天津理工大学离散数学(魏雪丽版)检测题答案(13页).doc

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1、-天津理工大学离散数学(魏雪丽版)检测题答案-第 12 页天津理工大学离散数学第一章检测题答案一、填空题(每空2分,共30分)1 2 3, , , 。4,5 6 7二、单项选择题(每小题2分,共20分) 12345678910得分DBCBCDAACB三、简答题(每小题6分,共12分)1构造命题公式的真值表 00011001110100001111100111011111001111112求命题公式的主析取范式和主合取范式。3判断命题公式与 是否等价。解:等价四证明题(共32分) (10分)用CP规则证明;1. P 6. T(4,5) I (2分)2. P 7. T(3,4) I(2分) 3.

2、T(1, 2) I (2分) 8. T(6,7) I(2分)4. P(附加前提) 9. CP (2分)5. P (10分)用归谬法证明 证: 1 (1分) 2 3 (2分) 4 5 (2分) 6 7 (2分) 8 (2分)由8得出了矛盾,根据归谬法说明原推理正确(1分)3(12分)公安人员审理某珠宝商店的钻石项链的失窃案,已知侦察结果如下:(1)营业员或盗窃了钻石项链(2)若作案,则作案时间不在营业时间(3)若提供的证词正确,则货柜未上锁(4)若提供的证词不正确,则作案发生在营业时间(5)货柜上了锁试问:作案者是谁?要求写出推理过程。解:令表示“营业员盗窃了钻石项链”; 表示“营业员盗窃了钻石

3、项链”;表示“作案时间在营业时间”;表示“提供的证词正确”;表示“货柜上了锁”。则侦察结果如下:, ,由此可推出作案者是(4分)推理过程如下:(1) (6) (2) (7) (5),(6) (2分)(3) (1),(2) (2分) (8) (4) (9) (7),(8) (2分)(5) (3),(4) (2分)天津理工大学离散数学第二章检测题答案一、填空题(每空3分,共30分)1或234 5 6(;) 7 8二、单项选择题(每小题2分,共20分) 12345678910得分AABDCACCBD三、 简答题(每小题6分,共12分)1求謂词公式的前束析取范式2证明:证:四证明题(共38分) 1(1

4、2分)用谓词演算的推理规则证明:(1) (2) (2分)(3) (4) I (2分)(5) (6) (2分)(7) I (2分)(8) I (2分)(9) I (2分)2(10分) 指出下面推理证明过程中的错误,并给出正确的证明用谓词演算的推理规则证明:证::(1) P (6) T(4) I (2) US(1) (7) T(2),(5) I (3) P (8) T(6),(7) I (4) ES(3) (9) EG(8) (5) T(4) I该证明的错误在于: (1)、 (2) 与 (3)、 (4) 的顺序颠倒了,应该先指定存在后指定全称。 (2分)正确的证明是:(4分)(1) P (6) T

5、(2) I (1分)(2) ES (1) (2分) (7) T(4),(5) I (1分)(3) P (8) T(6),(7) I (1分)(4) US (3) (2分) (9) EG(8) (1分)(5) T(2) I 3(16分)符号化下列命题并推证其结论任何人如果他喜欢音乐,他就不喜欢体育每个人或者喜欢体育,或者喜欢美术有的人不喜欢美术因而有的人不喜欢音乐(设M(x):x喜欢音乐,S(x):x喜欢体育,(x):喜欢美术)该推理符号化为: 或前提:结论: (4分)证:(1) P (2) ES(1) (2分)(3) P (4) US(3) (2分)(5) T(2)(4)I(2分) (6) P

6、(7) US(6)(2分) (8) T(7)E (1分)(9) T(5)(8)I(2分) (10) EG(9) (1分)天津理工大学离散数学第三、四章检测题答案一、填空题(每空2分,共40分)1 3 4反对称,传递。 5; 6 ,或单位矩阵7 4,6 , 2,3 , 无 , 无 , 12 , 1 。8 , 。9单射,满射;既是单射又是满射; ; 二、单项选择题(每小题2分,共20分) 12345678910得分(1)(2)(1)(3)(2)(2)(1)(3)(3)(1)三、简答题(共30分)1(6分)设=1,2,3,5,6,10,15,30 , “” 为集合上的整除关系。,是否为偏序集? 若是

7、,画出其哈斯图;解:,是偏序集。其哈斯图为:2(12分)对下图所给的偏序集,求下表所列集合的上(下)界,上(下)确界,并将结果填入表中。子 集上 界下 界上 确 界下 确 界 无无无无3(6分)设 =1,2,3,4,5,6,集合上的关系=1,3,1,5,2,5,4,4,4,5,5,4,6,3,6,6。(1)画出的关系图,并求它的关系矩阵;(2)求及 。解:(1)的关系图为的关系矩阵为 (2分)(2), (1分) (1分) (2分)4设Z是整数集,是Z上的模3同余关系,即,试根据等价关系决定Z的一个划分 。答案:由决定的Z的划分为:, 其中:四证明题(共10分) 设 定义为 ,证明:是双射,并求

8、出其逆映射。证:1)先证明是入射(2分) 对任意的则有,从而有,故是入射。 2) 再证明是满射(2分)对任意的从而是满射。 综合(1)、(2)知是双射。 为 ,对任意。(1分)天津理工大学离散数学第五章检测题答案一、填空题(每空2分,共30分)1. 2 3 4;1 5关于运算不封闭 6 2, 7循环群,生成元 8 9关于封闭二、单项选择题(每小题2分,共20分) 12345678910得分BCAABDDCBD三、简答题(共30分)1设是实数集上的二元运算,其定义如下: (1)求23, 3(-5)和71/2 。 (2)是半群吗?可交换吗? (3)求中关于的单位元。 (4)中哪些元素有逆元素,其逆

9、元素是什么? 。 2)是半群,可交换。 (3)0。 (4)当时,有逆元素,。2设,是交换群,是的单位元。的运算表如下: 求,并说明道理。答案:。因为有限群的运算表中的每行、每列都是群中元素的一个置换。3设集合,是定义在上的模11乘法(即任意a,bG,有a*b=(ab)(mod11),是普通乘法),问是循环群吗?若是,试找出它的生成元。答: 的运算表如下表所示。 1 3 4 5 913459 1 3 4 5 93 9 1 4 54 1 5 9 35 4 9 3 19 5 3 1 4从运算表可知,在上封闭、有幺元1,且,再由是可结合的得是循环群,3,4,5和9均为其生成元。四证明题(共20分) (

10、4分)设是独异点,为其幺元,且对,有,证明是一个交换群。证明: 对,由于,则 , 即中的每一个元素都有逆元素,故是一个群。又对,有所以是一个Abel群。(6分)设是一个群,有试证明是一个自同构证:首先证明是入射。(3分)其次证明是满射。对 综合以上两点,知是双射。(3分)天津理工大学离散数学第六章检测题答案一、填空题(每空2分,共40分)1. 上确界 和下确界, 2至少有一个补元素,不一定 30,1;1,0 4 5; 6 , 二、单项选择题(每小题2分,共20分) 12345678910得分D CB CADABDD三、简答题(共30分)1下面哈斯图表示的格中哪个元素无补元?对有补元的元素求出它

11、们的补元解:c无补元(1分),a的补元为e(1分),b的补元为d(1分),d的补元为b、e(1分),e的补元为a、d(1分),0与1互为补元。(1分)2设是一个布尔代数且,求布尔表达式的析取范式和合取范式并计算的值。解:的析取范式为: (4分)的合取范式为:(4分)(2分)3设=1,2,3,5,6,10,15,30 , “” 为集合上的整除关系。(1),是否为偏序集? 若是,画出其哈斯图;(2),是否构成格?为什么?(3),是否构成布尔代数?为什么?解:(1),是偏序集。 其哈斯图为:(2),构成格。因为其任意两个元素都有上确界和下确界。(3),构成布尔代数。因为它是有界分配格,且其任意元素都

12、有唯一补元素。 四证明题(共10分) (4分)设是独异点,为其幺元,且对,有,证明是一个交换群。证明: 对,由于,则 , 即中的每一个元素都有逆元素,故是一个群。又对,有所以是一个Abel群。(6分)设是一个群,有试证明是一个自同构证:首先证明是入射。(3分)其次证明是满射。对 综合以上两点,知是双射。(3分)离散数学第七章检测题答案一、 单项选择题(每小题2分,共20分)12345678910得分2424324213二、 填空题(每空3分,共45分)1 4 , 3 。 2 _0_, _1_。 _0_, _0_。3( 4 2 E , 偶数 。5_5_; _9_。6 3 , 1 。7 7 。 三

13、、 简答题(每小题5分,共25分)1对有向图求解下列问题: (1)写出邻接矩阵; (2)中长度为3的不同的路有几条?其中不同的回路有几条? 解:(1)邻接矩阵为:(2)则,中长度为3的不同的路有10条,其中有1条不同的回路。2设有盏灯,拟公用一个电源,求至少需要插头的接线板的数目。解:设至少需要4插头的接线板i个,则有 (4-1)i=28-1 (3分)故 i=9即至少需要9个4插头的接线板。 (2分)3设有6个城市V1,V2,V6,它们之间有输油管连通,其布置如下图,Si(数字)中Si为边的编号,括号内数字为边的权,它是两城市间的距离,为了保卫油管不受破坏,在每段油管间派一连士兵看守,为保证每

14、个城市石油的正常供应最少需多少连士兵看守?输油管道总长度越短,士兵越好防守。求他们看守的最短管道的长度。(要求写出求解过程)解:为保证每个城市石油的正常供应最少需的最小生成树问题,此图的最小生成树为:因此看守的最短管道的长度为:()12224以给定权1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100构造一棵最优二叉树。5一次学术会议的理事会共有20个人参加,他们之间有的相互认识,但有的相互不认识。但对任意两个人,他们各自认识的人的数目之和不小于20,说明能否把这20个人排在圆桌旁,使得任意一个人认识其旁边的两个人?根据是什么?解:可以把这20个人排在圆桌旁,使得任意一个人认识其旁边的两个人。(1分)根据是:分别用20个结点代表这20个人,将相互认识的人之间连一条线,便得到一个无向简单图,每个结点的度数是与认识的人的数目,由题意知,有,于是中存在哈密尔顿回路,设是中的一条哈密尔顿回路,按此回路安排园桌座位即符合要求。(4分)四证明与应用题(10分)1 某次聚会的成员到会后相互握手,试用图论的知识说明与奇数个人握手的人数一定是一个偶数。证: 用结点代表成员, 握手的成员之间连一条线, 则所有聚会的成员之间的握手情况可以用一个图来表示,其中每个结点的度数就是该结点所代表的成员握手的人数,由于任一图中奇数度结点的个数为偶数,所以与奇数个人握手的人数一定是一个偶数。

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