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1、8.1空间几何体的三视图、表面积和体积,高考文数 ( 课标专用),考点一空间几何体的三视图 1.(2018课标全国,9,5分)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为() A.2B.2C.3D.2,A组统一命题课标卷题组,五年高考,答案B本题主要考查空间几何体的三视图、直观图以及最短路径问题. 由圆柱的三视图及已知条件可知点M与点N的位置如图1所示,设ME与FN为圆柱的两条母线,沿FN将圆柱侧面展开,如图2所示,MN即为从M到N的最短路径,由题知,ME=2,
2、EN=4,MN=2.故选B. 图1 图2,2.(2018课标全国,3,5分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(),答案A本题考查空间几何体的三视图. 两木构件咬合成长方体时,榫头完全进入卯眼,易知咬合时带卯眼的木构件的俯视图为A.故选A.,考点二空间几何体的表面积 1.(2018课标全国,5,5分)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为() A.12B.
3、12C.8D.10,答案B本题主要考查圆柱的表面积及圆柱的轴截面. 设圆柱的底面半径为r,高为h,由题意可知2r=h=2,圆柱的表面积S=2r2+2rh=4+8=12. 故选B.,解题关键正确理解圆柱的轴截面及熟记圆柱的表面积公式是解决本题的关键.,2.(2016课标全国,4,5分)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为() A.12B. C.8 D.4,答案A设正方体的棱长为a,则a3=8,解得a=2. 设球的半径为R,则2R=a,即R=,所以球的表面积S=4R2=12.故选A.,方法点拨对于正方体与长方体,其体对角线为其外接球的直径,即外接球的半径等于体对角线的一半.,3.
4、(2016课标全国,7,5分)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为() A.20B.24 C.28D.32,答案C由三视图知圆锥的高为2,底面半径为2,则圆锥的母线长为4,所以圆锥的侧面积 为44=8.圆柱的底面积为4,圆柱的侧面积为44=16,从而该几何体的表面积为8+16 +4=28,故选C.,4.(2016课标全国,7,5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是() A.17B.18C.20D.28,答案A由三视图知该几何体为球去掉了所剩的几何体(如图),设球的半径为R,则R3 =,故R=2,
5、从而它的表面积S=4R2+R2=17.故选A.,解后反思球的表面积公式和体积公式要记准、记牢;在计算表面积时“不重不漏”是关键所在.,5.(2016课标全国,10,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为() A.18+36B.54+18 C.90 D.81,答案B由三视图可知,该几何体是底面为正方形(边长为3),高为6,侧棱长为3的斜四棱 柱.其表面积S=232+233+236=54+18.故选B.,易错警示学生易因空间想象能力较差而误认为侧棱长为6,或漏算了两底面的面积而致错.,6.(2015课标,10,5分,0.459)已知A,B是球O
6、的球面上两点,AOB=90,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为() A.36 B.64 C.144D.256,答案CAOB的面积为定值,当OC垂直于平面AOB时,三棱锥O-ABC的体积取得最大值.由R3=36得R=6.从而球O的表面积S=4R2=144.故选C.,思路分析VO-ABC=VC-AOB.当OC垂直于平面AOB时,三棱锥C-AOB,即三棱锥O-ABC的体积最大,此时可求出球O的半径,从而求出球O的表面积.,7.(2015课标,11,5分,0.629)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图
7、所示.若该几何体的表面积为16+20,则r=() A.1B.2 C.4D.8,答案B由已知条件可知,该几何体由圆柱的一半和半球组成,其表面积为2r2+r2+4r2+2r2=5r2+4r2.由5r2+4r2=16+20得r=2.故选B.,8.(2017课标全国,15,5分)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为.,疑难突破明确长方体的体对角线为球O的直径是求解的关键.,易错警示易因用错球的表面积公式而致错.,9.(2017课标全国,16,5分)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA平面SCB,SA=AC,SB=BC,三
8、棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为.,则VS-ABC=2VO-ABC=2(R)2R=R3=9, 所以R=3. 所以球O的表面积S=4R2=36. 解法二:由题意得AOSC,BOSC, 所以AOB是平面SCA与平面SCB所成二面角的平面角, 又因为AOBO=O,所以SC平面ABO. 因为平面SCA平面SCB,所以AOB=90, 所以VS-ABC=VS-ABO+VC-ABO=SC=9.由于OA=OB=SC,从而球O的半径R=OA=OB=3,故 球O的表面积S=4R2=36.,考点三空间几何体的体积 1.(2018课标全国,10,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,A
9、C1与平面BB1C1C所成的角为30,则该长方体的体积为() A.8 B.6 C.8D.8,答案C本题主要考查长方体的体积及直线与平面所成的角. 如图,由长方体的性质可得AB平面BCC1B1, BC1为直线AC1在平面BCC1B1内的射影, AC1B为直线AC1与平面BCC1B1所成的角, 即AC1B=30, 在RtABC1中,AB=2,AC1B=30,BC1=2, 在RtBCC1中,CC1=2, 该长方体的体积V=222=8,故选C.,易错警示不能准确理解线面角的定义,无法找出直线与平面所成的角,从而导致失分.,方法总结用定义法求线面角的步骤: (1)找出斜线上的某一点在平面内的射影; (2
10、)连接该射影与直线和平面的交点即可得出线面角; (3)构建直角三角形,求解得出结论.,2.(2018课标全国,12,5分)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D-ABC体积的最大值为() A.12B.18 C.24D.54,答案B本题考查空间几何体的体积及与球有关的切接问题. 设等边ABC的边长为a, 则有SABC=aasin 60=9,解得a=6. 设ABC外接圆的半径为r,则2r=,解得r=2, 则球心到平面ABC的距离为=2, 所以点D到平面ABC的最大距离为2+4=6, 所以三棱锥D-ABC体积的最大值为96=18,故选B.,方法总
11、结解决与球有关的切、接问题的策略: (1)“接”的处理: 构造正(长)方体,转化为正(长)方体的外接球问题. 空间问题平面化,把平面问题转化到直角三角形中,作出适当截面(过球心,接点等). 利用球心与截面圆心的连线垂直于截面定球心所在直线. (2)“切”的处理: 体积分割法求内切球半径. 作出合适的截面(过球心,切点等),在平面上求解. 多球相切问题,连接各球球心,转化为处理多面体问题.,3.(2017课标全国,6,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为() A.90B.63C.42D.36,答案B本
12、题考查三视图和空间几何体的体积. 由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为6,高为14的圆柱,所以该几何体的体积V=3214=63.故选B.,方法总结当所给的几何体不规则时,可利用割补法求其体积.,4.(2015课标,6,5分,0.451)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有() A.14斛B.22斛C
13、.36斛D.66斛,答案B设圆锥底面的半径为R尺,由2R=8得R=,从而米堆的体积V=R25= (立方尺),因此堆放的米约有22(斛).故选B.,5.(2015课标,6,5分,0.426)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为() A.B.C.D.,答案D如图,由已知条件可知,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截去三棱锥A-A1B1D1后剩余的部分即为题中三视图对应的几何体,设该正方体的棱长为a,则截去部分的体积为a3,剩余部分的 体积为a3-a3=a3.它们的体积之比为.故选D.,6.(2014课标,7,5分,0.495)正三棱柱A
14、BC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC中点,则 三棱锥A-B1DC1的体积为() A.3B.C.1D.,答案C在正三棱柱ABC-A1B1C1中,ADBC,ADBB1,BB1BC=B,AD平面B1DC1, =AD =2=1,故选C.,7.(2017课标全国,9,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为() A.B.C.D.,答案B设圆柱底面的半径为r, 由题意可得12+(2r)2=22, 解得r=. 圆柱的体积V=r21=,故选B.,8.(2016课标全国,11,5分)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若ABB
15、C,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是() A.4B.C.6D.,答案B易得AC=10.设底面ABC的内切圆的半径为r,则68=(6+8+10)r,所以r=2,因 为2r=43,所以最大球的直径2R=3,即R=.此时球的体积V=R3=.故选B.,思路分析根据题意得出最大球的直径,即得出最大球的半径,再根据球的体积公式得出答案.,9.(2018课标全国,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30.若SAB的面积为8,则该圆锥的体积为.,疑难突破由母线与底面所成的角找到圆锥的底面半径r与母线长l、高h的等量关系是解决本题的突破口.,10.(201
16、8课标全国,18,12分)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,ACM=90.以AC为折痕将ACM折起,使点M到达点D的位置,且ABDA. (1)证明:平面ACD平面ABC; (2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q-ABP的体积.,解析(1)证明:由已知可得,BAC=90,BAAC. 又BAAD,所以AB平面ACD. 又AB平面ABC, 所以平面ACD平面ABC. (2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3. 又BP=DQ=DA,所以BP=2. 作QEAC,垂足为E,则QEDC. 由已知及(1)可得DC平面ABC, 所以QE平面ABC,QE=
17、1. 因此,三棱锥Q-ABP的体积为 VQ-ABP=QESABP=132sin 45=1.,规律总结证明空间线面位置关系的一般步骤: (1)审清题意:分析条件,挖掘题目中平行与垂直的关系; (2)明确方向:确定问题的方向,选择证明平行或垂直的方法,必要时添加辅助线; (3)给出证明:利用平行、垂直关系的判定或性质给出问题的证明; (4)反思回顾:查看关键点、易漏点,检查使用定理时定理成立的条件是否遗漏,符号表达是否准确.,解题关键(1)利用平行关系将ACM=90转化为BAC=90是求证第(1)问的关键; (2)利用翻折的性质将ACM=90转化为ACD=90,进而利用面面垂直的性质定理及线面垂直
18、的性质定理得出三棱锥Q-ABP的高是求解第(2)问的关键.,11.(2015课标,19,12分,0.235)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.,解析(1)交线围成的正方形EHGF如图: (2)作EMAB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8. 因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10. 于是MH=6,AH=10
19、,HB=6. 因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为.,12.(2017课标全国,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,BAD=ABC=90. (1)证明:直线BC平面PAD; (2)若PCD的面积为2,求四棱锥P-ABCD的体积.,解析本题考查线面平行的判定和体积的计算. (1)证明:在平面ABCD内, 因为BAD=ABC=90, 所以BCAD. 又BC平面PAD,AD平面PAD,故BC平面PAD. (2)取AD的中点M,连接PM,CM. 由AB=BC=AD及BCAD,ABC=90得四边形ABCM为正方形
20、,则CMAD. 因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以PMAD,PM底面ABCD.,因为CM底面ABCD, 所以PMCM. 设BC=x,则CM=x,CD=x,PM=x,PC=PD=2x. 取CD的中点N,连接PN, 则PNCD,所以PN=x. 因为PCD的面积为2, 所以xx=2, 解得x=-2(舍去)或x=2. 于是AB=BC=2,AD=4,PM=2. 所以四棱锥P-ABCD的体积V=2=4.,13.(2016课标全国,19,12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将DEF沿E
21、F折到DEF的位置. (1)证明:ACHD; (2)若AB=5,AC=6,AE=,OD=2,求五棱锥D-ABCFE的体积.,解析(1)证明:由已知得ACBD,AD=CD. 又由AE=CF得=,故ACEF.(2分) 由此得EFHD,EFHD,所以ACHD.(4分) (2)由EFAC得=.(5分) 由AB=5,AC=6得DO=BO=4. 所以OH=1,DH=DH=3. 于是OD2+OH2=(2)2+12=9=DH2,故ODOH. 由(1)知ACHD,又ACBD,BDHD=H,所以AC平面BHD,因为OD平面BHD,所以ACOD. 又由ODOH,ACOH=O,所以OD平面ABC.(8分) 又由=得E
22、F=. 五边形ABCFE的面积S=68-3=.(10分) 所以五棱锥D-ABCFE的体积V=2=.(12分),方法点拨解决翻折问题时,要注意翻折过程中哪些量发生了变化,哪些量没有发生变化,必须弄清翻折前后线段之间的关系.,B组自主命题省(区、市)卷题组 考点一空间几何体的三视图 1.(2018北京,6,5分)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为 () A.1B.2C.3D.4,答案C本题主要考查空间几何体的三视图和直观图,空间线面位置关系. 由三视图得几何体的直观图,如图. 其中SD底面ABCD,ABAD,ABCD,SD=AD=CD=2,AB=1,故SDC,SDA为
23、直角三角形.ABAD,ABSD,ADSD=D,AB平面SDA,ABSA,故SAB是直角三角形,从而SB=3,易知BC=,SC=2,则SB2BC2+SC2,故SBC不是直 角三角形,故选C.,方法技巧将三视图还原为直观图的原则是长对正、高平齐、宽相等,另外,将三视图还原成几何体时常常借助于正方体或长方体,使问题变得具体、直观、简单.,2.(2015北京,7,5分)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为() A.1B.C.D.2,答案C由四棱锥的三视图可知其直观图如图所示,其中PA平面ABCD,四边形ABCD为正方形,由此可知PC是最长的棱,连接AC,则PC=,故选C.,答案D在空间直角
24、坐标系中构建棱长为2的正方体,设A(0,0,2),B(2,2,0),C(1,2,1),D(2,2,2),则ABCD即为满足条件的四面体,得出正视图和俯视图分别为和,故选D.,评析解决本题时在正方体中找到原四面体是关键.,4.(2014北京,11,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的棱长为.,考点二空间几何体的表面积 1.(2015陕西,5,5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为() A.3B.4C.2+4D.3+4,答案D由三视图可知该几何体为半圆柱,其底面半径为1,高为2,从而该几何体的表面积为212+2+4=3+4.故选D.,2.(2016浙江,9,6分)某几
25、何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.,答案80;40,评析本题考查了三视图及长方体和正方体的表面积与体积,考查了运算能力、推理能力和空间想象能力,由三视图确定几何体的直观图是解题关键.,解析几何体的直观图如图: S表=422+424+224=80(cm2), V=23+442=40(cm3).,考点三空间几何体的体积 1.(2018浙江,3,4分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是 () A.2B.4C.6D.8,答案C本小题考查空间几何体的三视图和直观图以及几何体的体积公式. 由三视图可知该几何体是直四棱柱,其
26、中底面是直角梯形,直角梯形上,下底边的长分别为 1 cm,2 cm,高为2 cm,直四棱柱的高为2 cm.故直四棱柱的体积V=22=6 cm3.,思路分析(1)利用三视图可判断几何体是直四棱柱; (2)利用“长对正,高平齐,宽相等”的原则,可得直四棱柱的各条棱长.,2.(2017浙江,3,5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是 () A.+1 B.+3 C.+1D.+3,答案A本题考查三视图和直观图,三棱锥和圆锥的体积计算. 由三视图可知该几何体是由底面半径为1,高为3的半个圆锥和一个三棱锥组成的,如图,三棱锥的高为3,底面ABC中,AB=2,OC=1
27、,ABOC.故其体积V=123+213=cm3.故选A.,3.(2014四川,4,5分)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积是() 锥体体积公式:V=Sh,其中S为底面面积,h为高 A.3B.2C.D.1,答案D由俯视图可知,三棱锥底面是边长为2的等边三角形.由侧视图可知,三棱锥的高为.故该三棱锥的体积V=2=1.,4.(2016山东,5,5分)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为() A.+B.+C.+D.1+,评析本题考查了空间几何体的三视图和体积公式.正确得到几何体的直观图并准确地计算是解题关键.,答案C由三视图可知四棱锥为正四棱锥,底面正方
28、形的边长为1,四棱锥的高为1,球的直径等于正四棱锥底面正方形的对角线的长,所以球的直径2R=,即R=,所以半球的体积为 R3=,又正四棱锥的体积为121=,所以该几何体的体积为+.故选C.,易错警示不能从俯视图中正确地得到球的半径,而错误地从正视图中得到球的半径R=.,5.(2017北京,6,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为() A.60B.30C.20D.10,答案D本题考查三视图的相关知识,三棱锥体积的计算,考查学生的空间想象能力. 根据三视图将三棱锥P-ABC还原到长方体中,如图所示, VP-ABC=354=10.故选D.,6.(2015山东,9,5分)已知等腰直角三角
29、形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为() A.B.C.2D.4,答案B依题意知,该几何体是以为底面半径,为高的两个同底圆锥组成的组合体,则 其体积为()22=,故选B.,7.(2018江苏,10,5分)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.,8.(2018天津,11,5分)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为.,9.(2017山东,13,5分)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如下图,则该几何体 的体积为.,答案2+,解析本题考查空间几何体的三视图及
30、空间几何体的体积. 由几何体的三视图可画出该几何体的直观图如下: 该几何体的体积V=211+1=2+.,10.(2017江苏,6,5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是.,11.(2017天津,11,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.,12.(2016四川,12,5分)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是.,13.(2015安徽,19,13分)如图,三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,BAC=60. (1)
31、求三棱锥P-ABC的体积; (2)证明:在线段PC上存在点M,使得ACBM,并求的值.,解析(1)由题设AB=1,AC=2,BAC=60, 可得SABC=ABACsin 60=. 由PA平面ABC,可知PA是三棱锥P-ABC的高,又PA=1, 所以三棱锥P-ABC的体积 V=SABCPA=. (2)证明:在平面ABC内,过点B作BNAC,垂足为N.在平面PAC内,过点N作MNPA交PC于点M,连接BM.由PA平面ABC知PAAC,所以MNAC.由于BNMN=N,故AC平面MBN.又BM平面MBN,所以ACBM. 在RtBAN中,AN=ABcosBAC=,从而NC=AC-AN=.由MNPA,得=
32、.,评析本题考查线面垂直的判定与性质及三棱锥体积的计算.,C组教师专用题组 考点一空间几何体的三视图 1.(2014课标,8,5分,0.795)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是() A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱,答案B由题中三视图可知该几何体的直观图如图所示,则这个几何体是三棱柱,故选B.,2.(2014湖南,8,5分)一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于() A.1B.2C.3D.4,答案B由三视图可知该几何体是一个直三棱柱,底面为直角三角形,高为12,如图所示,其中AC=6
33、,BC=8,ACB=90,则AB=10.要使该石材加工成的球的半径最大,只需球与直三棱柱的三个侧面都相切,则半径r等于直角三角形ABC的内切圆半径,即r=2,故能得到的最大球 的半径为2,故选B.,考点二空间几何体的表面积 1.(2014大纲全国,10,5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为() A.B.16C.9D.,答案A易知球心在正四棱锥的高上,设球的半径为R,则(4-R)2+()2=R2,解得R=,所以球 的表面积为4=,故选A.,2.(2014山东,13,5分)一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则 该六棱锥的
34、侧面积为.,3.(2013课标,15,5分,0.123)已知H是球O的直径AB上一点,AHHB=12,AB平面,H为垂足,截球O所得截面的面积为,则球O的表面积为.,4.(2013课标,15,5分,0.158)已知正四棱锥O-ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球 心,OA为半径的球的表面积为.,思路分析先根据已知条件直接利用锥体的体积公式求得正四棱锥O-ABCD的高,再利用勾股定理求出|OA|,最后根据球的表面积公式计算即可.,考点三空间几何体的体积 1.(2015浙江,2,5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是() A.8 cm3 B.12 cm3 C. cm3
35、D. cm3,答案C由三视图知,该几何体是由棱长为2 cm的正方体和底面边长为2 cm,高为2 cm的正四棱锥组合而成的几何体.所以该几何体的体积V=23+222= cm3,故选C.,2.(2015湖南,10,5分)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为() A. B. C.D.,答案A由三视图可知,原工件是一个底面半径为1,母线长为3的圆锥,则圆锥的高为2,新 工件是该圆锥的内接正方体, 如图,此截面中的矩形为正方体的对角面, 设正方体的棱长为x, 则=, 解得x=. 所以正方体的体积V
36、1=, 又圆锥的体积V2=122=, 所以原工件材料的利用率为=,故选A.,3.(2015重庆,5,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为() A.+2B.C.D.,答案B由三视图可知,该几何体是一个底面半径为1,高为2的圆柱和底面半径为1,高为1的半圆锥拼成的组合体.所以该几何体的体积为121+122=,故选B.,4.(2014课标,6,5分,0.506)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为() A.B.C.D.,答案C该零件是
37、两个圆柱体构成的组合体,其体积为224+322=34 cm3, 圆柱体毛坯的体积为326=54 cm3, 所以切削掉部分的体积为54-34=20 cm3, 所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为=,故选C.,5.(2014湖北,10,5分)算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式VL2h. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么,近似公式VL2h相当于将圆锥体 积公式中的近似取为() A. B. C
38、.D.,答案B设圆锥底面半径为r,则2r=L,r=. 圆锥的体积V=r2h=h=, 12, =,故选B.,6.(2014辽宁,7,5分)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为() A.8-B.8- C.8- D.8-2,答案C由三视图可知,该几何体的体积是一个四棱柱的体积减去半个圆柱的体积,即V=222-122=8-.故选C.,7.(2014重庆,7,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为() A.12 B.18 C.24D.30,答案C由三视图可知该几何体是由如图所示的直三棱柱ABC-A1B1C1截掉一个三棱锥D-A1B1C1得到的,其中AC=4,BC=3,AA1=5,AD=
39、2,BCAC,所以该几何体的体积V=ACBCAA1- A1C1B1C1A1D=435-433=30-6=24.,8.(2014浙江,3,5分)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是() A.72 cm3B.90 cm3C.108 cm3D.138 cm3,答案B由三视图可知,该几何体是由一个长方体和一个直三棱柱构成的组合体,如图,其体积为643+433=90 cm3,故选B.,9.(2013课标,11,5分,0.589)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为() A.16+8B.8+8 C.16+16D.8+16,答案A由所给三视图可知该几何体是一个组合体,下方是底面
40、为半圆的柱体,底面半圆的半径为2,高为4;上方为长、宽、高分别为4、2、2的长方体.所以该几何体的体积为224+ 422=16+8,故选A.,思路分析根据几何体的三视图,得出该几何体是下方为半圆柱,上方为长方体的组合体,由此求出它的体积.,10.(2012课标全国,7,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为() A.6B.9C.12D.18,答案B由三视图可得,该几何体为如图所示的三棱锥S-ABC,其中底面ABC为等腰三角形,底边AC=6,AC边上的高为3,SB底面ABC,且SB=3,所以该几何体的体积V=633=9. 故选B. 评析本题考查了
41、三视图和三棱锥的体积,考查了空间想象能力.由三视图正确得到该几何体的直观图是求解的关键.,11.(2012课标全国,8,5分)平面截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面的距离为,则 此球的体积为() A.B.4C.4D.6,答案B如图,设平面截球O所得圆的圆心为O1,则|OO1|=,|O1A|=1,球的半径R=|OA|= =. 球的体积V=R3=4.故选B. 评析本题考查了球的基础知识,利用勾股定理求球的半径是关键.,12.(2010课标全国,12,5分)已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为() A.B.C.2D.,答案B设AB=a
42、,CD=b,异面直线AB与CD所成角为,距离为h,将BCD补成BCDE,则BE=b,ABE=, VA-BCD=VA-BDE=VD-ABE=absin h=abhsin ,由题意知a=b=2,分别以AB、CD为直径作两个 互相平行的圆面,则h=2,VA-BCD=222sin =sin ,当=90时取等号.,13.(2016北京,11,5分)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为.,14.(2015天津,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.,15.(2015四川,14,5分)在三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,其正视图和侧视图都是边长为1的正
43、方形,俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形.设点M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中点,则三棱锥P-A1MN的体积是.,由题意知,三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱, AA1平面ABC,AM平面ABC, AA1AM,AMNP. M,N分别为AB,BC的中点, MNAC.ACAB,AMMN. MNNP=N,AM平面MNP, A1到平面MNP的距离即为线段AM的长. =AMSMNP =1 =.,16.(2014天津,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.,17.(2011课标,16,5分)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球
44、面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者 的高的比值为.,18.(2014福建,19,12分)如图,三棱锥A-BCD中,AB平面BCD,CDBD. (1)求证:CD平面ABD; (2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.,解析(1)证明:AB平面BCD,CD平面BCD,ABCD. 又CDBD,ABBD=B,AB平面ABD,BD平面ABD, CD平面ABD. (2)解法一:由AB平面BCD,得ABBD. AB=BD=1, SABD=. M是AD的中点, SABM=SABD=. 由(1)知,CD平面ABD, 三棱锥C-ABM的高h
45、=CD=1, 因此VA-MBC=VC-ABM=SABMh=. 解法二:由AB平面BCD知,平面ABD平面BCD, 又平面ABD平面BCD=BD,19.(2014广东,18,13分)如图1,四边形ABCD为矩形,PD平面ABCD,AB=1,BC=PC=2.作如图2折叠:折痕EFDC,其中点E,F分别在线段PD,PC上,沿EF折叠后点P在线段AD上的点记为M,并且MFCF. (1)证明:CF平面MDF; (2)求三棱锥M-CDE的体积.,解析(1)证明:PD平面ABCD, AD平面ABCD,PDAD. 四边形ABCD是矩形,ADDC. 又PDDC=D,AD平面PCD. CF平面PCD,ADCF.
46、又MFCF,MFAD=M, CF平面MDF. (2)由(1)知CFDF,PDDC, 在PCD中,DC2=CFPC. CF=.,20.(2014江西,19,12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1BC,A1BBB1. (1)求证:A1CCC1; (2)若AB=2,AC=,BC=,问AA1为何值时,三棱柱ABC-A1B1C1体积最大,并求此最大值.,21.(2013课标,18,12分,0.223)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点. (1)证明:BC1平面A1CD; (2)设AA1=AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C-A1DE的体积.,解析(1)证明:
47、连接AC1交A1C于点F, 则F为AC1中点. 由D是AB中点,连接DF,则BC1DF. 因为DF平面A1CD,BC1平面A1CD, 所以BC1平面A1CD. (2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱, 所以AA1CD.由已知AC=CB,D为AB的中点, 所以CDAB.,又AA1AB=A,于是CD平面ABB1A1. 由AA1=AC=CB=2,AB=2得 ACB=90,CD=,A1D=,DE=,A1E=3, 故A1D2+DE2=A1E2,即DEA1D. 所以=1.,思路分析(1)利用线面平行的判定定理在平面A1CD内找出一条直线与直线BC1平行即可; (2)先证明CD平面ABB1A1,再根据题目
48、给的条件算出三棱锥C-A1DE的高和底面面积,利用三棱锥的体积公式计算即可.,一题多解证明第(1)问时,也可以利用面面平行的性质,即:取A1B1的中点G,连接C1G,GB,因为GBA1D,C1GCD,C1G平面GBC1,GB平面GBC1,且C1GGB=G,A1D平面A1CD,CD平面A1CD,A1DCD=D,所以平面GBC1平面A1CD.又BC1平面GBC1,所以BC1平面A1CD.,三年模拟,A组 20162018年高考模拟基础题组,考点一空间几何体的三视图与直观图 1.(2018安徽黄山一模,5)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥,得到如图(2)所示的几何体,则该几何体的侧视图为()
49、,答案B截去两个三棱锥后的几何体的侧视图可以看见的实线段为AD1、AD、DD1、D1B1、AB1,而线段B1C被遮住,在侧视图中为虚线,所以侧视图为选项B中的图形.故选B.,2.(2018广东肇庆二模,8)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某四棱锥的三视图,则该四棱锥的所有棱中,最长的棱的长度为() A.B.C.5D.3,答案B由三视图可知该几何体为如图所示的四棱锥P-ABCD, 其中PA底面ABCD,四棱锥P-ABCD的底面是边长为3的正方形,高PA=4. 连接AC,易知最长的棱为PC,且PC=. 故选B.,3.(2018河南商丘模拟,4)已知某几何体的三视图如图,则该几何体的所有面中最大面的面积是() A.3B.6C.8D.10,答案C由三视图知该几何体为如图所示的四棱锥S-ABCD,其中平面SAD平面ABCD,底面是矩形(矩形的两邻边长分别是2,4), 由题意得四棱锥的高为=, SAB,SCD是直角三角形,SBC是等腰三角形, 通过计算知在SBC中,边BC上的高为=3, S矩形ABCD=24=8,SSAD=4=2, SSAB=SSCD=23=3,SSBC=43=6,故选C.,4.(2017河南商丘二模,6)一块硬质材料的三视图如图所示,正视图和俯视图都是边长为10 cm的正方形,将该材料切削、打磨,加工成球