=4na1+d, =, 由是一个与n无关的常数,得a1=或d=0,当a1=时,=4, 当d=0时,=2,该常数
23、构成的集合为2,4.选C.,思路分析先根据等差数列的前n项和公式计算出S2n与S4n,进而表示出,再结合题中的条件 以及分式的特征可得答案.,2.(2018河南普通高中毕业班4月高考适应性考试,11)已知等差数列an的前n项和为Sn(nN*),且an=2n+,若数列Sn(n5,nN*)为递增数列,则实数的取值范围为() A.(-3,+) B.(-10,+) C.(-11,+)D.(-12,+),答案D在等差数列an中,由an=2n+,得a1=2+,d=2,Sn=na1+d=n(2+)+=n2 +(+1)n,其图象的对称轴方程为n=-,要使数列Sn在n|n5,nN*内为递增数列,则- -12,故
24、选D.,3.(2018河南洛阳质量检测,11)已知等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn(nN*),若= ,则=() A.B.C.D.3,答案A由题意不妨设Sn=n(2n-1),Tn=n(n+1), 所以a12=S12-S11=1223-1121=45, b6=T6-T5=6(6+1)-5(5+1)=42-30=12, 所以=,故选A.,方法技巧由题意不妨设Sn=n(2n-1),Tn=n(n+1),这样提高了解题速率.,4.(2018山东济宁第一次模拟,11)设数列an满足a1=1,a2=2,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1(n2且nN*),则a18=() A.B.C.
25、3D.,答案B令bn=nan,则2bn=bn-1+bn+1(n2), 所以bn为等差数列, 因为b1=1,b2=4,所以公差d=3,则bn=3n-2,所以b18=52, 即18a18=52,所以a18=,故选B.,思路分析令bn=nan,得2bn=bn-1+bn+1(n2),则bn是等差数列,求出公差,得到通项公式,可得b18,从而求得a18.,5.(2017安徽合肥二模,7)已知是等差数列,且a1=1,a4=4,则a10=() A.-B.-C.D.,答案A设的公差为d, a1=1,a4=4, 3d=-=-,即d=-, 则=+9d=-,故a10=-,故选A.,方法总结等差数列运算问题的通性通法
26、: (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解. (2)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想.,6.(2017河北石家庄一模,8)已知函数f(x)在(-1,+)上单调,且函数y=f(x-2)的图象关于直线x=1对称,若数列an是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),则an的前100项的和为() A.-200B.-100C.0D.-50,答案B由y=f(x-2)的图象关于直线x=1对称, 可得y=f(x)的图象关于直线x=-1对称, 由数列an
27、是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),函数f(x)在(-1,+)上单调,可得a50+a51=-2, 又由等差数列的性质得a1+a100=a50+a51=-2, 则an的前100项的和为=-100, 故选B.,7.(2017广东湛江一模,12)若等差数列an的前n项和Sn有最大值,且-1,那么使Sn取最小正值 的项数n=() A.15B.17C.19D.21,答案C由于Sn有最大值,所以d0a11,且a10+a110, 又a1a2a100a11a12,所以S10S9S2S10,S10S11S190S20S21, 又S19-S1=a2+a3+a19=9(a10+a11)0,所以S1
28、9为最小正值,故选C.,思路分析Sn有最大值,所以d0a11,且a10+a110,再利用求和公式与数列 的单调性即可得出结论.,二、填空题(每小题5分,共15分) 8.(2018河南六市第一次联考,16)已知正项数列an的前n项和为Sn,若an和都是等差数 列,且公差相等,则a2=.,9.(2018福建莆田教学质量检测(3月),15)已知数列an满足a1=1,an-an+1=2anan+1,则a6=.,10.(2017安徽淮南一模,15)已知数列an满足递推关系式an+1=2an+2n-1(nN*),且为等 差数列,则的值是.,三、解答题(共10分) 11.(2018湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学联考,17)设Sn为等差数列an的前n项和,已知a1+a13=26,S9=81. (1)求an的通项公式; (2)令bn=,Tn=b1+b2+bn,若30Tn-m0对一切nN*成立,求实数m的最小值.,解析(1)等差数列an中,a1+a13=26,S9=81, 解得 d=2,an=a5+(n-5)d=9+2(n-5)=2n-1. (2)bn=, Tn=, 随着n的增大而增大, Tn递增,又0,Tn,m5,实数m的最小值为5.,方法总结(1)灵活应用等差数列的性质可以求出通项公式.(2)裂项相消法求和是由其通项的基本结构决定的,再观察其单调性,解得答案.,