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1、-天体运动的各种物理模型-第 16 页天体运动的各种物理模型一、追赶相逢类型1-1、科学家在地球轨道外侧发现了一颗绕太阳运行的小行星，经过观测该小行星每隔t时间与地球相遇一次，已知地球绕太阳公转半径是R，周期是T，设地球和小行星都是圆轨道，求小行星与地球的最近距离。解：设小行星绕太阳周期为T/，T/T,地球和小行星没隔时间t相遇一次，则有设小行星绕太阳轨道半径为R/,万有引力提供向心力有同理对于地球绕太阳运动也有 由上面两式有 所以当地球和小行星最近时 1-2、火星和地球绕太阳的运动可以近似看作为同一平面内同方向的匀速圆周运动，已知火星的轨道半径，地球的轨道半径，从如图所示的火星与地球相距最近
2、的时刻开始计时，估算火星再次与地球相距最近需多少地球年？（保留两位有效数字）解：设行星质量m，太阳质量为M，行星与太阳的距离为r，根据万有引力定律，行星受太阳的万有引力（2分）行星绕太阳做近似匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有（2分） （1分） 以上式子联立 故（1分）地球的周期年，（1分） 火星的周期（2分）年=年 （1分）设经时间t两星又一次距离最近，根据（2分）则两星转过的角度之差（2分） （2分，答“2.2年”同样给分）二、宇宙飞船类型（神舟五号类型）ABr22-1、随着我国“神舟五号”宇宙飞船的发射和回收成功。标志着我国的航天技术已达到世界先进水平。如图所示，质量为m的飞船绕地球在圆轨
3、道上运行时，半径为r1，要进入半径为r2的更高的圆轨道，必须先加速进入一个椭圆轨道，然后再进入圆轨道。已知飞船在圆轨道上运动速度大小为，在A点通过发动机向后以速度大小为u（对地）喷出一定质量气体，使飞船速度增加到v进入椭圆轨道。（已知量为：m、r1、r2、vu）求：飞船在轨道I上的速度和加速度大小。发动机喷出气体的质量m。 解：（1）在轨道I上，有 (2分) 解得： (1分) 同理在轨道II上 (1分) 由此得： (1分) 在轨道I上向心加速度为a1,则有 (2分) 同理在轨道II上向心加速度a=,则有 (2分) 由此得 (1分) (2)设喷出气体的质量为,由动量守恒得 (3分) 得: (2分
4、)2-2、2003年10月15日9时整，我国“神舟”五号载人飞船发射成功，飞船绕地球14圈后，于10月16日6时23分安全返回。若把“神舟”五号载人飞船的绕地运行看作是在同一轨道上的匀速圆周运动，已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g。设“神舟”五号载人飞船绕地球运行的周期为T、地球表面的重力加速度为g、地球半径为R，用T、g、R能求出哪些与“神舟”五号载人飞船有关的物理量？分别写出计算这些物理量的表达式（不必代入数据计算）。解： 对飞船,万有引力作为圆周运动的向心力 （2分） 在地球表面 （2分） 可得“神舟”五号轨道半径（或轨道周长 此外还可求得“神舟”五号载人飞船的运行频率 “神舟”五
5、号载人飞船的运行角速度 “神舟”五号载人飞船的运行线速度 “神舟”五号载人飞船的运行向心加速度（加速度、轨道处重力加速度） “神舟”五号载人飞船的离地面高度 2-3、2003年10月15日，我国神舟五号载人飞船成功发射。标志着我国的航天事业发展到了很高的水平。飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h的圆形轨道。已知地球半径为R，地面处的重力加速度为g.求： （1）飞船在上述圆轨道上运行的速度v； （2）飞船在上述圆轨道上运行的周期T.解：（1）设地球质量为M，飞船质量为m，圆轨道的半径为 由万有引力定律和牛顿第二定律 （3分）在地面附近有 （3分） 由已知条件 （2
6、分）求出（2分） （2）由 （3分） 求出 （3分）2-4、国执行首次载人航天飞行的神州五号飞船于2003年10月15日在中国酒泉卫星发BA预定圆轨道地球射中心发射升空飞船由长征-2F运载火箭先送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道，在B点实施变轨后，再进入预定圆轨道，如图所示已知飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，近地点A距地面高度为h1，地球表面重力加速度为g，地球半径为R，求：（1）飞船在近地点A的加速度aA为多大？（2）远地点B距地面的高度h2为多少？解答：（1）设地球质量为M，飞船的质量为m，在A点受到的地球引力为 2分地球表面的重力加速度 2分由牛顿第二定律得 4分（2）飞船在预
7、定圆轨道飞行的周期 2分由牛顿运动定律得 2分解得 4分三、同步卫星 3-1、射地球同步卫星时，可认为先将卫星发射至距地面高度为h1的圆形近地轨道上，在卫星经过A点时点火（喷气发动机工作）实施变轨进入椭圆轨道，椭圆轨道的近地点为A，远地点为B。在卫星沿椭圆轨道（远地点B在同步轨道上），如图14所示。两次点火过程都使卫星沿切向方向加速，并且点火时间很短。已知同步卫星的运动周期为T，地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，求： （1）卫星在近地圆形轨道运行接近A点时的加速度大小； （2）卫星同步轨道距地面的高度。解：（1）设地球质量为M，卫星质量为m，万有引力常量为G、卫星在近地圆轨道运动接近A点
8、时的加速度为，根据牛顿第二定律4分物体在地球表面上受到的万有引力等于重力4分解得2分（2）设同步轨道距地面高度h2，根据牛顿第二定律有6分由上式解得：2分3-2、右图为某报纸的一篇科技报道，你能发现其中的科学性问题吗？请通过必要的计算加以说明。下面的数据在你需要时可选用。引力常量G1011Nm2/kg2；地球表面重力加速度g10m/s2；地球半径R106m；地球自转周期T104s；地球公转周期T107s。（210；7080的立方根约取）解：本报道中，地球同步卫星高度735公里的数据出错，以下的计算可以说明。在地球同步轨道上，卫星受地球的万有引力提供卫星绕地球运转所需的向心力。设卫星的质量为m，
9、离地面高度为h，有：在地球表面上，质量为m0的物体，受地球的万有引力等于物体的重力，有： 得 由（1）（2）式可得 代入数据得（能说明差2个数量级即可）四、科技前沿信息型4-1、1997年8月26日在日本举行的国际学术大会上，德国Max Plank学会的一个研究组宣布了他们的研究结果：银河系的中心可能存在一个大“黑洞”，“黑洞”是某些天体的最后演变结果。 （1）根据长期观测发现，距离某“黑洞”6.01012m的另一个星体（设其质量为m2）以2106m/s的速度绕“黑洞”旋转，求该“黑洞”的质量m1。（结果要求两位有效数字） （2）根据天体物理学知识，物体从某天体上的逃逸速度公式为，其中引力常量
10、G=6.671011Nm2kg2，M为天体质量，R为天体半径，且已知逃逸的速度大于真空中光速的天体叫“黑洞”。请估算（1）中“黑洞”的可能最大半径。（结果只要求一位有效数字） 解：（1）(3分) (4分)（2）(3分)(4分)4-2、设想宇航员完成了对火星表面的科学考察任务，乘坐返回舱返回围绕火星做圆周运动的轨道舱，如图所示。为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的速度。已知返回舱返回过程中需克服火星的引力做功，返回舱与人的总质量为m，火星表面的重力加速度为g ，火星的半径为R，轨道舱到火星中心的距离为r，不计火星表面大气对返回舱的阻力和火星自转的影响，则该宇航员乘坐的返回舱至少需要获得
11、多少能量才能返回轨道舱？解：返回舱与人在火星表面附近有： （2分）设轨道舱的质量为m0，速度大小为v，则： （2分）解得宇航员乘坐返回舱与轨道舱对接时，具有的动能为 （2分）因为返回舱返回过程克服引力做功所以返回舱返回时至少需要能量 （4分）4-3、2004年，我国现代版的“嫦娥奔月”正式开演，力争2006年12月正式发射。媒体曾报道从卫星图片和美、苏（原苏联）两国勘测结果证明，在月球的永暗面存在着大量常年以固态形式蕴藏的水冰。但根据天文观测，月球半径为R=1738km，月球表面的重力加速度约为地球表面的重力加速度的1/6，月球表面在阳光照射下的温度可达127，此时水蒸气分子的平均速度达到v0
12、=2000m/s。试分析月球表面没有水的原因。（取地球表面的重力加速度g=9.8m/s2）（要求至少两种方法） 解法1：假定月球表面有水，则这些水在127时达到的平均速度v0=2000m/s必须小于月球表面的第一宇宙速度，否则这些水将不会降落回月球表面，导致月球表面无水。取质量为m的某水分子，因为GMm/R2=mv12/R2，mg月=GMm/R2，g月=g/6，所以代入数据解得v1=1700m/s，v1v0，即这些水分子会象卫星一样绕月球转动而不落到月球表面，使月球表面无水。解法2：设v0=2000m/s为月球的第一宇宙速度，计算水分子绕月球的运行半径R1，如果R1R，则月球表面无水。取质量为
13、m的某水分子，因为GMm/R12=mv02/R12，mg月=GMm/R12，g月=g/6，所以R1=v02/g月106m，R1R，即以2000m/s的速度运行的水分子不在月球表面，也即月球表面无水。解法3：假定月球表面有水，则这些水所受到的月球的引力必须足以提供水蒸气分子在月球表面所受到的向心力，即应满足：mg月GMm/R2，当v=v0=2000m/s时，g月v02/R=/s2，而现在月球表面的重力加速度仅为g/6=/s2，所以水分子在月球表面所受的重力不足以提供2000m/s所对应的向心力，也即月球表面无水。解法4：假定有水，则这些水所受到的月球的引力必须足以提供水蒸气分子在月球表面所受到的
14、向心力，即应满足：mg月GMm/R2，即应有g月Rv2而实际上：g月R106m2/s2，v02=4106m2/s2，所以v02g月R即以2000m/s的速度运行的水分子不能存在于月球表面，也即月球表面无水。4-4、物体沿质量为M、半径为R星球的表面做匀速圆周运动所需的速度v1叫做该星球第一宇宙速度；只要物体在该星球表面具有足够大的速度v2，就可以脱离该星球的万有引力而飞离星球（即到达到距星球无穷远处），这个速度叫做该星球第二宇宙速度。理论上可以证明。一旦该星球第二宇宙速度的大小超过了光速108m，则该星球上的任何物体（包括光子）都无法摆脱该星球的引力，于是它就将与外界断绝了一切物质和信息的交流
15、。从宇宙的其他部分看来，它就像是消失了一样，这就是所谓的“黑洞”。试分析一颗质量为M1031kg的恒星，当它的半径坍塌为多大时就会成为一个“黑洞”？（计算时取引力常量G10-11Nm2/kg2，答案保留一位有效数字）解： 又知 令 v2=C 由以上三式得 4-5、在美英联军发动的对伊拉克的战争中，美国使用了先进的侦察卫星.据报道，美国有多颗最先进的KH1、KH2“锁眼”系列照相侦察卫星可以通过西亚地区上空，“锁眼”系列照相侦察卫星绕地球沿椭圆轨道运动，近地点为265 km（指卫星与地面的最近距离），远地点为650 km103kg103kg。这些照相侦察卫星上装有先进的CCD数字照相机，能够分辨
16、出地面上0.l m大小的目标，并自动地将照片传给地面接收站及指挥中心。由开普勒定律知道：如果卫星绕地球做圆周运动的圆轨道半径与椭圆轨道的半长轴相等，那么卫星沿圆轨道的周期就与其沿椭圆轨道运动的周期相等。请你由上述数据估算这些“锁眼”系列照相侦察卫星绕地球运动的周期和卫星在远地点处的运动速率。地球的半径 R=6 400 km，g取10 m/s2。（保留两位有效数字）解：设远地点距地面hl，近地点距地面h2，根据题意可知，卫星绕地球做匀速圆周运动的半径km （6分）设卫星绕地球运动的周期为T，根据万有引力定律和牛顿第二定律，有 （2分）又 （2分）物体在地球表面的重力等于万有引力，则 （2分）由式
17、可得 （2分）代入数据可得s （2分） 远在点到地面h1，设卫星在远在点的速率为v 则m 、联立得 代入数据得 v 7.6 km/s 4-6、一个Internet网站报道，最近南亚某国发射了一颗人造环月卫星，卫星的质量为1000kg，环绕月球周期为60min.张明同学对该新闻的真实性感到怀疑.他认为该国的航天技术不可能近期发射出环月卫星；该网站公布的数据似乎也有问题.他准备对该数据进行验证.但他记不清万有引力恒量的数值，且手边又没有资料可查找，只记得月球半径约为地球半径的1/4，地球半径约为6.4106m，月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的1/6，地球表面重力加速度取10m/s2.
18、假定将环月卫星的运动视为匀速圆周运动，请根据上述数据判断该报道的真伪，并写出推导判断的过程（） 解：设卫星绕月球表面运行周期为T1，卫星绕地球表面运行周期为T2，月球和地球表面重力加速度分别为g1和g2，月球和地球半径分别为r1和r2 /得 由得 代入得 可见不可能发射周期小于6000s的环月卫星。4-7、目前人们广泛采用GPS全球定位系统导航，这个系统空间星座部分共需要24颗卫星绕地球运转，工作卫星分布在6个圆形轨道面内，每时每刻任何一个地区的地平线上空至少保持4颗卫星传递信息。其对时钟要求精度很高，科学家们采用了原子钟作为计时参照（如：铯原子钟定义的1秒是铯133原子基态的两个超精细能级之
19、间跃迁所对应的辐射的9192631770个周期所持续的时间，其计时十分精确，10万年内误差不大于1秒），这样导航定位误差可控制在12米之内，甚是高明！这种卫星绕地球运行的周期T为12小时，地球半径用R表示，地球表面的重力加速度用g表示，电磁波传播速度用C表示。（1）这种卫星与地球同步卫星相比较，其轨道高度是高还是低？（2）这种卫星将电磁信号传于其某时刻地面上的正对点时，所用时间t=?(说明：卫星、地面上该点、地心三点共线，结果用题中所给字母表示) 解：1）这种卫星比地球同步卫星的轨道高度低。4分（2）万有引力提供向心力所以 4分又因为地面附近 2分 卫星距地面高度2分所以时间t= 4分4-8、
20、2004年1月4日美国“勇气”号火星车在火星表面成功登陆，登陆时间选择在6 万年来火星距地球最近的一次，火星与地球之间的距离仅有5580万千米，火星车在登陆前绕火星做圆周运动，距火星表面高度为H，火星半径为R，绕行N圈的时间为t。求：（1）若地球、火星绕太阳公转为匀速圆周运动，其周期分别为T地、T火，试比较它的大小；（2）求火星的平均密度（用R、H、N、t、万有引力常星G表示）； （3）火星车登陆后不断地向地球发送所拍摄的照片，地球上接收到的第一张照片大约是火星车多少秒前拍摄的。解：1）设环绕天体质量为m，中心天体质量为M。即4分 2分 故 T火T曲 2分（2）设火星车质量为m设火星质量为M4
21、分2分2分（3）宇宙间用电磁波传输信息:C=3108m/s ts/v=(5580107)/(3108)=186s 4分，是在186秒前拍摄的。4-9、地球可近视为一个R=6400km的球体，在地面附近的重力加速度2，试估算地球的平均密度。 在古时候，人们通常认为地球是扁平的。想象地球真的不是一个球体，而是一个厚度为H的无限大的盘子，如果想体验与真正地球表面一样的重力加速度，那么H的值是多大？提示：假定两种模型地球的密度一样大； 如果是电荷均匀分布的无限大的这种圆盘（单位面积上的电荷量为），圆盘外的电场强度为E=2kH（k为静电力恒量）； 由电场和重力场类比，它们的对应物理量是：Eg，Gk，mq
22、； G=6.671011Nm2/kg2解：1） （2），五、双星类型5-1、现根据对某一双星系统的光学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动。万有引力常量为G。求： （1）试计算该双星系统的运动周期T。 （2）若实验上观测到运动周期为T，且，为了解释两者的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的物质暗物质，作为一种简化的模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，而不考虑其他暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。解：（1）由万有引力提供向心力有：（4分） （
23、4分） （2）设暗物的密度为，质量为m，则（2分） 由万有引力提供向心力有：（2分） 由（2分） 又代入上式解得：（2分）5-2、如图为宇宙中有一个恒星系的示意图。A为星系的一颗行星，它绕中央恒星O运行的轨近似为圆。天文学家观测得到A行星运动的轨道半径为、周期为。 经长期观测发现，A行星实际运动的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔时间发生一次最大的偏离。天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知的行星B（假设其运行轨道与A在同一水平面内，且与A的绕行方向相同），它对A行星的万有引力引起A轨道的偏离。根据上述现象及假设，你能对未知行星B的运动得到哪些定量的预测？解：
24、A行星发生最大偏离时，A、B行星与恒星在同一直线上且位于恒星同一侧。设行星B的运行周期为、半径为，则有，所以 由开普勒第三定律得，所以六、与光学综合型6-1、计划发射一颗距离地面高度为地球半径R0的圆形轨道地球卫星,卫星轨道平面与赤道片面重合，已知地球表面重力加速度为g.（1）求出卫星绕地心运动周期T（2）设地球自转周期T0,该卫星绕地旋转方向与地球自转方向相同，则在赤道上一点的人能连续看到该卫星的时间是多少？解：（1）A1A2B1B2O（2）设人在B1位置刚好看见卫星出现在A1位置，最后在B2位置看到卫星从A2位置消失，OA1=2OB1有A1OB1=A2OB2=/3从B1到B2时间为t则有
25、6-2、天文学上，太阳的半径、体积、质量和密度都是常用的物理量，利用小孔成像原理和万有引力定律，可以简捷地估算出太阳的密度。在地面上某处，取一个长l80cm的圆筒，在其一端封上厚纸，中间扎直径为1mm的圆孔，另一端封上一张画有同心圆的薄白纸，最小圆的半径为，相邻同心圆的半径相差，当作测量尺度，再用目镜（放大镜）进行观察。把小孔正对着太阳，调整圆筒的方向，使在另一端的薄白纸上可以看到一个圆形光斑，这就是太阳的实像，为了使观察效果明显，可在圆筒的观测端蒙上遮光布，形成暗室。若测得光斑的半径为，试根据以上数据估算太阳的密度（，一年约为）。解：设太阳质量为M，半径为R，体积为V，平均密度为，地球质量为
26、m，日地距离为r，由万有引力定律和牛顿运动定律可知（4分）（2分）由图中的几何关系可近似得到（2分）联立解得（3分）代入数据得：（1分）6-3、某颗同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，用天文望远镜观察到被太阳光照射的该同步卫星。试问秋分这一天（太阳光直射赤道）从日落时起经过多长时间，观察者恰好看不见该卫星。已知地球半径为R，地球表面处重力加速度为g，地球自转周期为T。不考虑大气对光的折射解：M表示球的质量，m表示同步卫星的质量，r表示同表卫星距地心的距离。对同步卫星： 4分对地表面上一物体： GM=gR2 3分由图得： 3分又由图： 3分 3分6-4、晴天晚上，人能看见卫星的条件是卫星被太阳
27、照着且在人的视野之内。一个可看成漫反射体的人造地球卫星的圆形轨道与赤道共面，卫星自西向东运动。春分期间太阳垂直射向赤道，赤道上某处的人在日落后8小时时在西边的地平线附近恰能看到它，之后极快地变暗而看不到了。已知地球的半径，地面上的重力加速度为，估算：（答案要求精确到两位有效数字）（1）卫星轨道离地面的高度。（2）卫星的速度大小。解：从北极沿地轴往下看的地球俯视图如图所示，设卫星离地高h，Q点日落后8小时时能看到它反射的阳光。日落8小时Q点转过的角度设为（1）轨道高（2）因为卫星轨道半径根据万有引力定律，引力与距离的平方成反比卫星轨道处的重力加速度（同样给分）七、综合应用7-1、一宇航员抵达一半
28、径为R的星球表面后，为了测定该星球的质量M，做如下的实验，取一根细线穿过光滑的细直管，细线一端栓一质量为m的砝码，另一端连在一固定的测力计上，手握细线直管抡动砝码，使它在竖直平面内做完整的圆周运动，停止抡动细直管。砝码可继续在同一竖直平面内做完整的圆周运动。如图5所示，此时观察测力计得到当砝码运m图5动到圆周的最低点和最高点两位置时，测力计得到当砝码运动到圆周的最低点和最高点两位置时，测力计的读数差为F。已知引力常量为G，试根据题中所提供的条件和测量结果，求:（1）该星球表面重力加速度；（2）该星球的质量M。 解：(1)设最高点 （2分） 最低点（2分） 机械能守恒（3分） （1分） （1分）
29、 (2) （3分） （3分） 7-2、宇宙员在月球表面完成下面实验：在一固定的竖直光滑圆弧轨道内部最低点静止一质量为m的小球（可视为质点）如图所示，当施加给小球一瞬间水平冲量I时，刚好能使小球在竖直面内做完整圆周运动.已知圆弧轨道半径为，月球的半径为R，万有引力常量为G. 若在月球表面上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为多大？轨道半径为2R的环月卫星周期为多大？解：设月球表面重力加速度为g，月球质量为M.在圆孤最低点对小球有：I=mv0（2分）球刚好完成圆周运动，小球在最高点有（2分）从最低点至最高低点有：（2分）由可得（2分）在月球发射卫星的最小速度为月球第一宇宙速度（2分）当环月卫星轨道
30、半径为2R时，有（2分）（2分）将黄金代换式GM=gR2代入式（2分）（2分） 7-3、宇航员在某一星球上以速度竖直向上抛出一小球，经过时间，小球又落回到原抛出点，然后他用一根长为的细绳把一个质量为的小球悬挂在o点，使小球处于静止状态。如图所示，现在最低点给小球一个水平向右的冲量，使小球能在竖直平面内运动，若小球在运动的过程中始终对细绳有力的作用，则冲量满足什么条件？解：设星球表面附近的重力加速度为，由竖直上抛运动公式： 得。当小球摆到与悬点等高处时，细绳刚好松弛，小球对细绳无力作用，则小球在最低点的最小速度为,由机械能守恒定律得：。由动量定理得：。 当小球做完整的圆周运动时，设最高点的速度为
31、，由有 ，若经过最高点细绳刚好松弛，小球对细绳无力作用，则小球在最低点的最大速度为。则由机械能守恒定律和动量定理有：， 。和7-4、2004年1月4日和1月25日，美国“勇气”号和“机遇”号火星车分别登陆火星，同时欧洲的“火星快车”探测器也在环火星轨道上开展了大量科学探测活动。科学家们根据探测器返回的数据进行分析，推测火星表面存在大气，且大气压约为地球表面大气压的1/200，火星直径约为地球的一半，地球的平均密度地103kg/m3，火星的平均密度火103kg/m3。请根据以上数据估算火星大气质量是地球大气质量的多少倍？（地球和火星表面大气层的厚度均远远小于球体的半径，结果保留两位有效数字）解：在星球表面物体受到的重力等于万有引力：在星球表面： 4分 2分 2分由得： 2分星球表面大气层的厚度均远远小于星球半径，即大气压强可以表示为：，得 4分 4分7-5、利用航天飞机，可将物资运送到空间站，也可以维修空间站出现的故障。为完成某种空间探测任务，在空间站上发射的探测器通过向后喷气而获得反冲力使其启动。已知探测器的质量为M，每秒钟喷出的气体质量为m，为了简化问题，设喷射时探测器对气体做功的功率为P，在不长的时间t内探测器的质量变化较小，可以忽略不计。求喷气t秒后探测器获得的动能是多少？解:由 得 又 得