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1、第7讲立体几何中的向量方法(一) 证明平行与垂直,最新考纲 1理解直线的方向向量及平面的法向量 2能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系 3能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.,非零向量,2空间位置关系的向量表示,n1n20,mn0,nm,nm0,辨 析 感 悟 1平行关系 (1)直线的方向向量是唯一确定的() (2)两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1(1,0，1)，v2(2,0,2)，则l1与l2的位置关系是平行(),感悟提升 1一是切莫混淆向量平行与向量垂直的坐标表示，二是理解直线平行与直线方向向量平行的差异，如(2)否则易造成解题不严谨 2利用向量
2、知识证明空间位置关系，要注意立体几何中相关定理的活用，如证明直线ab，可证向量ab，若用直线方向向量与平面法向量垂直判定线面平行，必需强调直线在平面外等.,考点一利用空间向量证明平行问题 【例1】 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点求证：MN平面A1BD.,规律方法 (1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键 (2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可这
3、样就把几何的证明问题转化为向量运算,考点二利用空间向量证明垂直问题 【例2】 (2014济南质检)如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上已知BC8，PO4，AO3，OD2. (1)证明：APBC； (2)若点M是线段AP上一点，且AM3.试证明平面AMC平面BMC.,规律方法 (1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算其中灵活建系是解题的关键 (2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明面面垂直：证明两平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个
4、平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可,【训练2】 如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点求证： (1)DE平面ABC； (2)B1F平面AEF.,考点三利用空间向量解决探索性问题 【例3】 (2014福州调研)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点 (1)求证：B1EAD1； (2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由,规律方法 立体几何开放性问题求解方法有以下两种： (1)根据题目的已知条件进行综合分
5、析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论； (2)假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在本题是设出点P的坐标，借助向量运算，判定关于z0的方程是否有解,1用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想 2两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据
6、运算结果的几何意义解释相关问题,3运用向量知识判定空间位置关系，仍然离不开几何定理如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外,反思感悟 (1)转化化归是求解空间几何的基本思想方法：中将空间位置、数量关系坐标化和体现了线线垂直与线面垂直的转化，以及将线线垂直转化为向量的数量积为0.在与中主要实施线面、线线垂直的转化中把求“平面夹角的余弦值”转化为“两平面法向量夹角的余弦值” (2)空间向量将“空间位置关系”转化为“向量的运算”应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备,【自主体验】 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，D为AB的中点，ACBCBB1. 求证： (1)BC1AB1； (2)BC1平面CA1D.,