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1、文数 课标版,第三节函数的奇偶性与周期性,1.函数的奇偶性,教材研读,2.奇(偶)函数的性质 (1)奇(偶)函数的定义域关于原点对称. (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. (3)在公共定义域内 (i)两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数. (ii)两个偶函数的和、积都是偶函数. (iii)一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数. (4)若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0.,3.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称
2、函数y=f(x)为周期函 数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小 的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.,判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-x)+f(x)=0.() (2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.() (3)如果函数f(x),g(x)为定义域相同的偶函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.() (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.() (5)若T是函数的一个周期,则nT(nZ,n0)也是函数的周期.() (6)函数
3、f(x)在定义域上满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数.(),1.(2015北京,3,5分)下列函数中为偶函数的是() A.y=x2sin xB.y=x2cos x C.y=|ln x|D.y=2-x 答案BA中函数为奇函数,B中函数为偶函数,C与D中函数均为非奇非偶函数,故选B.,2.(2015福建,3,5分)下列函数为奇函数的是() A.y=B.y=exC.y=cos xD.y=ex-e-x 答案DA、B选项中的函数为非奇非偶函数;C选项中的函数为偶函数;D选项中的函数为奇函数,故选D.,3.(2014课标,5,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R
4、,且f(x)是奇函数, g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是() A. f(x)g(x)是偶函数B. |f(x)|g(x)是奇函数 C. f(x)|g(x)|是奇函数D. |f(x)g(x)|是奇函数 答案C由题意可知 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A, f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故A项错误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B项错误;对于选项C, f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故C项
5、正确;对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函数,故D项错误,选C.,4.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),则f(8)的值为() A.-1B.0 C.1D.2 答案Bf(x)为定义在R上的奇函数,且f(x+4)=f(x),f(0)=0,T=4,f(8)=f(0)=0.,5.若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为a-1,2a,则a=,b=. 答案;0 解析因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a-1=-2a,解得a=. 由函数f(x)=x2+bx+b+1为偶函数,结合偶函数图象的特点
6、(图略),易得b= 0.,考点一函数奇偶性的判断与应用 典例1(1)下列函数:f(x)=+;f(x)=x3-x;f(x)=ln(x+ );f(x)=ln;f(x)=(x+1);f(x)=;f(x)= 其中奇函数的个数是() A.3B.4C.5D.6 (2)(2015课标,13,5分)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a= . 答案(1)D(2)1 解析(1)f(x)=+的定义域为-1,1,考点突破,又f(-x)=f(x)=0, 则f(x)=+既是奇函数又是偶函数. f(x)=x3-x的定义域为R, f(-x)=(-x)3-(-x)=-(x3-x)=-f(x), 则f(x)=x3-x是奇
7、函数. 由x+x+|x|0知f(x)=ln(x+)的定义域为R, 又f(-x)=ln(-x+)=ln=-ln(x+)=-f(x),所以f(x)=ln(x+ )为奇函数. 由0,得-1x1, 则f(x)=ln的定义域为(-1,1),又f(-x)=ln=ln=-ln=-f(x), 则f(x)为奇函数. 要使f(x)有意义,则0, 解得-1x1,显然f(x)的定义域不关于原点对称, 所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 因为所以-2x2且x0. 所以函数f(x)的定义域关于原点对称, 且f(x)=, 所以f(-x)=-.,所以f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数. 当x0时,-x0, f
8、(x)=x2+x, f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-(x2+x)=-f(x). 对于x(-,0)(0,+),均有f(-x)=-f(x). 函数f(x)为奇函数.故选D. (2)由已知得f(-x)=f(x),即-xln(-x)=xln(x+),则ln(x+)+ ln(-x)=0, ln()2-x2=0,得ln a=0,a=1.,方法技巧 判断函数奇偶性的常用方法,1.定义法,1-1设f(x)为定义在R上的奇函数,当x0时, f(x)=2x+2x+b(b为常数),则 f(-1)=() A.-3B.-1C.1D.3,答案Af(x)为定义在R上的奇函数,f(0)=0,b=-1,f(-1)=
9、-f(1)= -(2+2-1)=-3.,1-2函数f(x-1)是R上的奇函数,x1,x2R,(x1-x2)f(x1)-f(x2)-1,解得x2,故选C.,1-3已知函数f(x)=x3+sin x+1(xR),若f(a)=2,则f(-a)的值为() A.3B.0C.-1D.-2 答案B设F(x)=f(x)-1=x3+sin x,显然F(x)为奇函数,又F(a)=f(a)-1=1,所以F(-a)=f(-a)-1=-1,从而f(-a)=0.故选B.,考点二函数周期性的判断与应用 典例2(1)(2016河南郑州模拟)已知函数f(x)=如果对任 意的nN*,定义fn(x)=(x),那么f2 016(2)
10、的值为() A.0B.1C.2D.3 (2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x0,2)时, f(x)=2x-x2,则f(0)+f(1)+f(2)+f(2 016)=. 答案(1)C(2)1 008 解析(1)f1(2)=f(2)=1, f2(2)=f(1)=0, f3(2)=f(0)=2,fn(2)的值具有周期性,且周期为3,f2 016(2)=f3672(2)=f3(2)=2,故选C. (2)f(x+2)=f(x),函数f(x)的周期T=2, 又当x0,2)时, f(x)=2x-x2,所以f(0)=0, f(1)=1, 所以f(0)=f(2)=f(4)=f(2 01
11、6)=0, f(1)=f(3)=f(5)=f(2 015)=1. 故f(0)+f(1)+f(2)+f(2 016)=1 008.,规律总结 判断函数周期性的几个常用结论 若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有: (1)f(x+a)=-f(x)(a0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的周期; (2)f(x+a)=(a0, f(x)0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的周期; (3)f(x+a)=-(a0, f(x)0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的周期.,2-1设f(x)是定义在R上的周期为3的函数,当x-2,1)时, f(x)=则f=() A.0B.1C.
12、D.-1 答案D因为f(x)是周期为3的周期函数,所以f=f=f=4 -2=-1,故选D.,2-2已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且满足f(x+2)=,当2x3 时, f(x)=x,则f(105.5)=. 答案2.5 解析由f(x+2)=得f(x+4)=f(x+2)+2=f(x),f(x)是 以4为周期的周期函数. f(105.5)=f(264+1.5)=f(1.5)=f(-2.5+4)=f(-2.5). f(x)为偶函数,且当2x3时, f(x)=x, f(105.5)=f(2.5)=2.5.,考点三函数性质的综合问题 典例3(1)已知奇函数f(x)在(-,0)上单调递减,且f(2)=0
13、,则不等式 (x-1)f(x-1)0的解集为() A.(-3,-1)B.(-3,1)(2,+) C.(-3,0)(3,+)D.(-1,1)(1,3) (2)已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当x(0,1)时, f(x)=3x-1,则f=() A.+1B.-1C.-1D.-+1 答案(1)D(2)D 解析(1)原不等式可化为1x3;,或-1x1. 综上,可知选D. (2)因为f(x+2)=f(x)=-f(-x), 所以f=f=f=-f=-f. 又当x(0,1)时, f(x)=3x-1, 所以f=-1, 则f=1-.,方法技巧 (1)利用函数性质求值的关键是利用函数的奇偶性、对称性以及函
14、数的 周期性将自变量转化到指定区间内,然后代入函数解析式求值; (2)利用函数性质解不等式问题,主要利用函数的奇偶性与单调性等将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系求解.,3-1(2016广东广州模拟)已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x(0,2)时, f(x)=2x2,则f(7)=() A.-2B.2C.-98D.98 答案A因为f(x+4)=f(x),所以函数f(x)的周期为4,所以f(7)=f(7-8)=f(-1),又因为f(x)为奇函数,且当x(0,2)时, f(x)=2x2,所以f(7)=f(-1)=-f(1)=-2,故选A.,3-2已知函数f(x)是
15、定义域为R的偶函数,且f(x+1)=,若f(x)在-1,0 上是减函数,那么f(x)在2,3上是() A.增函数B.减函数 C.先增后减的函数D.先减后增的函数 答案A由题意知f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为2,又函数f(x) 是定义域为R的偶函数,且f(x)在-1,0上是减函数,则f(x)在0,1上是增函数,所以f(x)在2,3上是增函数.,3-3已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间0,2上是增函数,则() A. f(-25)f(11)f(80)B. f(80)f(11)f(-25) C. f(11)f(80)f(-25)D. f(-25)f(80)f(11),答案Df(x)=f(x+4-4)=-f(x+4)=-f(x+8-4)=f(x+8),T=8. 又f(x)是定义在R上的奇函数, f(0)=0. f(x)在(0,2)上是增函数,且f(x)0, f(x)在(-2,0)上也是增函数,且f(x)0,且f(x)为减函数. f(-25)=f(-1)0, f(80)=f(0)=0, f(-25)f(80)f(11).故选D.,