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1、第3讲 函数的表示方法,江苏省通州高级中学,主要内容,一、聚焦重点,二、廓清疑点,函数定义域的确定. 求作函数的图象.,三、破解难点,利用函数解析式解决实际问题.,函数解析式的求法.,基础知识,函数的三种表示方法:,(1)解析法用等式来表示两个变量之间的 函数关系.,(2)列表法用列表来表示两个变量之间的 函数关系.,(3)图象法用图象来表示两个变量之间的 函数关系.,基础知识,函数的三种表示方法的优点:,聚焦重点：函数解析式的求法,问题研究,求函数解析式通常有哪些方法？,典型例题1,例1 分别根据下列条件，求函数f(x)的解析式：,思路分析,思路2 通过整体换元来处理.,思路1 设法将等式右
2、边配凑为关于 的形式.,求解过程,回顾反思,（1）基本策略：配凑、换元.,（2）数学思想：整体代换.,（3）思维误区：忽视函数的定义域.,例1 f(x)是一次函数，且ff(x)9x8， 求f(x).,思路分析,分析 设出一次函数f(x)的一般形式，代入已知等式，再根据多项式恒等的条件确定有关系数.,求解过程,解 设f(x)axb(a0)，则,f(x)3x2，或f(x)3x4.,例1 f(x)是一次函数，且ff(x)9x8， 求f(x).,回顾反思,（1）基本策略：待定系数法. （2）适用题型：已知函数类型，确定函数解析式. （3）解题关键：根据多项式恒等条件，建立系数 满足的等量关系，联立求解
3、.,思路分析,分析 已知等式中既含有f(x) 又含有f(x), 能否设法将f(x)消去？,以x代x！,能否由已知等式得到关于f(x)和f(x) 的又一个关系？,例1 已知 3f(x)2 f(x)2x5，求 f(x).,求解过程,解 由已知 3f(x)2 f(x)2x5 以x代x，得 3f(x) 2 f(x)2x 5 3 2，解得 f(x)2x1.,例1 已知 3f(x)2 f(x)2x5，求 f(x).,回顾反思,（1）基本策略：解方程组，实施消元. （2）数学思想：函数与方程思想. （3）思维障碍：无法找到另一个方程，思维受阻.,例1 已知f(0) 1，且对任意x，yR，有 f(xy)f(x
4、)y(2xy1)，求f(x).,思路分析,思路1 令y=0，得到f(x)f(x).,此路不通！,思路2 令x=0，得到f(y)f(0)y(y1) y2y1，则f(y)y2y1，即 f(x)x2x1.,方法可行！,思路3 令y=x，得到f(0)f(x)x(2xx1) 则f(x)x2x1.,更加简洁！,赋值法！,回顾反思,基本方法：配凑法，换元法，方程法，赋值法， 待定系数法.,数学思想：整体换元思想，函数与方程思想.,思维盲点：忽视由中间变量的取值范围确定函 数的定义域.,思维策略：根据问题特点，灵活选择方法.,求函数解析式方法小结：,廓清疑点：函数定义域的确定,典型例题2,思路分析,方法可行，
5、运算繁琐！,思路2 等式右边配方，实施整体代换.,整体处理，更加快速！,求解过程,思考1 解题是否就此结束？,定义域！,思考2 函数定义域是xRx0，对吗？,错！,求解过程,回顾反思,2. 在本例中，求函数的定义域，实质就是确定中 间变量的值域，“判别式法”是求函数值域的重 要方法之一.,3. 要准确理解不同表达式中同一字母的不同含 义，防止应理解错误而误求定义域.,定义域和对应法则是函数的两个本质要素，对 应法则相同而定义域不同，函数关系也不同， 因此，求函数的解析式，必须确定其定义域.,廓清疑点：求作函数的图象,基础知识,1. 函数图象是函数关系的直观表示. 函数y=f(x) 图象就是点集
6、(x，y) y=f(x) ，xA所 对应的几何图形.,2. 作函数图象通常有以下两种方法: 描点法：列表描点连线. 变换法：利用已知函数（如：一次函数、二 次函数、反比例函数等）的图象，通过平移、 对称、伸缩等变换手段，得到所作函数的图象.,基础知识,3. 有些函数，在定义域的不同部分上，有着不同的解析表达式. 有些函数，虽在定义域上具有统一的解析表达式，但函数关系隐晦，为便于理解，常通过分类讨论转化为几个不同的部分来表示. 象这样的函数通常叫做分段函数. 需要注意的是，分段函数是一个函数，而不是几个函数.,问题研究,如何求作函数的图象？又应注意哪些问题呢？,典型例题3,例3 作出下列函数的图
7、象：,思路分析,例3 作出下列函数的图象：,思路1 通过取一些特殊点，采用描点法.,关注定义域！,思路2 化为熟悉的函数，再作出图象.,化简函数式！,求解过程,例3 画出下列函数的图象：,回顾反思,（1）求解步骤： 确定函数的定义域； 化简函数的解析式； 作出函数的图象.,（2）思维误区： 不会化简，无从下手； 范围有误，图象失真； 忽视细节，作图粗糙.,思路分析,例3 画出下列函数的图象：,分析 求定义域：,去绝对值号！,化简函数式：,R.,分为以下三种情况进行讨论： x2；2x1；x1.,求解过程,例3 画出下列函数的图象：,回顾反思,（2）思想方法：分类讨论思想.,（1）解决策略：通过讨
8、论，化为分段函数.,（3）思维瑕点：在段与段的“接头”处处理粗 糙，该连不连，当断不断. 不善于抓住一些特征点，未 能使所作图象精细化.,思路分析,例3 画出下列函数的图象：,思路1 通过分类讨论，化为分段函数.,思路2 探究函数y=f(x)的图象与函数 y= f(x) 的图象关系，利用图象变换法完成作图.,结论 函数y=f(x)在x轴上方的图象不变，并将 其在 x 轴下方的图象向上翻折，即得所 作函数y= f(x)的图象.,解 作函数y=x22x3=(x1)24的图象. 将函数y=(x1)24 在x轴下方的图象沿x轴 向上翻折，即得到函数 的图象.,解题过程,例3 画出下列函数的图象：,回顾
9、反思,友情提醒： 1. 要熟练掌握一些常见函数的图象，如一次函 数、反比例函数、二次函数等 2. 作图前，应首先确定函数的定义域，以保证 图象准确定位在对函数式进行变形过程中, 要时刻关注定义域的变化，分清实线与虚线, 空心点和实心点,回顾反思,友情提醒 3. 画图时要尽可能地作出能反映函数性质的一 些特征点和特征线，如图象与坐标轴的交点, 双曲线的渐近线，抛物线的顶点、对称轴等, 以确保所作图象尽可能地准确 4. 分段函数的图象，各部分有些 “相连”，有些 “断裂”，判断方法是：计算分界点处对应函 数值是否相等，相等则“连”，不等则“断”,变式探究,思路1 化为分段函数，分别求出各分段区间上
10、 函数的取值范围，再求并集.,思路自然，普遍适用,思路2 作出图象，观察结果.,借助图象，一目了然,变式探究,思路1 分别各种情况逐一讨论.,思路2 作出图象，观察结果.,纷繁复杂，过程冗长,数形结合，一看到底,回顾反思,方法归纳： 图象法是研究函数性质的重要手段，如求函 数值域等. 随着学习的深入，函数图象的作 用将更加凸显. 2. 方程f(x)=a的解的个数，等价于直线y=a与函 数 f(x) 图象的交点个数，充分体现了数形结 合的数学思想,破解难点：利用函数解析式解决实际问题,例4 某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，此商品的销售价 x (元) 与日销售量 y (件)
11、 之间有如下关系： 根据表中信息，确定y与x的一个函数关系式； 设经营此商品的日销售利润为 P 元，问：当销 售单价为多少元时，可获得最大日销售利润？,典型例题4,例4 根据表中信息，确定y与x的一个函数关系式；,思路分析,步骤2 猜想y关于x是一次函数模型.,步骤3 检验猜想.,思路分析,解 设yaxb，将(30,60)，(50,0)代入，得 30ab60, a3, 50ab0 . b150 . y 3x150(30 x50).,例4 根据表中信息，确定y与x的一个函数关系式；,经检验，其他三点的坐标也满足上述关系.,例4 设经营此商品的日销售利润为 P 元，问:当销售单价为多少元时，可获最
12、大日销售利润？,典型例题4,日销售量每件商品的利润,解 P(3x150)(x 30) (x 40)2 300(30 x50)，,当x40时，Pmax300.,答：当销售单价为40元时，可获最大日销售利润.,解决实际问题的一般流程：,回顾反思,建模过程：函数三种表示法的转化,总结提炼,知 识：,函数的表示法：列表法，图象法，解析法.,1. 确定函数解析式的方法： 配凑法、换元法、方程法、赋值法、 待定系数法. 2. 求作函数图象的方法： 求定义域、化简函数式、作出图象.,方 法：,总结提炼,1. 函数方程思想：如构造方程组求解析式， 利用函数图象研究方程解的个数. 2. 整体换元思想：如换元法求函数解析式. 3. 分类讨论思想：如去绝对值号化简函数解 析式，含参数方程解的个数的讨论. 4. 数形结合思想：如由图象拟合函数，将方 程解的问题转化为函数图象的交点问题.,数学思想：,再 见,同步练习,同步练习,3. 某工厂产品的次品率p与日产量x（件）的关 系如下表所示(xN，1x98)： 试写出次品率p关于日产量x的函数关系； 若每生产一件正品盈利300元，每生产一 件次品损失100元，将该厂日盈利额M （百元）表示成日产量x的函数,参考答案,